Benutzer:Jarlhelm/Werkstatt

Das hier ist ein Derivat von Ölfleckversuch in der Version [1].

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Ölflechversuch

Der Ölfleckversuch ist ein Versuch, der es mit einfachen Mitteln möglich macht, sowohl die Größe eines Atoms als auch die Avogadrozahl näherungsweise zu bestimmen.

Versuchsaufbau

Datei:Oelfleckversuch-Aufbau.jpg

Der Ölfleck in Draufsicht und Querschnitt

Auf eine mit Wasser gefüllte Schale wird eine feine Schicht Bärlappsporen gepudert. Diese dienen dazu, die Wasseroberfläche besser sichtbar zu machen. Anschließend wird ein Tropfen einer Petrolether(Benzin)-Ölsäure mit bekannter Konzentration und zuvor bestimmtem Volumen in die Mitte der Schale gegeben. Die chemische Formel der Ölsäure muss ebenfalls bekannt sein. Der Petrolether verdunstet sofort, weshalb auf dem Wasser ein Fleck aus reiner Ölsäure entsteht. Dieser verdrängt die Bärlappsporen kreisförmig an den Rand der Schale, weshalb er deutlich sichtbar ist und mit einem Lineal vermessen werden kann. Im Idealfall entsteht ein perfekter Kreis, meist „zerfranst“ aber der Rand.

Auswertung

Von grundlegender Bedeutung ist die Annahme, dass es sich bei dem Ölfleck um eine monomolekularen Schicht handelt, das heißt, dass sich nicht mehrere Moleküle übereinander befinden. Dies kann man durch einfache Zusatzversuche belegen. Gibt man einen weiteren, gleich großen Öltropfen hinzu, verdoppelt sich der Flächeninhalt genau. Zudem ist es nicht möglich, den Fleck zu vergrößern, etwa durch blasen.

Berechnung der Molekülgröße

Ein Ölsäuremolekül in 3D, der Versuch verwendet hingegen das stark vereinfachte Modell eines Würfels

Einen möglichst runden Fleck kann man nun als Zylinder betrachten, wobei der Durchmesser eines Moleküls der Höhe des Zylinders entsprich.

Über das Volumen des Tropfens und die Konzentration der Petrolether(Benzin)-Ölsäure kann man nun das Volumen der reinen Ölsäure ausrechnen, das mit dem des Zylinders identisch ist. Mit dem abgemessenen Radius kann man nun die Höhe des Zylinders berechnen. Dadurch hat man bereits die Größe eines Ölsäuremoleküls.

Berechnung der Atomgröße

Datei:Atom schematisch.jpg

Der Ölfleckversuch liefert die ungefähre Größe eines Atoms mit Atomhülle

In der einfachsten Form der Berechnung geht man von würfelförmigen Molekülen und Atomen aus. Da man nun die Kantenlänge kennt, kann man wiederum das Volumen eines Moleküls berechnen.

Aus der chemischen Formel der Ölsäure kann man erkennen, aus wie vielen Atomen ein Molekül besteht. Man geht nun davon aus, dass alle Atome gleich groß sind und das Volumen des Moleküls vollständig ausfüllen. Teilt man also das Volumen eines Moleküls durch die Anzahl der Atome, erhält man das Volumen eines Atoms. Da man wieder eine Würfelform verwendet kann man den Durchmesser eines Atoms berechnen. Je nach Genauigkeit der Durchführung erhält man einen Atomradius von etwa $10^{-10}$ Metern, angesichts der Einfachheit des Versuchs ein sehr genauer Wert.

Berechnung der Avogardozahl

Da man nun die Kantenlänge eines Moleküls kennt, kann man die Anzahl an Molekülen im Ölfleck ausrechnen, indem man das Volumen des Öls durch das Volumen eines Moleküls dividiert. Über die Definition der Avogadrozahl weiß man, dass sich die Anzahl der Moleküle des Ölflecks zur Avogadrozahl so verhält wie die Masse des Öls im Ölfleck zu der Masse eines Mols Öl (Molmasse), welche man aus der chemischen Formel und den Angaben des Periodensystems entnehmen kann.

