Rogers-Ramanujan-Kettenbruch

Der Rogers-Ramanujan-Kettenbruch ist eine mathematische elliptische Funktion. Sie wurde von Leonard James Rogers und Srinivasa Ramanujan entdeckt. Diese Funktion entsteht als Produkt der Fünften-Wurzelfunktion und des Quotienten der Rogers-Ramanujan-Identitäten H(x)/G(x).

Definition

Domänenfärbungsdiagramm des Konvergenzbereichs A₄₀₀(x)/B₄₀₀(x) von der Funktion R(x)/x^(1/5)

Domänenfärbungsdiagramm der Funktion R(x)

Folgende Formel beschreibt die Definition vom Rogers-Ramanujan-Kettenbruch:

$R(x)=x^{1/5}/(1+x/(1+x^{2}/(1+x^{3}/(1+x^{4}/(1+x^{5}/(1+x^{6}/(1+x^{7}/...)))))))$

Diese Funktion steht mit den Rogers-Ramanujan-Identitäten in folgendem Zusammenhang:

$G(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n^{2}}}{(x;x)_{n}}}=(x;x^{5})_{\infty }^{-1}(x^{4};x^{5})_{\infty }^{-1}$

$H(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n^{2}+n}}{(x;x)_{n}}}=(x^{2};x^{5})_{\infty }^{-1}(x^{3};x^{5})_{\infty }^{-1}$

$R(x)=x^{1/5}{\frac {H(x)}{G(x)}}$

Dabei wird mit (a;b)ₙ das Pochhammer-Symbol ausgedrückt.

Direkt formuliert gilt somit folgende Formel:

$R(x)=x^{1/5}(x;x^{5})(x^{4};x^{5})(x^{2};x^{5})^{-1}(x^{3};x^{5})^{-1}$

Als unendliches Produkt dargestellt ist diese Formel gültig:

$R(x)=x^{1/5}\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {(1-x^{5n+1})(1-x^{5n+4})}{(1-x^{5n+2})(1-x^{5n+3})}}$

Der reelle Definitionsbereich dieser Funktion liegt im Intervall x ∈ [0;1] und R(x) ∈ [0;1/Φ]. Das Kürzel Φ ≈ (√5 + 1)/2 steht für die Goldene Zahl. Für den x-Wert Null beginnt der Graph der Rogers-Ramanujan-Kettenbruchfunktion R(x) mit senkrechter Steigung und geht in einen rechtsgekrümmten Verlauf über. Für alle Werte 0 < x ≤ 1 ist R(x) positiv. Zuerst entdeckte Leonard James Rogers diese Funktion im Jahre 1894. Danach entdeckte Srinivasa Ramanujan dieselbe Funktion im Jahre 1913 unabhängig von Rogers. Beide Mathematiker erkannten dabei den Zusammenhang der Dedekindschen Etafunktion und der Thetafunktion mit ihrer Kettenbruchfunktion.

Bezug zu den Jacobi-Funktionen

Elliptisches Nomen und Sinus Amplitudinis

Für die Elliptischen Nomenfunktion q(k) gilt:

$q(k)=\exp {\bigl [}-\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})K(k)^{-1}{\bigr ]}$

Der Buchstabe K nennt das vollständige Elliptisches Integral erster Art.

Mit der Nomenfunktion kann die Kettenbruchfunktion R so formuliert werden:

$R[q(k)]=\tan {\biggl [}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl (}{\frac {1-2y}{2+y}}{\biggr )}{\biggr ]}^{1/5}\tan {\biggl [}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl (}{\frac {1-2y}{2+y}}{\biggr )}{\biggr ]}^{2/5}$

$={\bigl (}{\frac {1-2y}{{\sqrt {5+5y^{2}}}+2+y}}{\bigr )}^{1/5}{\bigl (}{\frac {2+y}{{\sqrt {5+5y^{2}}}+1-2y}}{\bigr )}^{2/5}$

Hierbei gilt:

$y={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}k^{2}{\text{sn}}[{\tfrac {2}{5}}K(k);k]^{2}{\text{sn}}[{\tfrac {4}{5}}K(k);k]^{2}$

Mit sn wird die Jacobische elliptische Funktion Sinus Amplitudinis zum Ausdruck gebracht.

