Bel (Einheit)

Das Bel (B) ist eine nach Alexander Graham Bell benannte Hilfsmaßeinheit zur Kennzeichnung von Pegeln und Maßen. Diese logarithmischen Größen finden ihre Anwendung unter anderem in der Akustik (z. B.: Schalldruckpegel,Schalldämm-Maß), der Hochfrequenztechnik als Teil der Nachrichtentechnik (z. B.: SNR), der Tontechnik und der Automatisierungstechnik. In der Praxis ist die Verwendung des zehnten Teils eines Bels üblich, also das Dezibel (Kurzzeichen dB).

Es werden damit zwei Grössen, welche von gleicher physikalischer Dimension sein müssen, miteinander in Relation gesetzt. Wie beispielsweise Signalpegel oder bei Verstärkungen (engl.: Gain) oder Dämpfungen (engl.: Loss) die Eingangs- zu Ausgangssignalgrösse.

Die Verpegelung von physikalischen Grössen erlaubt eine schnellere und anschaulichere Interpretation, da damit die betragsmässigen Wertebereiche durch den Logarithmus auf meist zwei bis drei Dezimalstellen reduziert werden. Ausserdem wird die Multiplikation in eine Addition, sowie die Exponentialfunktion in eine Multiplikation umgewandelt was das Rechnen von Hand mit Pegelwerten in Bel vereinfacht.

Auch wenn Pegelangaben vor allem für elektrische und akustische Größen verwendet werden, sind sie nicht darauf beschränkt. Jedes Verhältnis kann in Bel bzw. dB angegeben werden, so z. B. auch Massen- oder Kraftverhältnisse.

Dezibel

Es gilt:

$1\,\mathrm {dB} ={\frac {1\,\mathrm {B} }{10}}$.

Das Präfix d steht für den zehnten Bruchteil.

Definition

Das Bel beschreibt den Pegel, der als dekadischer Logarithmus des Verhältnisses zweier physikalischer Größen definiert ist:

$\mathrm {Pegel} =\lg {\frac {{\mathrm {Leistung} }_{1}}{{\mathrm {Leistung} }_{2}}}$

$L=\lg {\frac {P_{1}}{P_{2}}}\mathrm {\ in\ B}$

Pegel beschreiben dimensionslose Verhältnisse. Somit handelt es sich bei dem Bel um den Spezialfall einer Verhältniszahl (Hinweiswort) und nicht um eine physikalische Einheit im eigentlichen Sinne. Man spricht in diesem Sinne auch häufig von Pseudoeinheiten, da Bel und Dezibel vielmehr für Rechenvorschriften stehen.

Das Bel bzw. Dezibel ist definiert auf die Relation von Energiegrößen (bzw. Leistungsgrößen) P. Bei der Rechnung mit Feldgrößen wie der elektrischen Spannung U oder den elektrischen Strom I müssen diese quadratisch eingesetzt werden um mit Leistungsgrößen direkt vergleichbar zu sein. Es gilt:

$L=10\cdot \lg {P_{1} \over P_{2}}=10\cdot \lg {\frac {U_{1}^{2}}{U_{2}^{2}}}=10\cdot \lg \left({\frac {U_{1}}{U_{2}}}\right)^{2}=20\cdot \lg {U_{1} \over U_{2}}\mathrm {\ in\ dB}$

Anwendung

Durch die Verwendung von Logarithmen wird eine Multiplikation in eine Addition, sowie eine Exponentialfuntkion in eine Multiplikation, umgewandelt. Dieses vereinfacht die Berechnung wesentlich, weshalb das Dezibel immer dort angewendet wird wo sich Größen akkumulieren.

Beispielsweise müssen die Verstärkungen in Serie geschaltener Verstärker miteinander multipliziert werden um die Gesamtverstärkung des Systems zu erhalten:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle A_{sys} = A_1 \cdot A_2 \cdot \dots \cdot A_n }

Um diesen Vorgang zu vereinfachen werden die einzelnen Verstärkungen in Dezibel umgerechnet. Dabei gilt es zu beachten, dass es sich bei der Verstärkung um eine linear abhängige Größe handelt:

$A_{1,dB}=20\lg A_{1}$

$A_{2,dB}=20\lg A_{2}$

$\dots$

$A_{n,dB}=20\lg A_{n}$

Dadurch wird die Formel vereinfacht:

$A_{sys,dB}=A_{1,dB}+A_{2,dB}+\dots +A_{n,dB}$

Die Verstärkung erhält man durch die Umkehrung

$A_{sys}=10^{\frac {A_{sys,dB}}{20}}$.

