Wachstum (Mathematik)

Als Wachstum bezeichnet man den zeitlichen Anstieg einer bestimmten Messgröße. Es kann daher als mathematische Ableitung einer Funktion aufgefasst werden, die zu jedem Zeitpunkt einen bestimmten Wert der Messgröße zuordnet.

Das Gegenteil von Wachstum ist die Abnahme, im Falle von Volumenabnahme Schrumpfung genannt, beziehungsweise der Zerfall. In diesem Zusammenhang fällt oft der von der mathematischen Modellierung abgeleitete und umgangssprachlich missverstandene Begriff Negativwachstum.

Mathematische Beschreibung

Wachstum ist das zeitliche Verhalten einer System-Messgröße. Zunächst wird zu einem bestimmten Zeitpunkt $t_{1}$ der Wert dieser Größe bestimmt. Zu einem späteren Zeitpunkt $t_{2}$ wird der Wert dieser Größe wieder bestimmt.

Ist dieser zweite Wert $W(t_{2})$ größer als der erste $W(t_{1})$, dann spricht man von positivem Wachstum. Dieser Fall entspricht dem allgemeinen Sprachgebrauch.

Ist $W(t_{2})$ kleiner als $W(t_{1})$, ist also die Differenz $W(t_{2})-W(t_{1})<0$, spricht man von negativem Wachstum.

Im Falle $W(t2)=W(t1)$ spricht man von Nullwachstum.

Darstellung von Wachstumskurven

Bei zahlreichen Messpunkten werden diese zur Veranschaulichung in einem Diagramm dargestellt, meistens als geschlossener Kurvenzug. Dabei sollte aber nicht vergessen werden, dass das tatsächliche Verhalten des Systems zwischen den Messpunkten wegen der Zeitdiskretisierung nicht bekannt ist und höchstens durch ein mehr oder weniger genaues Modell beschreibbar ist. Bei bestimmten Wachstumsarten können auch mathematische Modelle (Funktionen) zur Beschreibung des Verhaltens in einem Funktionsgraph Verwendung finden.

Wachstumsarten

linear

Ein Wachstum heißt lineares Wachstum, wenn die Änderungsrate konstant ist. Bei linearem Wachstum gilt für den Bestand B(t) nach t Zeitschritten B(t) = m · t + c. Dabei ist m die Änderungsrate und c der Anfangsbestand B(0).

exponentiell

Ein Wachstum heißt exponentielles Wachstum, wenn für jeden Zeitschritt Bestand(neu) = a · Bestand(alt) gilt mit einer für alle Zeitschritte gleichen Zahl wie a (Wachstumsfaktor). Bei exponentiellem Wachstum gilt für den Bestand B(t) nach t Zeitschritten B(t) = B (0) · a^t.

beschränkt

Ein Wachstum heißt beschränktes Wachstum mit der Schranke (Kapazität) S, wenn sich der Bestand B(t) nach t Zeitschritten im nächsten Zeitschritt um k · [S - B(t)] ändert mit einer für alle Zeitschritte gleichen Zahl k, wenn also die Änderungsrate zum Sättigungsmanko S - B(t) proportional ist.

Logistische Funktion mit der Schranke S=1

logistisch

Ein Wachstum heißt logistisches Wachstum mit der Schranke S, wenn sich der Bestand B (t) nach t Zeitschritten im nächsten Zeitschritt um k · B (t) · [S - B(t)] ändert, wenn also die Änderungsrate zum Produkt aus Bestand und Sättigungsmanko proportional ist.

Die Differenzbildung von S und B(t) zeigt, das S die gleiche Dimension hat, wie B(t). S ist also keine Wachstumsgrenze, sondern eine Bestandsgrenze. Daraus ergibt sich, dass das Wachstum (W) nicht dem Verlauf der logistischen Funktion (LF) folgt. Sondern der Bestand folgt der logistischen Funktion. Das logistische Wachstum dagegen folgt dem Verlauf der ersten Ableitung der logistischen Funktion. Das ist eine Glockenkurve (die wiederum nicht mit einer Gauss-Kurve verwechselt werden sollte).