Also kann der Wert y durch das Lösen folgender Gleichung berechnet werden:

$4k^{2}(y^{6}+2y^{5})+(1-k^{2})^{2}(2y-1)=0$

Werte der Rogers-Ramanujan-Kettenbruchfunktion

Berechnung der Werte

Nach dem genannten Verfahren werden im nun Folgenden einige Werte dieser Funktion bestimmt:

Für k = 1:

$q(1)=1$

$4(y^{6}+2y^{5})=0$

$y=0$

$R(1)={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)$

Für k = 1/sqrt(2):

$q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})={\text{e}}^{-\pi }$

$2(y^{6}+2y^{5})+{\tfrac {1}{4}}(2y-1)=0$

$y={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}+1)({\sqrt[{4}]{5}}-1)$

$R({\text{e}}^{-\pi })=\tan {\biggl [}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl (}{\frac {1-2y}{2+y}}{\biggr )}{\biggr ]}^{1/5}\tan {\biggl [}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl (}{\frac {1-2y}{2+y}}{\biggr )}{\biggr ]}^{2/5}[y={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}+1)({\sqrt[{4}]{5}}-1)]$

$R({\text{e}}^{-\pi })={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}+1)({\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}+{\sqrt[{4}]{5}})({\sqrt {5}}-{\sqrt {{\sqrt {5}}+2}})\approx 0{,}5114284554$

Für k = [sqrt(2)-1]²:

$q[({\sqrt {2}}-1)^{2}]={\text{e}}^{-2\pi }$

$4({\sqrt {2}}-1)^{4}(y^{6}+2y^{5})+32({\sqrt {2}}-1)^{4}(2y-1)=0$

$y={\sqrt[{4}]{5}}-1$

$R({\text{e}}^{-2\pi })=\tan {\biggl [}{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl (}{\frac {1-2y}{2+y}}{\biggr )}{\biggr ]}^{1/5}\tan {\biggl [}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl (}{\frac {1-2y}{2+y}}{\biggr )}{\biggr ]}^{2/5}(y={\sqrt[{4}]{5}}-1)$

$R({\text{e}}^{-2\pi })=4\sin({\tfrac {1}{20}}\pi )\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )=\tan[{\tfrac {1}{4}}\arctan(2)]\approx 0{,}28407904384$

Liste der Werte

Im Folgenden werden die genannten Werte und weitere Werte aufgelistet:

$R(0)=0$

$R(1)={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}-1)$

$R[\exp(-\pi )]={\tfrac {1}{4}}({\sqrt {5}}+1)({\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}+{\sqrt[{4}]{5}})({\sqrt {5}}-{\sqrt {{\sqrt {5}}+2}})$

$R[\exp(-{\sqrt {2}}\pi )]={\sqrt {3}}\sin({\tfrac {1}{5}}\pi )\tanh\{{\tfrac {1}{6}}{\text{arsinh}}({\tfrac {7}{5}}{\sqrt {5}})-{\tfrac {1}{2}}{\text{arcoth}}[{\sqrt {3}}\cot({\tfrac {1}{10}}\pi )]\}+{\tfrac {1}{4}}(3-{\sqrt {5}})$

$R[\exp(-2\pi )]=4\sin({\tfrac {1}{20}}\pi )\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )$

$R[\exp(-2{\sqrt {5}}\pi )]={\sqrt {5}}[1+{\sqrt[{5}]{({\sqrt {5}}-1)^{4}\sin({\tfrac {1}{20}}\pi )^{3}\sin({\tfrac {3}{20}}\pi )}}]^{-1}-{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)$

Für die Ermittlung der Werte dient ebenso dieses Theorem für die Quadrierung:

$R(x)^{3}R(x^{2})^{2}+R(x)R(x^{2})^{3}+R(x)^{2}-R(x^{2})=0$

Bezug zu den Thetafunktionen

Die Rogers-Ramanujan-Kettenbruchfunktion R(x) steht in dieser Beziehung zu den Theta-Nullwertfunktionen:

$R(x)=\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl \{}{\frac {1}{2}}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x^{1/10})\vartheta _{01}(x^{1/10})\vartheta _{10}(x^{1/10})}{\vartheta _{00}(x^{5/2})\vartheta _{01}(x^{5/2})\vartheta _{10}(x^{5/2})}}{\biggr ]}^{1/3}+{\frac {1}{2}}{\biggr \}}{\biggr \rangle }$

Jene Formel stellt somit den Zusammenhang zur Dedekindschen Etafunktion her:

$R{\bigl [}\exp(i\pi \tau ){\bigr ]}=\tan {\biggl \{}{\frac {1}{2}}\operatorname {arccot} {\biggl [}{\frac {\eta ({\frac {1}{10}}\tau )}{2\eta ({\frac {5}{2}}\tau )}}+{\frac {1}{2}}{\biggr ]}{\biggr \}}$

Mit dem griechischen Buchstaben Tau wird das imaginäre Halbperiodenverhältnis dargestellt.

Literatur

• Peter Borwein und Jonathan Borwein: π and the AGM: A study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. Halifax, Kanada, 1987. pp. 94 – 97
• Bruce Berndt et al.: The Rogers–Ramanujan Continued Fraction. USA, 1997
• Soon Yi Kang: Ramanujan's Formulas For Explicit Evaluation Of The Rogers-Ramanujan Continued Fraction And Theta-Functions. Universität Illinois Urbana-Champaign, 1998
• Jinhee Yi: Evaluations of the Rogers–Ramanujan continued fraction R(q) by modular equations. Universität Illinois Urbana-Champaign, 2001