Regelungstechnik

Die Regelungstechnik ist ein Gebiet der Ingenieurwissenschaft, in dem untersucht wird, wie Systeme so beeinflusst werden können, dass eine bestimmte Größe zu jeder Zeit einen vorgegebenen Wert aufweist.

Ein einfaches Beispiel ist die Raumtemperatur: die Heizung wird über einen Thermostaten so geregelt, dass der dort eingestellte vorgegebene Wert eingehalten wird.

Aufgabengebiete

Im Zentrum der Regelungstechnik steht die mathematische Behandlung von Regelungen, die besonders leistungsfähige Strukturen zur Systembeeinflussung sind. Es wird eine spezielle Systemtheorie verwendet, deren mathematische Methoden im Zuge der Ausformung der Regelungstechnik entwickelt wurden.

Der Entwurf eines zum Prozess passenden Reglers ist eine Hauptaufgabe der Regelungstechnik.

Dazu zählt die Untersuchung der Stabilität des Regelkreises, da die zu regelnde Größe grundsätzlich nie exakt mit dem Führungswert übereinstimmt, sondern um den Führungswert schwingt. Ein Grund für diese Schwingungen liegt in der Verzögerung der Signale im Regelkreis (hervorgerufen durch die Totzeit oder durch die Verzögerungszeit der Komponenten, die beide Einfluss auf die Phasenverschiebung der Signale haben).

Eine weitere Aufgabe ist die Untersuchung des Übergangsverhaltens. In welchem zeitlichen Verlauf ändert sich die Regelgröße bei einer Änderung der Führungsgröße (z. B. durch exponentielle Annäherung an den neuen Wert, oder aber durch Überschwingen und nachfolgendes Zurückpendeln), und wie sind dann letztendlich die Verhältnisse im eingeschwungenen Zustand.

Unterschied Regelung und Steuerung

Einfacher Regelkreis mit Regler C und Regelstrecke P

Bevorzugter Untersuchungsgegenstand der Regelungstechnik ist der Regelkreis. Ein solcher besteht z. B. aus einem Raum mit einer Heizung (Regelstrecke) und einem Raumthermostaten (Regler).
Bei einer Regelung werden Systeme mit negativer Rückkopplung gebaut. Die Information über den Ist-Zustand fließt wieder in das System ein. Beim Raum geschieht dies über einen Temperaturfühler, der in den Thermostaten eingebaut ist. Je höher die vom Sensor gemessene Temperatur, desto weniger wird geheizt. Ist eine solche Rückkopplung vorhanden, spricht man von einer Regelung, ist sie nicht vorhanden, von einer Steuerung. Letzteres ist z. B. in der Haustechnik bei einfachen handbetätigten Heizkörperventilen ohne Thermostatkopf der Fall.

In der englischen Sprache benennt man mit closed loop control Regelung und open loop control Steuerung. Das einfache control wird im Englischen als Sammelbegriff verwendet und umfasst sowohl Steuerung als auch Regelung.

Definition Regelung nach DIN

In der Norm DIN 19226 ist der Begriff der Regelung wie folgt definiert: Das Regeln, die Regelung, ist ein Vorgang, bei dem fortlaufend eine Größe, die Regelgröße (zu regelnde Größe), erfasst, mit einer anderen Größe, der Führungsgröße, verglichen und im Sinne einer Angleichung an die Führungsgröße beeinflusst wird.

Kennzeichen für das Regeln ist der geschlossene Wirkungsablauf, bei dem die Regelgröße im Wirkungsweg des Regelkreises fortlaufend sich selbst beeinflusst.

Teil dieser Definition sind drei Kriterien zur Bestimmung einer Regelung nach einem Entwurf für die DIN 19226 von 1962 und der "Nomenklatur der Regelungstechnik" des Schweizer elektrotechnischen Vereins von 1956:

• Die Aufgabe einer Regelung ist Befehlsausführung im Allgemeinen; sie soll eine Größe (Regelgröße) einer vorgegebenen Größe (Führungsgröße) angleichen.
• Eine Regelung wirkt in einem geschlossenen Wirkungskreis mit negativer Rückkopplung.
• Eine Regelung besitzt ein Element zum Erfassen der Regelgröße, das von den Einrichtungen, die in die Regelstrecke eingreifen, physisch getrennt ist (Sensor).

