Planck-Einheiten

Die Planck-Einheiten markieren eine Grenze für die Gültigkeit der bekannten Gesetze der Physik. Man muss davon ausgehen, dass für Distanzen kleiner als die Planck-Länge (ca. 10^-35 m) und Zeiten kürzer als die Planck-Zeit (ca. 10^-43 s) Raum und Zeit ihre uns vertrauten Eigenschaften als Kontinuum verlieren. Jedes Objekt, das kleiner wäre als die Planck-Länge, hätte aufgrund der sog. Unschärferelation so viel Energie bzw. Masse, dass es zu einem Schwarzen Loch kollabieren würde (s. u.). Die Suche nach einer entsprechenden Theorie der so genannten Quantengravitation gehört zu den größten Herausforderungen der physikalischen Grundlagenforschung.

Die Planck-Einheiten bilden ein natürliches System von Einheiten für Länge, Zeit und Masse, das sich aus den drei grundlegendsten Naturkonstanten herleitet, der Gravitationskonstante G, der Lichtgeschwindigkeit c und dem planckschen Wirkungsquantum h. Es ist durchaus angemessen und auf dem Gebiet der Quantengravitation auch üblich, die Planck-Einheiten selbst als die fundamentalen Naturkonstanten zu interpretieren und G, c und h als die abgeleiteten.

Definitionen

Die Planck-Einheiten ergeben sich aus einer einfachen Dimensionsbetrachtung, das heißt einer Suche nach einem mathematischen Ausdruck von der Dimension einer Länge, Zeit bzw. Masse, der nur Produkte und Quotienten von geeigneten Potenzen von G, c und $\hbar$ enthält, wobei $2\pi \hbar =h$ :

Name	Quantität	Term	Ungefähres SI Äquivalent	Andere Äquivalente
Planck-Länge	Länge (L)	$l_{P}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{3}}}}$	1.61624 × 10^-35 m
Planck-Masse	Masse (M)	$m_{P}={\sqrt {\frac {\hbar c}{G}}}$	2.17645 × 10^-8 kg	1.311 × 10¹⁹ u
Planck-Zeit	Zeit (T)	$t_{P}={\frac {l_{P}}{c}}={\frac {\hbar }{m_{P}c^{2}}}={\sqrt {\frac {\hbar G}{c^{5}}}}$	5.39121 × 10^-44 s
Planck-Ladung	Ladung (Q)	$q_{P}={\sqrt {\hbar c4\pi \epsilon _{0}}}$	1.8755459 × 10^-18 C	11.70624 e
Planck-Temperatur	Temperatur (Θ)	$T_{P}={\frac {m_{P}c^{2}}{k}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{Gk^{2}}}}$	1.41679 × 10³² K

Neben diesen fünf Grundgrößen werden auch folgende abgeleitete Größen verwendet:

Name	Quantität	Term	Ungefähres SI Äquivalent
Planck-Impuls	Impuls (MLT^-1)	$m_{P}c={\frac {\hbar }{l_{P}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{3}}{G}}}$	6.52485 kg m/s
Planck-Energie	Energie (ML²T^-2)	$E_{P}=m_{P}c^{2}={\frac {\hbar }{t_{P}}}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{G}}}$	1.9561 × 10⁹ J
Planck-Kraft	Kraft (MLT^-2)	$F_{P}={\frac {E_{P}}{l_{P}}}={\frac {\hbar }{l_{P}t_{P}}}={\frac {c^{4}}{G}}$	1.21027 × 10⁴⁴ N
Planck-Leistung	Leistung (ML²T^-3)	$P_{P}={\frac {E_{P}}{t_{P}}}={\frac {\hbar }{t_{P}^{2}}}={\frac {c^{5}}{G}}$	3.62831 × 10⁵² W
Planck-Dichte	Dichte (ML^-3)	$\rho _{P}={\frac {m_{P}}{l_{P}^{3}}}={\frac {\hbar t_{P}}{l_{P}^{5}}}={\frac {c^{5}}{\hbar G^{2}}}$	5.15500 × 10⁹⁶ kg/m³
Planck-Kreisfrequenz	Frequenz (T^-1)	$\omega _{P}={\frac {1}{t_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{\hbar G}}}$	1.85487 × 10⁴³ s^-1
Planck-Druck	Druck (ML^-1T^-2)	$p_{P}={\frac {F_{P}}{l_{P}^{2}}}={\frac {\hbar }{l_{P}^{3}t_{P}}}={\frac {c^{7}}{\hbar G^{2}}}$	4.63309 × 10¹¹³ Pa
Planck-Strom	Elektrischer Strom (QT^-1)	$I_{P}={\frac {q_{P}}{t_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{6}4\pi \epsilon _{0}}{G}}}$	3.4789 × 10²⁵ A
Planck-Spannung	Elektrische Spannung (ML²T^-2Q^-1)	$V_{P}={\frac {E_{P}}{q_{P}}}={\frac {\hbar }{t_{P}q_{P}}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{G4\pi \epsilon _{0}}}}$	1.04295 × 10²⁷ V
Planck-Impedanz	Widerstand (ML²T^-1Q^-2)	$Z_{P}={\frac {V_{P}}{I_{P}}}={\frac {\hbar }{q_{P}^{2}}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c}}={\frac {Z_{0}}{4\pi }}$	29.9792458 Ω

Dabei ist k_B die Boltzmann-Konstante. Die Planck-Fläche spielt insbesondere in Stringtheorien und bei Überlegungen zur Entropie Schwarzer Löcher in Zusammenhang mit dem holografischen Prinzip eine wichtige Rolle.

Rolle als Einheitensystem

Löst man die ersten drei Gleichungen nach G, c und $\hbar$ auf, so erhält man Ausdrücke, die analog nur Potenzen von l_p, t_p und m_p enthalten, aber keine Zahlenfaktoren. Die Naturkonstanten G, c und $\hbar$ haben daher in Planck-Einheiten jeweils den Zahlenwert 1. Formuliert man Gleichungen, die diese Naturkonstanten enthalten, in Planck-Einheiten, so können sie daher entfallen, was in bestimmten Disziplinen der theoretischen Physik die Gleichungen deutlich vereinfacht, wie beispielsweise in der allgemeinen Relativitätstheorie und in den verschiedenen Ansätzen für eine Quantengravitation.

Die Gravitationskonstante ist mit einem relativen Fehler von etwa 1/7000 vergleichsweise ungenau bekannt. Da sich diese Ungenauigkeit auf die Kenntnis der Planck-Einheiten überträgt, sind sie als Einheitensystem für die Experimentalphysik von untergeordneter Bedeutung. Dazu trägt auch ihre geringe Größe bei, die selbst bei den kleinsten derzeit zugänglichen Messwertbereichen zu extrem großen Zahlenwerten führen würde.

Planck-Einheiten und die Grenzen naturwissenschaftlicher Erkenntnis

Die Planck-Länge l_P ist ca. 10²⁰ mal kleiner als der Durchmesser des Protons und damit weit jenseits einer direkten experimentellen Zugänglichkeit. Wollte man derartig kleine Strukturen mit einem Teilchenbeschleuniger untersuchen, so müsste die De-Broglie-Wellenlänge der verwendeten Teilchen vergleichbar mit l_P sein, bzw. ihre Energie vergleichbar mit E_P. Die über E = mc² zugeordnete Masse wäre über 10¹⁶ mal größer als die Masse des schwersten bekannten Elementarteilchens, des Top-Quarks. Ein entsprechender Beschleuniger hätte mindestens den Durchmesser unseres Sonnensystems.

Diese Überlegung markiert eine bedeutende Grenze für die derzeit absehbaren Möglichkeiten der Experimentalphysik. Der einzige denkbare Prozess, bei dem vergleichbare Energien aufgetreten sein könnten, ist das Universum ungefähr eine Planck-Zeiteinheit nach dem hypothetischen Urknall. Die Planck-Einheiten lassen sich daher als ein Indiz dafür werten, dass eine Vereinigung von Quanten- und Relativitätstheorie sowie ein erschöpfendes Verständnis des Urknalls und damit des Universums und seiner Existenz sich jenseits der praktischen Möglichkeiten naturwissenschaftlicher Erkenntnis befinden könnten.

Die Planck-Einheiten als Grenze der Gültigkeit der bekannten Physik

Wie oben bereits angedeutet, führt die gleichzeitige Anwendung der Gesetze der Quantenmechanik und der Allgemeinen Relativitätstheorie bei hinreichend kleinen räumlichen und zeitlichen Abständen zu Problemen, wie die folgende Überlegung zeigt: Befindet sich ein Objekt oder Teilchen in einem Raumgebiet mit dem Durchmesser x, so hat es aufgrund der Unschärferelation einen Impuls p, dessen Größenordnung sich über

xp\approx \hbar

.

abschätzen lässt. Selbst für ein Teilchen ohne Ruhemasse ist damit eine Energie E und daher auch eine Mindestmasse m verbunden, wobei

mc^{2}=E=pc={\frac {\hbar c}{x}}

.

Befindet sich die Masse m in einem Raumgebiet mit einem Radius kleiner als ihr Schwarzschildradius

r={\frac {2Gm}{c^{2}}}

,

so wird sie zum Schwarzen Loch. Das ist durch die Wahl eines hinreichend kleinen x erreichbar, denn mit einer Verkleinerung von x wächst p und damit auch m und r bis schließlich r ≈ x wird. Diese Situation entzieht sich jedoch einer Beschreibung durch die bekannte Physik. Man erhält die Formel für die Planck-Länge und Planck-Masse, indem man r = x setzt und die beiden letzten Gleichungen nach x und m auflöst. Da es sich um eine grobe Abschätzung handelt, kann der Faktor 2 in der Formel für r vernachlässigt werden.

Zum gleichen Konflikt führt auch die Vorstellung eines Vorganges, der kürzer als die Planck-Zeit wäre. Die Planck-Zeit ist die Zeit, die das Licht benötigt, um die Strecke einer Planck-Länge zurückzulegen. Da sich nichts schneller als das Licht bewegen kann, müsste ein solcher Vorgang in einem Objekt stattfinden, das kleiner als die Planck-Länge wäre.

Die Vermutung, dass die Gesetze der konventionellen Physik im Bereich der Planck-Einheiten ihre Gültigkeit verlieren, wird auch dadurch gestützt, dass die Renormierungsprozesse in der Quantenfeldtheorie nur unter der Annahme wohldefiniert sind, dass die Vorstellung von Raum und Zeit als Kontinuum nur bis zu einer gewissen mikroskopischen Grenze gültig ist. Ein Versagen der Kontinuums-Theorie würde letztlich die Zenonschen Paradoxien auf eine naturwissenschaftliche Basis stellen.

Geschichte

Max Planck, einer der Mitbegründer der Quantentheorie, entdeckte die letzte zur Definition der Planck-Einheiten erforderliche Naturkonstante, das nach ihm benannte Wirkungsquantum. Er erkannte die Möglichkeit, damit ein universell gültiges System von Einheiten zu definieren und erwähnte diese bereits im Mai 1899 in seiner Publikation mit dem Titel „Über irreversible Strahlungsvorgänge“ in Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften (Band 5, S. 479, 1899). Zu dieser Zeit war die Quantenmechanik noch gar nicht entdeckt. Erst im Dezember 1900 publizierte er seine Arbeit zur Theorie der Strahlung eines Schwarzen Körpers, in der die später nach ihm benannte Konstante erstmals mit h bezeichnet wurde, und für die er 1919 den Nobelpreis für Physik für das Jahr 1918 erhielt. Das folgende Zitat vermittelt einen Eindruck von dem Stellenwert, den Planck diesen Einheiten einräumte:

... ihre Bedeutung für alle Zeiten und für alle, auch außerirdische und außermenschliche Culturen nothwendig behalten und welche daher als „natürliche Maaßeinheiten“ bezeichnet werden können ...

Weblinks

[1] aus der Fernseh-Sendereihe alpha-Centauri (ca. 15 Minuten). Erstmals ausgestrahlt am .