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Datei:Erlang-distribution.png Dichte der Erlangverteilung Die Erlang-Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung . Sie wurde von Agner Krarup Erlang für die statistische Modellierung der Intervall-Längen zwischen Telefonanrufen entwickelt.
Die Erlang-Verteilung wird vor allem in der Warteschlangentheorie verwendet, um die Wartezeiten zwischen der Ankunft zweier Kunden zu erfassen, sowie in der Qualitätssicherung zur Beschreibung von Lebensdauern . Zwei häufig genutzte Formen sind die Erlang B - und die Erlang C -Formel.
Definition
Die Erlang-Verteilung
Erl
(
λ
,
n
)
{\displaystyle \operatorname {Erl} (\lambda ,n)}
λ
{\displaystyle \lambda }
reellen Zahl ) und
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
natürlichen Zahl ) ist eine spezielle Gammaverteilung , die durch die Dichtefunktion
f
(
x
)
=
{
λ
n
(
n
−
1
)
!
x
n
−
1
e
−
λ
x
x
≥
0
0
x
<
0
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {\lambda ^{n}}{(n-1)!}}x^{n-1}e^{-\lambda x}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}
festgelegt wird.
Die Wahrscheinlichkeit, dass
X
≤
x
{\displaystyle X\leq x}
Verteilungsfunktion
F
(
x
)
=
{
λ
n
(
n
−
1
)
!
∫
0
x
t
n
−
1
e
−
λ
t
d
t
=
γ
(
n
,
λ
x
)
(
n
−
1
)
!
x
≥
0
0
x
<
0
{\displaystyle F(x)={\begin{cases}{\frac {\lambda ^{n}}{(n-1)!}}\int _{0}^{x}t^{n-1}e^{-\lambda t}\mathrm {d} t={\frac {\gamma (n,\lambda x)}{(n-1)!}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}
gegeben, wobei
γ
{\displaystyle \gamma }
unvollständige Gammafunktion bezeichnet.
Eigenschaften
Erwartungswert
Die Erlang-Verteilung besitzt den Erwartungswert
E
(
X
)
=
∫
0
∞
x
λ
n
x
n
−
1
(
n
−
1
)
!
e
−
λ
x
d
x
=
n
λ
{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int \limits _{0}^{\infty }x{\frac {\lambda ^{n}x^{n-1}}{(n-1)!}}\,e^{-\lambda x}\operatorname {d} x={\frac {n}{\lambda }}}
Varianz
Analog ergibt sich die Varianz zu
Var
(
X
)
=
∫
0
∞
x
2
λ
n
x
n
−
1
(
n
−
1
)
!
e
−
λ
x
d
x
−
(
n
λ
)
2
=
n
λ
2
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{2}{\frac {\lambda ^{n}x^{n-1}}{(n-1)!}}\,e^{-\lambda x}\operatorname {d} x-\left({\frac {n}{\lambda }}\right)^{2}={\frac {n}{\lambda ^{2}}}}
Beziehungen zu anderen Verteilungen
Beziehung zur Exponentialverteilung
Die Erlang-Verteilung
Erl
(
λ
,
n
)
{\displaystyle \operatorname {Erl} (\lambda ,n)}
n
=
1
{\displaystyle n=1}
Erl
(
λ
,
1
)
=
Exp
(
λ
)
{\displaystyle \operatorname {Erl} (\lambda ,1)=\operatorname {Exp} (\lambda )}
Es seien
n
{\displaystyle n}
λ
{\displaystyle \lambda }
exponentialverteilte Zufallsvariablen
Y
i
(
i
=
1
,
…
,
n
)
{\displaystyle Y_{i}(i=1,\dots ,n)}
stochastisch unabhängig sind, gegeben. Dann ist die Zufallsvariable
X
=
Y
1
+
Y
2
+
⋯
+
Y
n
{\displaystyle X=Y_{1}+Y_{2}+\dots +Y_{n}}
n
{\displaystyle n}
λ
{\displaystyle \lambda }
(
n
∈
N
,
λ
≥
0
)
{\displaystyle (n\in {\mathbb {N} },\lambda \geq 0)}
Beziehung zur Poisson-Verteilung
Für einen Poisson-Prozess wird die zufällige Anzahl der Ereignisse bis zu einem definierten Zeitpunkt mittels Poisson-Verteilung
Poi
(
λ
,
n
)
{\displaystyle \operatorname {Poi} (\lambda ,n)}
n
{\displaystyle n}
Erlang-verteilt . Im Fall
n
=
1
{\displaystyle n=1}
Die Erlang-Verteilung ist die zur Poisson-Verteilung konjugierte Verteilung.
Beziehung zur stetigen Gleichverteilung
Eine Erlang-Verteilung kann als Faltung von n gleichmäßig stetig verteilten Funktionen
X
(
0
,
1
)
{\displaystyle X(0,1)}
Erl
(
λ
,
n
)
∼
−
1
λ
ln
(
∏
i
=
1
n
x
i
)
{\displaystyle \operatorname {Erl} (\lambda ,n)\sim -{\frac {1}{\lambda }}\ln {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)}}
