Diskussion:Basis (Vektorraum)

Beispiel

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Ist es nicht falsch, was bei Beispiel steht?:

Im Vektorraum der reellen Zahlenfolgen bilden die folgenden Vektoren zwar ein linear unabhängiges System, aber keine Basis, denn es wird zum Beispiel die Folge (1,1,1,\ldots) nicht davon erzeugt:

$\{(1,0,0,0,\ldots ),(0,1,0,0,\ldots ),(0,0,1,0,\ldots ),\ldots \}$ Meiner Meinung nach tun sie das sehr wohl durch einfache Addition aller Elemente. Oder mache ich da einen Denkfehler?

Sie tun es nicht, denn Deine „einfache Addition aller Elemente“ hat unendlich viele Summanden und ist damit keine Linearkombination. --Rotkraut 21:19, 29. Mai 2006 (CEST)Beantworten

Begriffe

Ich habe erstmal die Begriffe Linearkombination, Erzeugendensystem und linear unabhängig bei der Basis mit definiert. Einige andere Artikel (mindestens einer: Dimension (Mathematik)) beziehen sich auf diese Begriffe. Sollte man nun die drei Definitionen auslagern in eigene Seiten, oder Verweise auf die Basis-Seite legen? --SirJective

Inzwischen sind Linearkombination und Lineare Unabhängigkeit eigene Artikel, fehlt noch das Erzeugendensystem. Beachte auch den Artikel Erzeuger einer Gruppe, der ein aehnliches Konzept behandelt. --SirJective 12:46, 11. Feb 2004 (CET)

Erzeuger einer Gruppe wurde nach Erzeuger (Algebra) verschoben, man könnte auch den Redirect Erzeugendensystem dorthin umleiten und die Details bei Basis (Vektorraum) lassen.--Gunther 15:50, 27. Feb 2005 (CET)

Für Erzeuger (Algebra) braucht es noch einen Artikel (oder Begriffsklärung) Erzeuger. Gibt es Erzeuger-Konzepte in "Mathematik \ Algebra"? Und außerhalb der Mathematik?

Es gibt noch (nicht) Erzeuger (Kategorientheorie). Und Eltern :-)--Gunther 17:16, 1. Mär 2005 (CET)

BKS Erzeuger angelegt.--Gunther 12:12, 2. Mär 2005 (CET)

Basisvektor

Den Satz

"Unter einem Basisvektor versteht man die partielle Ableitung des Ortsvektors nach einer der Koordinaten des jeweiligen Koordinatensystems."

hab ich aus dem Artikel entfernt, weil ich bezweifle, dass ein beliebiger Vektorraum partielle Ableitungen zulässt. --SirJective 16:46, 1. Mär 2005 (CET)

Der Satz ist extrem schlecht formuliert und hat in diesem Artikel nichts verloren. Gemeint ist vermutlich: "Die Standardbasisvektoren (bezüglich einer lokalen Karte) des Tangentialraums in einem Punkt einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit entsprechen den partiellen Ableitungen nach den Koordinaten dieser Karte." Oder so.--Gunther 17:16, 1. Mär 2005 (CET)

Gleiche Richtung

Ein zwischenzeitlich angebrachter Smiley bei der Formulierung "zwei Vektoren, die nicht dieselbe (bzw. entgegengesetzte) Richtung haben" war nicht ganz unberechtigt. Ich hatte mir fuer diesen Umstand mal "die nicht dieselbe Gerade erzeugen" zurechtlegt, das ist zwar korrekt, aber ist das auch verständlich?--Gunther 19:54, 1. Mär 2005 (CET)

Für die Anschaulichkeit reicht es doch, dass die Vektoren "nicht auf derselben Geraden liegen", oder? --SirJective 20:24, 1. Mär 2005 (CET)

Naja, die Endpunkte der Vektoren liegen doch immer auf einer Geraden?! ;-) "Ursprungsgeraden"?--Gunther 21:17, 1. Mär 2005 (CET)

Wir haben aber vier Endpunkte an bis zu drei Orten :-p Und wenn die alle vier auf einer Geraden liegen... Das Bild legt aber die Interpretation eines Vektors als Pfeil nahe, und dann dürfen die "kompletten Pfeile" nicht auf einer Geraden liegen. Aber verständliche Formulierungen waren noch nie meine Stärke *g* --SirJective 11:27, 2. Mär 2005 (CET)