Einheiten

Verstärkungen können einheitenbehaftet sein. Da man jedoch von Einheiten nicht den Logarithmus bilden kann, würde der Vorteil des Bel durch die getrennte Einheitengleichung verloren gehen. Um dieses zu umgehen wird das dB um abgeleitete Einheiten, bzw. um zusätzliche Bezeichner, in der Form dBx erweitert.

Beispielsweise wird ein Wert von 1 Volt, ausgedrückt in Dezibel, mit der Einheit dBV (Dezibelvolt) bezeichnet.

Absoluter Pegel und relativer Pegel

Pegel beschreiben das Verhältnis zwischen einer gemessenen Größe, wie Strom, Spannung oder Leistung und einer Bezugsgröße. Man unterscheidet dabei den „relativen Pegel“ und den „absoluten Pegel“. Wird eine Größe auf eine andere Größe mit beliebigem Wert bezogen, so spricht man von einem „relativen Pegel“. Bezieht man sich jedoch auf einen genormten Standardwert so spricht man von einem „absoluten Pegel“: Dämpfungen oder Verstärkungen müssen in relativen und nicht in absoluten Werten angegeben werden, denn die Amplitude des zu verstärkenden Signals ist nicht von vorneherein bekannt.

Bei der absoluten Pegelangabe dBu beispielsweise ist der Bezugswert 0,7746 Volt. Ein Pegel von 0 dBu entspricht daher genau dieser Spannung. Die Angabe 10 dBu bedeutet also einfach 10 dB mehr als der genannte Bezugspegel. Es ist somit jeder positiven Spannung genau eine Angabe in dBu zugeordnet.

Eine Tabelle zur Umrechnung von Spannungs- und Leistungsverhältnissen mit Berücksichtigung der Unterschiede zwischen relativen und absoluten Pegeln findet sich auf Dezibel (Umrechnungstabellen)

Bezieht man sich bei der Angabe von Leistungen auf einen bestimmten Wellenwiderstand, so lassen sich Spannung und Leistung direkt in dBm umrechnen. Üblich ist in der Telefontechnik (Niederfrequenztechnik) der Bezug auf 600 Ω (0 dB = 1 mW an 600 Ω = 0,7746 Volt) und in der Hochfrequenztechnik auf 50 Ω (0 dBm = 1 mW an 50 Ω = 0,2236 Volt).

Anwendungsfälle

Pegelangaben sind in der Akustik und in der Elektrotechnik zur Quantifizierung physikalischer Größen weit verbreitet. Für diese Angabe ist eine Konvention über die jeweils zu verwendenden Bezugswerte (den Nenner im logarithmierten Verhältnis) nötig. Diese werden meistens mit dem Index "0" versehen, also z. B. für die Bezugsspannung: U₀. Einige Beispiele sind in der folgenden Tabelle aufgeführt:

Pegel	Bezugswert
Spannungspegel LU (NF)	$U_{0}=0{,}7746$ V
Spannungspegel LU (HF)	$U_{0}=1$ µV
Leistungspegel LW	$P_{0}=1$ mW
el. Feldstärkepegel Le	$e_{0}=1$ µV/m
Schalldruckpegel Lp	$p_{0}=2$ · 10-5 Pa = 20 µPa
Schallschnellepegel Lv	$p_{0}=5$ · 10-8 m/s
Schallleistungspegel LPak	$P_{0}=10$-12 W
Schallintensitätspegel LI	$I_{0}=10$-12 W/m2
Schallenergiedichtepegel LE	$E_{0}=10$-12 W·s/m3

Das Dezibel wird benutzt, um Angaben zu linearen Feldgrößen und quadratischen Energiegrößen machen.

Literatur

• Jürgen H. Maue; Heinz Hoffmann; Arndt von Lüpke: 0 Dezibel plus 0 Dezibel gleich 3 Dezibel. Berlin: Erich Schmidt Verlag, 2003, ISBN 3-503-07470-8

Siehe auch

• Dezibel (Spannungspegel)
• Dezibel (Leistungspegel)
• Dezibel (Umrechnungstabellen)
• Feldgröße
• Energiegröße

Weblinks

• Dezibel-Rechner für Feldgröße und Energiegröße
• dB-Berechnungen mit dem jeweiligen Rechner
• Mit dem dB auf Du und Du