Abgrenzung zu Steuerung

Der Begriff Regelung ist zu unterscheiden von dem im allgemeinen Sprachgebrauch oft synonym gebrauchten Begriff der Steuerung - bei dieser fehlt die fortlaufende Rückkopplung und deren Bearbeitung. So können zum Beispiel bei einer SPS (Speicherprogrammierbare Steuerung) durchaus Rückkopplungen vorgesehen sein, beispielsweise mittels Sensorsignalen. Die hierdurch erfasste Größe wirkt jedoch über die Steuerung nicht fortlaufend auf sich selbst ein. Typischerweise stellen SPS die Abarbeitung von schrittweise ablaufenden Prozessen (Endlicher Automat) sicher oder realisieren eine Schaltalgebra (Boolesche Algebra).

Allgemeiner Regelkreis

Bild: Regelkreis mit Beispiel Temperaturregelung mit einer Heizung:

• w = Führungsgröße, Sollwert; Größe, der die Aufgabengröße in vorgegebener Abhängigkeit folgen soll (z. B. elektr. Spannung entsprechend der Solltemperatur);
• x = Regelgröße, Aufgabengröße; Größe die geregelt wird (z. B. Isttemperatur des Raumes);
• r = Rückführgröße, Istwert; Größe, die aus der Messung der Regelgröße hervorgeht (z. B. elektr. Spannung entsprechend der Isttemperatur);
• e = Regeldifferenz, Regelfehler, Regelabweichung; Differenz zwischen Führungsgröße und Rückführgröße (z. B. als elektr. Spannungsdifferenz);
• y = Stellgröße; Ausgangsgröße der Regeleinrichtung zum Beeinflussen eines Energie- oder Massestromes (im Steller) (z. B. verstärkte elektr. Spannung steuert die Heizleistung eines Strahlers);
• z = Störgröße; beeinflusst die Aufgabengröße in unerwünschter Weise (z. B. Außentemperatur oder Wärmeverlust des Raumes);
• Als Regler wird diejenige Komponente im Regelkreis bezeichnet, die in Abhängigkeit von Ist- und Sollwert die Stellgröße y bestimmt. Das Regelglied wird oft auch Regler genannt.
• Die Strecke oder Regelstrecke ist das zu regelnde System (z. B. der Raum in dem die Temperatur geregelt wird).

In diesem Kreis ist die Regelgröße (x) negativ rückgekoppelt. Ihr Wert wird von der Führungsgröße (w) abgezogen und die entstehende Differenz (e) wird dann zur Ansteuerung des Regelgliedes genutzt. Diese Art Rückkopplung ist eine wesentliche Eigenschaft des Regelkreises und sorgt für dessen Stabilität (eine positive Rückkopplung würde den Regelkreis "aufschaukeln" und instabil machen (Beispiel "Heizung": je heißer es wird, desto mehr wird noch geheizt).

Siehe auch Artikel Regelkreis.

Regelung linearer, zeitinvarianter Systeme

Zur Modellierung, Beschreibung und Simulation werden Signalflusspläne mit diskreten Signalgliedern verwendet. Die Grundgleichungen für Übertrager werden graphisch in regelungstechnischen Blöcken dargestellt. (Siehe Übersicht über die Übertragungsglieder)

Die gebräuchlichsten Übertragungsglieder (I, P, PID...) lassen sich auch mit einfachen Operationsverstärkerschaltungen realisieren. Die Buchstaben stehen dabei für das Zeitverhalten der Komponente:

• P = Proportionalglied: das Ausgangssignal ist dem Eingangssignal zeitlich proportional,
• I = Integralglied: das Ausgangssignal ist das Integral über das Eingangssignal,
• D = Differentialglied: das Ausgangssignal entspricht der Veränderung des Eingangssignales,
• sowie Mischformen aus diesen 3 zeitlichen Verhaltensweisen.