Tschuldigung, wenn ich mich quasi als Laie einmische: Wie wärs denn damit, dass der Winkel zwischen den beiden Vektoren ungleich Null sein muss? --Philipendula 10:23, 3. Mär 2005 (CET)

Gemeint ist aber: ungleich Null und ungleich 180 Grad, und das klingt wieder etwas umständlich.--Gunther 11:26, 3. Mär 2005 (CET)

Ich kann manchmal stur sein ;): Man könnte sagen, dass die Vektoren nicht parallel sein sollen. Oder dass der Kosinus des Winkels < |1| sein muss. Der Kosinus entspricht statistisch nämlich dem Korrelationskoeffizienten, der bei Kollinearität exakt 1 bzw. -1 ist. Das ist aber wieder nicht anschaulich. --Philipendula 20:10, 3. Mär 2005 (CET)

Da stimme ich Dir zu *g*. "Parallel oder antiparallel"? (Du glaubst gar nicht, wie stur ich sein kann...)--Gunther 23:15, 3. Mär 2005 (CET)

Also antiparallel finde ich übertrieben. Aber ok. Ich kapituliere hiermit. --Philipendula 00:53, 4. Mär 2005 (CET)

Existenzbeweis einer Basis

Der heute eingefügte Existenzbeweis sieht mir im Vergleich zum Rest des Artikels entschieden zu lang aus. Sollten wir ihn auslagern, ins Mathebuch verschieben oder auf die Beweisidee zusammenstreichen? --SirJective 23:28, 5. Mär 2005 (CET)

Zum Stil: Ich lese höchst ungern Quantoren, und ein paar erklärende Sätze, was denn passieren wird und gerade passiert ist, wären schön. Zum Inhalt: Basisergänzung einer leeren linear unabhängigen Teilmenge fand ich schon immer verwirrend. Lemma von Zorn ist für den Anfänger auch ziemlich nebulös. Einfacher und naheliegender finde ich den Beweis über das Wohlordnungsprinzip (füge immer den kleinsten Vektor, der nicht im bisherigen Spann liegt, zur "Basis" hinzu).--Gunther 15:15, 13. Mär 2005 (CET)

Auf die Beweisidee zusammenstreichen. Und wenn wir ihn auslagern, dann sollte er gekürzt werden. -- Wuzel 21:16, 9. Apr 2005 (CEST)
Ist jetzt gestrichen. -- Wuzel 00:12, 10. Apr 2005 (CEST)

Ich wollte schon schreiben:

Die Beweisidee besteht aus den beiden folgenden Schritten:

(A) Man zeigt, dass es keinen echten Unterraum gibt, der maximal bezüglich der Eigenschaft ist, eine Basis zu besitzen. Hat also ein Unterraum $U$ eine Basis $B$ , und ist $U$ nicht bereits der ganze Vektorraum $V$ , so gibt es einen größeren Unterraum $U'\subseteq V$ , der auch eine Basis hat, und man kann sogar erreichen, dass $B\subseteq B'$ gilt.
(B) Ist $U_{1}\subseteq U_{2}\subseteq U_{3}\subseteq \ldots \subseteq V$ eine aufsteigende Folge von Unterräumen mit Basen $B_{1}\subseteq B_{2}\subseteq B_{3}\subseteq \ldots$ , so ist die Vereinigung $U$ aller $U_{i}$ ein Unterraum, und die Vereinigung $B$ aller $B_{i}$ ist eine Basis von $U$ .

Man kann also beginnend mit dem Unterraum $\{0\}$ und der Basis $\varnothing$ wiederholt mithilfe von (A) immer größere Unterräume mit Basen konstruieren, dann mit (B) zu ihrer Vereinigung übergehen, wieder mit (A) vergrößern usw. Der Inhalt des Lemma von Zorn ist nun gerade, dass man auf diese Weise schließlich eine Basis von $V$ erhält.

