Reelle Zahl

Reelle Zahlen sind als Äquivalenzklassen konvergenter rationaler (Cauchy-) Folgen definiert. Und zwar sind zwei Folgen äquivalent, wenn ihre (punktweise) Differenz eine Nullfolge bildet. In diesem Sinne sind die reellen Zahlen die Vervollständigung der rationalen. Wie man leicht nachprüft, ist diese Relation tatsächlich reflexiv, transitiv und symmetrisch. Weiter ist die durch die rationalen Zahlen induzierte Addition und Multiplikation wohldefiniert, das heißt unabhängig von der Auswahl des Repräsentanten. Mit diesen wohldefinierten Operationen bilden die reellen Zahlen einen Körper. Ebenfalls durch rationale Zahlen wird eine Wohlordnung induziert. Insgesamt sind die reellen Zahlen damit ein angeordneter Körper.