Ein Übertragungsglied wird mathematisch mittels Differentialgleichungen und deren Laplace-, und Z-Transformationen beschrieben. Weniger gebräuchlich ist hier die Fourier, die eher in der Rauschanalyse, Signaltheorie und Systemtheorie stochastischer Systeme angewendet wird.

Die Laplace-Transformation ermöglicht als eine Integraltransformation die Beschreibung von Differentialgleichungssystemen linearer, zeitinvarianter und kontinuierlicher (LZI) Systeme im "Frequenzbereich". Die Mächtigkeit dieses Hilfsmittels liegt in der einfachen algebraischen Beschreibung der transformierten Eingangs- und Ausgangsgrößen als (gebrochen) rationale Funktionen.

Die sog. Übertragungsfunktion G(s) - mit s als komplexer Variable - liefert die Ausgangsgröße, wenn sie entweder als Rücktransformierte im Zeitbereich mit der Eingangsfunktion gefaltet oder im Bildbereich mit der Transformierten des Eingangs multipliziert wird. (siehe: Regelkreis)

Übertragungsfunktionen

Die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreis $G_{o}(s)$ setzt sich aus der Übertragungsfunktion aller Glieder im Regelkreis (Strecke $G_{s}(s)$ und Regler $G_{r}(s)$) zusammen.

$G_{o}(s)=G_{s}(s)\cdot G_{r}(s)$

Die Führungsübertragungsfunktion $G_{w}(s)$ ergibt sich aus der Rückkopplung (Gegenkopplung) der Ausgangsgröße über die Messeinrichtung ($G_{m}(s)$) auf den Regler.

$G_{w}(s)={\frac {G_{o}(s)}{1+G_{o}(s)\cdot G_{m}(s)}}$

Wird $G_{w}(s)$ bei kleinen Frequenzen betrachtet, so ergibt sich die bleibende Regeldifferenz des Systems. Ist $G_{w}(s=0)=1$ dann ist die bleibende Regeldifferenz $e$ gleich null.

Zur Veranschaulichung der Übertragungsfunktion von LZI-Systemen wird häufig das Bodediagramm verwendet.

Stabilität

Die Stabilität eines Regelkreises lässt sich mit Hilfe von einigen Methoden abschätzen. Grundvoraussetzung ist, dass ein mathematisches Modell der Regelstrecke vorliegt, was in der Praxis oft nicht der Fall ist.

Im Fall von LZI-Systemen kann für die Betrachtung der Stabilität auf die charakteristische Gleichung zurückgegriffen werden. Diese lautet, für den Standardregelkreis, wenn die Übertragungsfunktion der Messeinrichtung $G_{M}(s)=1$ ist

$1+G_{o}(s)=0$.

Gilt für die Übertragungsfunktion der Messeinrichtung $G_{M}(s)$ ≠ $1$, so lautet die charakteristische Gleichung

$1+G_{o}(s)\cdot G_{M}(s)=0$.

Dabei besitzt ein Regelsystem n-ter Ordnung mit vollständig steuer- und beobachtbarer Strecke eine charakteristische Gleichung n-ter Ordnung. Liegen bei zeitkontinuierlichen Systemen alle Pole, das heißt Lösungen der charakteristischen Gleichung, in der linken Halbebene der komplexen s-Ebene, so ist das Regelsystem stabil.

Stabilitätsabschätzung über die Dämpfung Hurwitzkriterium. Manchmal ist das System nicht zustandsstabil, aber BIBO-stabil.

Einstellregeln für geregelte Systeme

Es gibt mehrere Methoden, um Regler einzustellen. Sie dienen dazu, einen Regler beim ersten Einsatz einigermaßen richtig einzustellen. Sie stellen selten ein Optimum dar. Nahezu gewünschte Ergebnisse, in jedem Fall für den Anwendungsfall akzeptable, erzielt man bei "einfacheren" Systemen (PDT3 u.ä.) durch Dimensionierung nach dem Betrags- bzw. Symmetrischen Optimum.