Das ist zwar völlig korrekt, muss aber wohl als gezielte Irreführung bezeichnet werden...-- Gunther 21:59, 9. Apr 2005 (CEST)

Hm, die neue Beweisskizze zeigt zwar, dass es maximale linear unabhängige Teilmengen gibt, aber ich würde mir von diesem Satz auch die Aussage erhoffen, dass sie Erzeugendensysteme sind.-- Gunther 23:11, 9. Apr 2005 (CEST)

Ok, erledigt. Aber eines Tages werfe ich (oder wer anderer) den Beweis vielleicht wieder raus... -- Wuzel 00:10, 10. Apr 2005 (CEST)

Ich bin etwas verwundert über die Schlussreihenfolge, ich finde (1) und (4) schon fast synonym. Aber ich muss sagen, dass das so viel klarer ist, als wenn man die Äquivalenz und die Existenz in einem Beweis zeigt.-- Gunther 00:39, 10. Apr 2005 (CEST)

Der lange Existenzbeweis

(Den folgenden Beweis habe ich durch eine kürzere Beweisskizze ersetzt. -- Wuzel 22:50, 9. Apr 2005 (CEST))

Dieser wichtige Satz der Algebra ist mit Hilfe des Lemmas von Zorn zu beweisen.

Wir formulieren den Satz zunächst so:

"Sei V ein beliebiger Vektorraum über dem Körper K, T eine linear unabhängige Teilmenge. Dann existiert eine Basis B von V, so dass T in B enthalten ist. Insbesondere hat jeder Vektorraum eine Basis."

Beweis

Die letzte Aussage folgt sofort aus der ersten, indem man $T=\varnothing$ setzt.

Sei nun $T\subseteq V$ lin. unabh.

Setze $P:=\left\{X\mid T\subseteq X\subseteq V{\mbox{ und X lin. unabh.}}\right\}$

$\Rightarrow (P,\subseteq )$ ist teilweise geordnet.

Anwendung des Lemmas von Zorn:

$P\not =\varnothing$ , da $T\in P$ .

Sei A eine Kette in $(P,\subseteq )$ , d.h. $\forall X,Y\in A:X\subseteq Y\lor Y\subseteq X$ .

Setze $X:=\bigcup _{Y\in A}^{}Y$ , wir zeigen: $X\in P$ .

Es ist $X\in V$ wegen $\forall Y\in A:Y\in P\Rightarrow Y\subseteq V$ und

$T\in X$ wegen $Y\in A\Rightarrow T\subseteq Y\subseteq X$ .

Zeige nun: X ist linear unabhängig.

Sei $n\in \mathbb {N}$ und $v_{1},...,v_{n}\in X$ paarweise verschieden.

$\forall i\in \left\{1,...,n\right\}:v_{i}\in X\Rightarrow \exists Y_{i}\in A:v_{i}\in Y_{i}$ .

$\Rightarrow Y_{1}...Y_{n}\in A$ .

$(A,\subseteq ){\mbox{ ist Kette}}\Rightarrow \forall i,j\in \left\{1,...,n\right\}:Y_{i}\subseteq Y_{j}\lor Y_{j}\subseteq Y_{i}$ .

n fest $\Rightarrow \exists k\in \left\{1,...,n\right\}\forall i\in \left\{1,...,n\right\}:Y_{i}\subseteq Y_{k}$ .

$\forall i\in \left\{1,...,n\right\}:v_{i}\in Y_{k}$ , also $\left\{v_{1},...,v_{n}\right\}\subseteq Y_{k}$ ,

und da $Y_{k}\in A\subseteq P$ ist also ${Y_{k}}$ lin. unabh.

$\Rightarrow \left\{v_{1},...,v_{n}\right\}$ lin. unabh. (Vererbung)

Also $X\in P$ . Zeige jetzt: X ist obere Schranke von A in $(P,\subseteq )$ .

Sei $Y\in A$ beliebig, es folgt nach der Definition von X:

$Y\subseteq X$ .

Nach dem Lemma von Zorn enthält $(P,\subseteq )$ ein maximales Element B.

$B\in P\Rightarrow T\subseteq B\subseteq V$ und B ist lin. unabh.

Zeige nun: B ist Basis von V. Es reicht zu zeigen, dass B eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V ist.

Sei also $B\subseteq B'\subseteq V$ und B' linear unabh. z.z.: B = B'.

$T\subseteq B\Rightarrow T\subseteq B'\subseteq V\Rightarrow B'\in P$ mit $B\subseteq B'$ .

Aber B ist maximales Element von $(P,\subseteq )$

$\Rightarrow B=B'$ .== Existenzbeweis ==

$\square$

Orientierung

Letzter Kommentar: vor 20 Jahren1 Kommentar1 Person ist an der Diskussion beteiligt

Wie kann ich am besten Orientierung (Mathematik) verlinken? (nicht das dieser Artikel Orientierung erschöpfend behandelt. Nur genug um Orientierung auf Mannigfaltigkeiten einzuführen) --Ibotty 21:48, 15. Mai 2005 (CEST)Beantworten

Basis(Vektorraum) oder Basis(Modul)?

Hallo, >>>>Eine linear unabhängige Teilmenge lässt sich im Allgemeinen nicht zu einer Basis ergänzen. Eine maximal linear unabhängige Teilmenge ist im Allgemeinen keine Basis. Eine minimales Erzeugendensystem ist im Allgemeinen keine Basis.<<< stimmt zwar alles. Aber muss dies in einem Artikel ueber Vektorraeume stehen bzw. kann/sollte man dies nicht auslagern?

Das habe ich mich auch schon gefragt, und ich bin mir nicht sicher, ob die derzeitige Lösung die richtige ist. Allerdings handelt es sich ja um denselben Begriff: Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Man könnte genausogut die allgemeine Definition an den Anfang stellen und bemerken, dass Basen im Fall von Vektorräumen ein paar nette Zusatzeigenschaften haben. Aus meiner Sicht ist das Lemma und die Reihenfolge ein Entgegenkommen für diejenigen, die nur den Fall von Vektorräumen brauchen.--Gunther 15:14, 14. Jun 2005 (CEST)

Ich würde den Titel beibehalten, und eher einen Teil der Informationen über Basen von Moduln nach Freier Modul verschieben.

Im Satz "Ein Modul besitzt genau dann eine Basis, wenn er frei ist." ist der Link auf den eigentlichen Hauptartikel zu dem Thema ziemlich gut versteckt. ;) --SirJective 09:47, 15. Jun 2005 (CEST)

Bloß weil ein Modul frei ist, muss man sich noch lange nicht für Basen interessieren...--Gunther 09:56, 15. Jun 2005 (CEST)

Eigentlich wollte ich es hier herausaben, um (a) Verwirrungen zu vermeiden. In Vektorraeumen gelten diese Saetze und (b) denjenigen, die die Basis der allgemeineren algebraische Struktur(Modul) suchen, auch eine Chance zu geben, diese zu finden. Insofern waeren mir hier eigene Eintraege eigentlich wesentlich lieber. Um mit Gunther zu sprechen: Blos weil man sich fuer Basen von Moduln interessiert, muss man sich noch lange nicht fuer Basen von Vektorraeumen interessieren.

Habe den Abschnitt nach Basis (Modul) ausgegliedert und den relevanten Teil oben nochmal eingefügt. Vielleicht mag ja jemand noch was dazu schreiben von wegen linear unabhängige Spalten einer Matrix oder so...--Gunther 12:19, 16. Jun 2005 (CEST)

Andere Koordinatensysteme

Hallo, es gibt ja auch Basisvektoren in unterschiedlichen Koordinatensystemen. Wie ist die Transformation davon ineinander? Insb. polar, zylinder und Kugelkoordinaten. --DB1BMN 18:15, 31. Okt 2005 (CET)

Ich habe in den ersten Satz des Artikels einen Verweis auf das Lemma Koordinate eingefügt. Im Falle der "krummlinigen" Koordinaten, die du nennst, gibt es - in dem hier beschriebenen Sinn - keine Basis.

Einen Verweis auf Basistransformationen werde ich noch einarbeiten. --KleinKlio 23:33, 21. Sep 2006 (CEST)

Habe gerade einen Verweis auf Basistransformation in den Eingangstext (letzter Satz) eingearbeitet. --KleinKlio 03:08, 22. Sep 2006 (CEST)

Ausführlicher Beweis des Austauschlemmas

Ich glaube dem interessierten und ambitionierten Leser kann durchaus einmal der vollständige Beweis eines Satzes vorgelegt werden. Dies möchte ich folgendermaßen begründen:

1. Man kommt den besonders interessierten Lesern entgegen oder steigert sogar ihr Interesse.

2. Der Leser kann so zumindestens ein wenig an die mathematische Denkweise herangeführt werden.

3. Hat der Leser den Beweis nachvollzogen (das kann gewiss dauern und Geduld erfolgen), hat er mit Sicherheit mehr gelernt, als wenn er bloß einen Artikel liest: Der Leser muss geistig besonders aktiv werden, will er den Beweis verstehen.

4. Es kann selbst für den mathematischen Laien interessant sein, wie ein derartiger ausführlicher Beweis eines Satzes aussieht.

5. Dieser Satz und der Beweis ist nicht trivial, aber im Beweis auch nicht übermäßig schwer zu verstehen.

Ferner bin ich der Meinung, dass man das Korrolar(3) nicht streichen sollte. Zugegeben: Es ist sehr abstrakt. Doch die Auflistung einiger Folgerungen kann dem Leser einen Eindruck davon vermitteln, wie die Mathematik aus bestimmten Sätzen weitreichende Schlussfolgerungen ziehen kann.

Ich freue mich über Rückmeldungen. (Vorstehender nicht signierter Beitrag stammt von 84.165.94.105 (Diskussion • Beiträge) 00:54, 25. Jan 2006)

Generell sind längere Beweise hier eher unerwünscht, lediglich eine Skizze der wesentlichen Idee. Wir wollen kein Lehrbuch sein, sondern hier z.B. erklären, was eine Basis ist. Schon der Beweis der Äquivalenz der Charakterisierungen sollte eigentlich mal in das b:Beweisarchiv des Projektes Wikibooks auslagert werden.

Irgendwelche Folgerungen sollten nur genannt werden, wenn ihre eigenständige Bedeutung oder ihre Anwendbarkeit nachvollziehbar ist, das ist bei Korollar 3 definitiv nicht gegeben.--Gunther 01:19, 25. Jan 2006 (CET)

Auerbachbasis

Wie gehört diese Basis hier herein?--Jkü 08:33, 15. Aug 2006 (CEST)

Ich habe gerade im letzten Abschnitt einen Verweis auf Auerbachbasis eingearbeitet. Dieser Verweis beruht nur auf dem, was im Lemma Auerbachbasis steht. Habe diesen Artikel nur auf Konsistenz geprüft, da ich selber die Bezeichnung nicht kenne. --KleinKlio 20:25, 21. Sep 2006 (CEST)

Danke.--Jkü 20:34, 21. Sep 2006 (CEST)

Kennt jemand eine Quelle, in der der Begriff Auerbachbasis vorkommt? (Ich will hier nicht mit einer Quellendiskussion nerven, es geht mir nur darum, dass ich selbst hier mit dem Artikel verlinkt habe, ohne je von dem Wort gehört zu haben, siehe oben. Mein Bronstein hat ihn nicht im Register.) Ich poste in Diskussion:Auerbachbasis einen Verweis auf diese disku hier.--KleinKlio 14:14, 3. Okt 2006 (CEST)

Änderungen am Abschnitt /Basisbegriffe in speziellen Vektorräumen/

Habe versucht, die Abgrenzung der Basisbegriffe in Innenprodukträumen deutlicher zu machen. Der (funktionalanalytische) Basisbegriff ist nicht auf Hilberträume beschränkt. Bessere Ideen zu Gliederung sind willkommen! Quelle (für die Begrifflichkeiten): Bronstein-Semendjajew: "Taschenbuch der Mthematik" S. 146 und Erweiterungsband, S. E6, E15. --KleinKlio 09:18, 18. Sep 2006 (CEST)

Habe die Überschrift dieses Diskussionspunktes verändert, da der entsprechende Abschnitt nicht (mehr) der letzte ist.

/*Basisbegriffe in speziellen Vektorräumen*/ um den es geht befasst sich nach wie vor mit der Abgrenzung verschiedener Basisbegriffe. --KleinKlio 14:02, 3. Okt 2006 (CEST)