Neben der Ableitung W selbst ist auch das Produkt aus W und LF interessant (orange Kurve in der Grafik). Dieses Produkt ist das mit der logistischen Funktion gewichtete Wachstum. Beschreibt die logistische Funktion beispielsweise einen Markt als "Bestand", so bewirkt ein Wachstum im Sättigungsbereich (oberer Teil der logistischen Funktion) absolut einen größeren Umsatz als das gleiche Wachstum im Bereich der Emergenz des Marktes (unterer Teil der logistischen Funktion). Der Verlauf dieses gewichteten Wachstums ist aber bei zunehmender Marktsättigung genauso einem Rückgang unterworfen, wie das Wachstum des Marktes selbst.

Eine andere Praxis der Gewichtung des Wachstums erklärt die Unterschiede der Wahrnehmung von Wachstum einerseits aus wirtschaftlicher und andererseits aus physikalischer Sicht. Eine in der Natur der logistischen Funktion begründete Eigenschaft dieser Funktion ist, dass man dem glockenförmige Wachstum mit einer zeitabhängigen Normierung wieder den Verlauf einer logistischen Funktion geben kann. Normiert wird das Wachstum W = dB(t)/dt hierbei mit dem Sättigungsmanko S - B(t). "Sättigungsmanko" steht dabei für den Bereich, in dem sich noch Bestand verändern kann. Das Resultat ist das mit dem sich immer weiter verkleinernden Sättigungsmanko gewichtete Wachstum W / [S - B(t)]. Dieses gewichtete Wachstum hat wieder den Verlauf einer logistischen Funktion. Die Operation einer derartigen zeitabhängigen Normierung kann in einem System geschehen, in dem nur Geld als Kommunikationsmedium dient und in dem das gesamte zur Kommunikation zur Verfügung stehende Geld den Wert des Sättigungsmankos S - B(t) zeitabhängig repräsentiert. In dieser Weise wird in Wirtschaftssystemen Wachstum von Wert kommuniziert, das sich aus zunehmender Knappheit ergibt. Denn tatsächlich wächst wegen des kleiner werdenden Sättigungsmankos (also wegen der zunehmenden Sättigung) in der physikalischen Umwelt des Wirtschaftssystem die Knappheit in dieser Umwelt, die das Wirtschaftssystem nicht direkt wahrnimmt, aber mit der sie doch über strukturelle Kopplung verbunden ist.

nach Zeitverlauf

Wachstum lässt sich nach der Art seiner Zeitverläufe charakterisieren, wie er im Graphen Messgröße x vs. Zeit t dargestellt ist.

Datei:LogWachs1.png

Beispiel für begrenztes Wachstum: Logistisches Wachstum (Sigmoid-Kurve, )

Datei:LinWachs1.png

Beispiel von Graphen für lineares positives negatives und Nullwachstum

Datei:LogWachs2.jpg

Beispiel von Graphen für exponentielle positives oder negatives / beschleunigtes oder verzögertes Wachstum

• begrenzt oder unbegrenzt: Alle realen Wachstumsvorgänge sind letztlich begrenztes Wachstum, da die Ressourcen, aus welchen sich das Wachstum, speist, nicht unbegrenzt vorliegen oder das Wachstum auf andere Weise schon vor dem Erschöpfen der Ressourcen begrenzt wird und einem dynamischen Gleichgewicht zustrebt (zum Beispiel beim Räuber-Beute-System). Unbegrenztes Wachstum ist damit ein mathematisches Artefakt; die Annahme, dass in der Realität etwas unbegrenzt wachsen könne (z.B. langfristig echt positives Wirtschaftswachstum), ist daher nicht haltbar.
• linear (konstant) oder exponentiell (beschleunigt oder verzögert = negativ beschleunigt) Der Radioaktive Zerfall ist ein Beispiel für exponentielles, verzögertes, negatives Wachstum.
• (scheinbar) kontinuierlich oder diskontinuierlich. (Beispiel: Die Längenzunahme des Menschen während der Wachstumsperiode erfolgt in Schüben.)