Es gibt Einstellregeln für Regelsysteme, wo man bereits ein Modell kennt, und rein empirische, welche ohne jede mathematische Systemkenntnis funktionieren.

Reglerentwurfverfahren

Ohne mathematisches Gütekriterium

• indirekte Verfahren

- Frequenzkennlinien

- Wurzelortskurven

• direkte Verfahren

- Kompensation

- Polvorgabe

• heuristische Parametereinstellungen

- Ziegler-Nichols

Mit mathematischem Gütekriterium

• Parameteroptimierung

- Betragsoptimum

- Minimierung der quadratischen Regelfläche

• Strukturoptimierung

- Riccati-Regler

Ziegler-Nichols

Die Reglereinstellungen nach Ziegler-Nichols sind für stark verzögernde Prozesse, wie sie z. B. in verfahrenstechnischen Prozessen auftreten, gedacht. Charakteristisch für solche Prozesse ist die s-förmige Gestalt der Sprungantwort.
Bei Einstellung des Reglers nach diesem Verfahren, wird ein leicht schwingendes Führungsverhalten (schlechter als beim Reglerentwurf nach dem Betragsoptimum) aber ein gutes Störverhalten erreicht. Es eignet sich deshalb vor allem für Prozesse, bei denen überwiegend Störungen ausgeregelt werden sollen.

Das Verfahren von Ziegler und Nichols funktioniert für Systeme, in denen die Kritische Verstärkung $K_{P,kr}$ und die Schwingungsfrequenz $\omega _{kr}$ in Radian/s bei der kritischen Verstärkung bekannt sind, das mathematische Prozessmodell wird nicht benötigt. Die Schwingungsperiode bei der kritischen Verstärkung beträgt $T_{kr}={\frac {2\pi }{\omega _{kr}}}$. In diesem Fall lauten die Einstellregeln für die Verstärkung $K_{P}$, die Nachstellzeit $T_{N}$ und die Vorhaltezeit $T_{V}$:

• für P-Regler: $K_{P}=0.5K_{P,kr}$
• für PI-Regler: $K_{P}=0.45K_{P,kr}$, $T_{N}=0.85T_{kr}$
• für PD-Regler: $K_{P}=0.55K_{P,kr}$, $T_{V}=0.15T_{kr}$
• für PID-Regler: $K_{P}=0.6K_{P,kr}$, $T_{N}=0.5T_{kr}$, $T_{V}=0.12T_{kr}$

Sind zu Beginn der Inbetriebnahme des Reglers die kritische Verstärkung und die kritische Schwingungsperiode unbekannt, können diese mit einem Experiment bestimmt werden. Dazu wird in einem ersten Schritt ein reiner P-Regler eingesetzt, respektive an den anderen Reglern $T_{N}=\infty$ und $T_{V}=0$ gesetzt. Die kritische Verstärkung liegt bei dem Wert von $K_{P}$, wo die Ausgangsgrösse des Regelsystems bei konstantem Eingang (Sollwert) gerade stabil schwingt. Die Schwingungsdauer dieser Schwingung ist $T_{kr}$, damit sind die Voraussetzungen für den Einsatz von Ziegler-Nichols gegeben.

Ein Versuch wie oben beschrieben kann jedoch nur dort durchgeführt werden, wo ein Ausscheren des realen Systems in den instabilen Bereich keine schädlichen Folgen hat. Ein instabiler Tempomat am Auto würde konstant Vollgas geben, ein instabiler Kühlschrank würde laufen bis zur Überhitzung des Motors.

Kompensation von Zeitkonstanten

Die Nachstellzeit des Reglers wird auf die größte Zeitkonstante des Systems eingestellt, dadurch vereinfacht sich die Übertragungsfunktion $G_{o}$ des aufgeschnittenen Regelkreises um eine Ordnung.

T-Summen-Regel

Bei Strecken mit Tiefpassverhalten wird die Summenzeitkonstante als Summe aller verzögernden Zeitkonstanten abzüglich aller differenzierenden Zeitkonstanten gebildet.

Für die Reglereinstellungen gilt dann folgendes:

• P-Regler: $K_{P}=1/K_{s}$
• PI-Regler: $K_{P}=K_{s}/2,\;T_{N}=0,5T_{Summe}$
• PD-Regler: $K_{P}=1/K_{s},\;T_{V}=0,33T_{Summe}$
• PID-Regler: $K_{P}=01/K_{s},\;T_{N}=0,66T_{Summe},\;T_{V}=0,167T_{Summe}$

Betragsoptimum

Einen Regler kann man nach dem Betragsoptimum auslegen. Dies bedeutet, dass man versucht, nach einem Sollwertsprung oder Störsprung in möglichst kurzer, dennoch physikalisch möglicher Zeit den Istwert dem Sollwert folgen zu lassen.

Folgende Schritte sind beim Erstellen eines Reglers nach Betragsoptimum für eine PTn-Strecke zu beachten:

Zeitkonstanten

Jede weitere Zeitkonstante, die über die Anzahl von zwei hinausgeht, sind über die Summenzeitkonstante zusammenzufassen. Somit erhält man eine Übertragungsfunktion der Form

$G(s)={\frac {K_{s}}{(1+T_{1})(1+T_{2})(1+T_{0})}}$

Reglerdimensionierung

Die so erhaltene Übertragungsfunktion des Systems kann nun über einen Regler in der multiplikativen Form "bearbeitet" werden. Befinden sich beide Systeme in Reihenschaltung (also kein Regelkreis), gilt folgendes:

$G_{o}(s)=G_{s}(s)\cdot G_{r}(s)$ -- Regelstrecke mal Regler (im Falle des Regelkreises) --

Somit lässt sich ein gewünschtes Regelverhalten auf einfache Weise realisieren. Durch Verwenden beliebiger Nullstellen und Pole im Regler-Teil und vereinfachtes Bruchrechnen entsteht nun ein gewünschtes Gesamtsystem:

$G_{o}(s)={\frac {K_{s}}{''(1+sT_{1})(1+sT_{2})''(1+sT_{o})}}\cdot {\frac {K_{r}''(1+sT_{N})(1+sT_{V})''}{sT_{N}(1+sT_{R})}}$

wobei sich hierbei die in Anführungsstrichen befindlichen Ausdrücke kürzen wenn

$T_{N}=T_{1};\ T_{V}=T_{2};\ T_{1}>T_{2};\ T_{R}=0$ gesetzt wird.

Somit erhält man für die neu eingeführten Bezeichner folgende Verhältnisse:

$G_{o}(s)={\frac {K_{r}\cdot K_{s}}{(1+sT_{o})sT_{N}}}={\frac {K_{r}\cdot K_{s}}{sT_{1}(1+sT_{o})}}$

Zu beachten ist hierbei, dass evtl. vorhandene konjugiert komplexe Streckenpole in additiver Form (des Reglers) gekürzt werden.

Das somit entstandene System lässt nun in Reihe zur Strecke schalten. Ist ein Regelkreis gewünscht oder nötig, ist dieser über die Formel der Rückkopplung zu berechnen:

$G_{w}(s)={\frac {G_{o}(s)}{1+G_{o}(s)}}$

Symmetrisches Optimum

Ist die Regelstrecke eine ITn - Strecke, kann das Symmetrische Optimum verwendet werden, welches für ebensolche mit reellen Polen entwickelt wurde. In manchen Fällen kann das Symmetrische Optimum ein besseres Störverhalten bei PTn-Strecken aufweisen.

Problematisch bei der Regelung nach Symmetrischem Optimum ist ein starkes Überschwingverhalten des Ist-Wertes (~ 40%). Dieser muss über eine Sollwertglättung kontrolliert werden. Akzeptabel ist hierbei, wie in sämtlichen Regelstrecken, etwa 6% (abhängig vom Anwendungsfall).

Zustandsregelung

Bei der Zustandsregelung werden die Zustände zur Regelung zurückgeführt. Durch diese ist es möglich eine Mehrgrößenregelung im Zeitbereich durchzuführen. Eine Mehrgrößenregelung hat den Vorteil, dass die einzelnen Regelgrößen so behandelt werden können, das sie separat geregelt werden können ohne sich zu beeinflussen. Beispielsweise kann bei einem Flugzeug die Flughöhe unabhängig von der Geschwindigkeit geregelt werden. Mögliche Verfahren zur Zustandsregelung sind Polverschiebung und Polvorgabe. Die Güte eine Regelung kann über die ITAE-Kriterium bestimmt werden.

Bei den meisten Systemen sind allerdings nicht alle Zustandsvariablen messbar, beziehungsweise es ist zu teuer alle zu messen. Daher berechnen Beobachter den Zustand von Zustandsvariablen aus den anderen Zuständen um so eine Zustandsregelung zu ermöglichen.Teilweise werden Beobachter auch eingesetzt um eine gewünschte Redundanz herzustellen um z.B. den Verlust von Sensoren zu kompensieren.

Zum Einfluss von Störgrößen kann ein Störgrößenmodell aufgestellt werden und der Einfluss dieser durch Störgrößenaufschaltung verhindert werden.

Digitale Regelung

In der digitalen Regelung werden die Rückführungsgröße und die Sollgröße in festen Zeitabständen abgetastet und in digitale Zahlenwerte umgewandelt. Der Regler berechnet aus diesen digitalisierten Größen die Stellgröße, die wieder in festen Zeitabständen ausgegeben und in eine analoge Größe umgewandelt wird. Zur mathematischen Behandlung von digitalen Regelungen wird häufig die z-Transformation eingesetzt.

Weitere Regler

• Prädiktor-Regler
• H2-Regler
• H-unendlich-Regler
• Fuzzy-Regler
• Unstetige Regler

Allgemeines Vorgehen zur Analyse eines Systems

x(t)= Zustandsgrößen;

u(t)= Eingangsgröße, Stellgrösse;

y(t)= Ausgangsgröße, Regelgrösse;

Φ(t)= Transitionsmatrix;

A = Systemmatrix;

b = Eingangsvektor;

B = Eingangsmatrix;

$c^{T}$ = Ausgangsvektor;

C = Ausgangsmatrix;

d = Durchgriffsterm;

D = Durchgriffsmatrix;

E = Einheitsmatrix;

$P^{-1}$ = Inverse von P Matrix;

$P={\begin{pmatrix}p_{1}&p_{2}&...&p_{i}\end{pmatrix}}$;

S= Zustandsgröße=Anzahl der Energiespeicher(Kondensator, Induktivität, Feder, Dämpfer, ...)

• Differentialgleichungen

des Systems aufstellen, wenn x, x' und x in den Dgl's auftauchen, setzt man $x_{1}=x$; $x_{2}=x'$, dann kann man $x_{1}$ und $x_{2}$als x' in die untere Gleichung $x'(t)=A*x+B*u$einsetzen

• $x'(t)=A*x+B*u$ = Eingangsgleichung
• $y(t)=c^{T}*x+D*u$ = Ausgangsgleichung

• Eigenwerte

$s_{i}$ von A bestimmen [$[s*E-A]=0$ ergibt bestimmte $s_{i}$ ]

• Eigenvektoren

$p_{i}$ von A bestimmen [einsetzen von $s_{i}$ in $[s_{i}*E-A]*P_{i}=0]$]

• Transitionsmatrix Φ(t)

aufstellen Φ(t)$=P*diag(e^{s_{i}*t})*P^{-1}$

Φ(t)$=(e^{A*t})$

Φ(s)$=[s*E-A]^{-1}=0$

• Steuerbarkeit

trifft zu, wenn $s_{i}^{T}*b\neq 0$ oder $detQ_{s}\neq 0$ mit $Q_{s}=[b,A*b,A^{2}*b,...,A^{n-1}*b]$. Werden die Zustandsgrößen nicht durch den Eingangsvektor beeinflusst ist das System nicht steuerbar. Steuerbar ist ein lineares zeitinvariantes System ,wenn $rang[B|A*B|...|A^{n-1}*B]=n$ $s_{1}=[B|A*B|...|A^{n-1}*B]$ (nxn*r)Hypermatrix muss n lineare unabhängige Spaltenvektoren enthalten und $|s_{1}|\neq 0$ muss vollen Rang haben.

• Steuerbarkeits Normalform (Frobenius Form)

$A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-a_{0}&-a_{1}&-a_{2}\end{pmatrix}}$

Ψ(s)$=s^{3}+s^{2}*a_{2}+s*a_{1}+a_{0}$

• Zustandssteuerbar

ist ein lineares System, wenn für jeden Anfangszustand x(t_0)eine Steuerfunktion u(t) gibt, die das System innerhalb einer beliebigen endlichen Zeitspanne t_0<=t<=t_1 in den Endzustand x(t_1)=0 überführt

• Beobachtbarkeit

trifft zu, wenn $c^{T}*p_{i}\neq 0$oder ein System ist auch dann Beobachtbar, wenn $detQ_{b}\neq 0$ mit $Q_{b}^{T}=[c^{T},c^{T}*A,c^{T}*A^{2},...,C^{T}*A^{n-1}]$gilt. Haben die Zustandsgrößen keinen Einfluss auf den Ausgangsvektor, dann ist das System nicht beobachtbar.Ein lineares System ist dann beobachtbar, wenn bei bekannter Steuerfunktion u(t) und bekannter Matrizen A und C aus der Messung des Anfangsvektors y(t) über eine endliches Zeitintervall $t_{0}<=t<=t_{1}$ der Anfangszustand $x(t_{0})$ eindeutig bestimmt werden kann.Ein lineares zeitinvariantes System s ist beobachtbar wenn Rang von $S_{2}=n$

$s_{2}^{T}=[c^{T}|(c*A)^{T}|...|(c*A^{n-1})^{T}|]$

• Beobachtbarkeits Normalform

$A={\begin{pmatrix}0&0&...&0&-a_{0}\\1&0&....&0&-a_{1}\\0&1&....&0&-a_{2}\\...&...&...&...\\0&0&...&1&-a_{n-1}\\\end{pmatrix}}$

• Diagonalform und Jordan-Normalform

Die folgende Übertragungsfunktion entspricht der Partialbruchzerlegung der eigentlichen Übertragungsfunktion. Der Term $\alpha _{0}$ ist nur von Null verschieden, wenn der Grad des Zählers gleich dem Grad des Nenners der Übertragungsfunktion ist. Bei dieser Form können die Pole der Übertragungsfunktion direkt abgelesen werden.

$G(s)=\alpha _{0}+{\frac {\alpha _{1}}{s-s_{p1}}}+{\frac {\alpha _{2}}{s-s_{p2}}}+\ldots +{\frac {\alpha _{n}}{s-s_{pn}}}$

$A={\begin{pmatrix}s_{p1}&0&\ldots &0\\0&s_{p2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ldots \\0&0&\ldots &s_{pn}\end{pmatrix}}$

$B={\begin{pmatrix}\alpha _{1}\\\alpha _{2}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{pmatrix}}$

$C={\begin{pmatrix}1&1&\ldots &1\end{pmatrix}}$

$D=\alpha _{0}$

Wenn die Systemmatrix A nicht nur einfache bzw. halbeinfache Eigenwerte besitzt, ist eine Transformation in die Diagonalform nicht möglich. In diesem Fall muss man das System in die Jordan-Normalform transformieren.

• Bibostabilität (bounded input - bounded output)

Pole der Übertragungsfunktion Re<0, sonst instabil

• asym. stabil

ist ein System ,wenn alle$Re[s_{i}]<0$

• Linkseigenvektor

$P_{i}^{T}*(s_{i}*E-A)=0$ $P_{i}$ist dann Linkseigenvektor von A.

• Rechtseigenvektor

$(s_{i}*E-A)*P_{i}=0$ $P_{i}$ ist dann Rechtseigenvektor von A.

• Differentialgleichung

ausrechnen mit Laplace oder mit partikuleren und homogenen Ansatz siehe Merziger Wirth, Bronstein,....

• homogene Lösung

Eingangsgleichung, Eingangsgröße =0 daraus ergibt sich die Zustandsgröße = Anfangswert$*e^{s*t}$

• partikuläre Lösung

Zustandsgröße =Φc

• homogene + partikuläre Lösung = Lösung der DGL

x(Zustandsgröße)=Φ(t)*Anfangswert($x_{0}$)+ $\int _{0}^{t}\,$Φ$({t-h})*b*u(h)\,\mathrm {d} h$

• Übertragungsfunktion des Systems

$G(s)=y(s)/u(s)=c*(sT-A)^{-1}*b+d$

Ist G(s)=

• 1/s, dann ist das System realisierbar kausal aber nicht sprungfähig
• s/s, dann ist das System realisierbar kausal und sprungfähig
• s/1,nicht realisierbar nicht kausal

• z. B. $(s+100)/(s*(s+5)^{2})$ dann ist der Zählergrad 1/Nennergrad 3 daraus folgt Z°<N°bedeutet System ist nicht sprungfähig d=0 system ist stabil und realisierbar.

• wenn Z°<=N° dann ist das System kausal
• ist Z°=N° dann ist das System sprungfähig kausal direkter Durchgriff
• bei Z°>N° ist das System nicht kausal und nicht realisierbar instabil
• bei Z°<N° ist das System kausal

Literatur

• Jan Lunze: Regelungstechnik, Springer Verlag, Bd. 1 ISBN 3-540-28326-9, Bd. 2 ISBN 3-540-32335-X
• Otto Föllinger: Regelungstechnik, Hüthig Verlag, ISBN 3-778-52336-8
• Wilhelm Haager: Regelungstechnik, öbv&hpt, Wien, ISBN 3-209-01903-7
• Heinz Unbehauen: Regelungstechnik 1, Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden, ISBN 3-528-93332-1
• Lutz & Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik, Verlag Harry Deutsch, ISBN 3-8171-1629-2, Ausgabe 2005, ISBN 3-8171-1749-3
• Josef Uphaus: Regelungstechnik , Bildungsverlag Eins, ISBN 3-427-44510-0
• Jürgen Müller: Regeln mit SIMATIC, Publicis Corporate Publishing, Erlangen (2004), ISBN 3-89578-248-3
• Kurt Reinschke: Lineare Steuerungs- und Regelungstheorie (2005), Springer Verlag, Dresden , ISBN 3-540-21886-6
• Berthold Heinrich [Hrsg.]: Messen, Steuern, Regeln (2005), Vieweg Verlag, Wiesbaden, ISBN 3-8348-0006-6
• Nicolaos Dourdoumas, Martin Horn: Regelungstechnik, Pearson, ISBN 3-8273-7059-0
• Gerd Schulz: Regelungstechnik (2002),Oldenbourg Verlag, ISBN 3-486-25858-3
• Manfred Schleicher: Regelungstechnik für den Praktiker (2006), Fa. JUMO GmbH & Co, ISBN 3-935742-00-2

Siehe auch

• Mechatronik
• Analogrechner
• Digitale Signalprozessoren
• Regelkreis
• Wurzelortskurve
• Sensor
• Aktor
• Regler
• Elektrische Maschine
• Portal:Elektrotechnik
• Elektrotechnik
• Kybernetik
• Steuerungstechnik
• Kaskadenregelung

Weblinks

• Demo-Version von WinFACT 7, ein Simulationsprogramm mit vielen Informationen auf den HILFE-Seiten
• RoboterNetz Wissen Drehzahlregelung
• RED (Regelungstechnik Editor 1.0) - Ein Windowsprogramm zum Erstellen und Simulieren von einfachen Regelkreisen (benötigt Mathematica 5.0 oder höher)