Mathematischer Ansatz

Klärung der Formelzeichen

Bekannte oder gemessene Größen:

• $r_{\mathrm {Fleck} }$ = Radius des Ölflecks
• $V_{\mathrm {Tropfen} }$ = Volumen eines Tropfens
• $V_{\mathrm {Oel} }$ = Volumen des Öls in einem Tropfen
• $\rho _{\mathrm {Oel} }$ = Dichte des Öls
• $M_{\mathrm {Oel} }$ = Molare Masse des Öls

Zwischenergebnisse:

• $d_{\mathrm {Molekuel} }$ = Höhe des zylinderförmigen Ölfecks und damit Durchmesser eines Ölsäuremoleküls, in der Modellvorstellung von würfelförmigen Molekülen die Kantenlänge eines Moleküls
• $V_{\mathrm {Molekuel} }$ = Volumen eines Ölsäuremoleküls
• $V_{\mathrm {Atom} }$ = Volumen eines Atoms
• $d_{\mathrm {Atom} }$ = Durchmesser eines Atoms, in der Modellvorstellung von würfelförmigen Atomen die Kantenlänge eines Atoms
• $N$ = Anzahl der Ölmoleküle im Ölfleck
• $m_{\mathrm {Oel} }$ = Masse des Öls

Gesuchte Größen:

• $r_{\mathrm {Atom} }$ = Radius eines Atoms
• $N_{\mathrm {A} }$ = Avogadrozahl

Benötigte mathematische Formeln

• $V=r^{2}\cdot \pi \cdot h$ (Volumen eines Zylinders)
• $h={\frac {V}{r^{2}\cdot \pi }}$ (Aufgelöst nach h)

• $V=a^{3}$ (Volumen eines Würfels)
• $a={\sqrt[{3}]{V}}$ (Aufgelöst nach a)

• $Radius={\frac {Durchmesser}{2}}$

Brechnung der Molekülgröße

$d_{\mathrm {Molekuel} }={\frac {V_{\mathrm {Oel} }}{r_{\mathrm {Fleck} }^{2}\cdot \pi }}$

Berechnung der Atomgröße

$V_{\mathrm {Atom} }={\frac {V_{\mathrm {Molekuel} }}{AnzahlderAtome}}$

$d_{\mathrm {Atom} }={\sqrt[{3}]{\frac {d_{\mathrm {Molekuel} }^{3}}{AnzahlderAtome}}}$

$r_{\mathrm {Atom} }={\frac {\sqrt[{3}]{\frac {({\frac {V_{\mathrm {Oel} }}{r_{\mathrm {Fleck} }^{2}\cdot \pi }})^{3}}{AnzahlderAtome}}}{2}}$

Zahlenbeispiel

Bekannte Größen

• $r_{\mathrm {Fleck} }=6{,}4cm=6{,}4\cdot 10^{-2}m$
• $V_{\mathrm {Tropfen} }=2{,}13\cdot 10^{-8}m^{3}$
• $V_{\mathrm {Oel} }={\frac {V_{\mathrm {Tropfen} }}{2000}}=1{,}06\cdot 10^{-11}m^{3}$ (da Mischungsverhältnis 1 : 2000)
• $\rho _{\mathrm {Oel} }=900{\frac {kg}{m^{3}}}$
• C₁₇H₃₃COOH = Summenformel der Ölsäure, also 54 Atome pro Molekül

Rechnung

$d_{\mathrm {Molekuel} }={\frac {1{,}06\cdot 10^{-11}m^{3}}{(6{,}4\cdot 10^{-2}m)^{2}\cdot \pi }}$

$d_{\mathrm {Molekuel} }=8{,}24\cdot 10^{-10}m$

$d_{\mathrm {Atom} }=2{,}18\cdot 10^{-10}m$

$r_{\mathrm {Atom} }=1{,}10\cdot 10^{-10}m$