Das abgebildete Sigmoid Wachstum beschreibt das begrenzte Wachstum einer Größe. Das Wachstum hat eine Sättigungsgrenze. Die Größe selbst nimmt aber theoretisch weiter unbegrenzt zu. Hat jedoch die Größe (z.B. Resourcen-Konsum, Bevölkerungszuwachs usw.) selbst den Verlauf einer Sigmoid-Kurve, dann nimmt die Wachstumskurve einen glockenförmigen Verlauf an. Die Größe selbst hat nun eine Sättigungsgrenze. Es gibt dann vier Abschnitte: (1) eine theoretisch unendlich lange Periode sehr geringen Wachstums, (2) eine kurze Periode ansteigenden hohen Wachstums, (3) eine kurze Periode sinkenden hohen Wachstums und schließlich wieder (4) eine theoretisch unendlich lange Periode sehr geringen Wachstums. Die Sigmoid-Kurve kann hier mit Hilfe des hyperbolischen Tangens entwickelt werden. Die erste Ableitung daraus ergibt dann das glockenförmige Wachstum.

Wachstumsschwankungen

Dem Trend ist eine Schwankung zwischen mehreren Grenzwerten überlagert:

• Periodische Schwankungen (beispielsweise bei Systemen mit Rückkopplung) können ungedämpft, gedämpft oder aufschaukelnd sein.
• Aperiodische Schwankungen (Fluktuationen) können zufallsbedingt oder chaotisch sein.

Nach Einheiten der Messgröße

Raumdimensionen

Strecken

Wachstum der Länge des Schienennetzes

Flächen

Wachstum der versiegelten Flächen

Volumen

Größerwerden eines Luftballons

Kombinationen daraus findet man beim Wachstum eines Organismus als Ganzes oder seiner Teile: Zellwachstum, Längenwachstum des Menschen; siehe auch Wachstumshormon und Kleinwuchs.

Anzahl

Zunahme der absoluten Menge oder des Prozentsatzes, Vermehrung: Bevölkerungswachstum, Bakterienkultur, Geldwachstum.

Das Infekt-Modell ist eine Rückkopplungsfunktion, die Ausbreitungsvorgänge (Krankheiten, Gerüchte, Witze ...) in geschlossenen Populationen beschreibt (s. Bild begrenztes Wachstum). Siehe auch Feigenbaumdiagramm.

Wachstum eines Indexes

Wirtschaftswachstum beschreibt das Wachstum einer Volkswirtschaft. Parametrisiert wird dieses u.a. durch das Bruttosozialprodukt.

Wachstum der Komplexität

Siehe dazu Internet, Informationsflut, Gehirn

Anwendungsgebiete

Biologisches Wachstum

In der Physiologie ist das Wachstum durch die Differenz zwischen anabolem Ansatz und katabolem Abbau definiert. Man spricht von Wachstum, wenn die Größe eines Organismus zunimmt, ohne dass sich dessen äußere Gestalt ausschlaggebend verändert.

Wachstum kommt zustande durch:

• Hyperplasie: die Anzahl der Zellen eines Organismus nimmt zu
• Hypertrophie: die Größe von Zellen nimmt zu
• die extrazelluläre Matrix gewinnt an Größe

Wirtschaftswachstum

siehe Hauptartikel Wirtschaftswachstum

Unter Wirtschaftswachstum versteht man die relative Änderung der Wirtschaftskraft einer Volkswirtschaft von einer Periode zur nächsten. Als Maßstab dient in Deutschland normalerweise das Bruttoinlandsprodukt (BIP) oder das Bruttonationaleinkommen (früher Bruttosozialprodukt bzw. BSP).

Das Wirtschaftswachstum ist in Deutschland aufgrund seiner angenommenen Wichtigkeit als eine Grundbedingung im Stabilitäts- und Wachstumsgesetz (StWG) rechtlich verankert, auch wenn es schlecht erzwingbar ist.

Es gibt Unterschiede in der Berechnung des Wirtschaftswachstums in verschiedenen Regionen, weshalb die Werte international nicht problemlos miteinander verglichen werden können.

Siehe auch

• Diffusionsbegrenztes Wachstum (diffusion limited aggregation)

Literatur

• Johannes M. Waidfeld: Wachstum, der Irrtum Wohlstand, eine gesellschaftliche Betrachtung. Fischer & Fischer Medien AG, Frankfurt 2005, ISBN 3-89950-076-8, http://waidfeld.de.tk/index.html

Weblinks

Wikiquote: Wachstum – Zitate

• Analyse von Wachstumsvorgängen
• Institut für Wachstumsstudien

Wiktionary: Wachstum – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wiktionary: wachsen – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen