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Ungleichung von Carathéodory

Die Ungleichung von Carathéodory, in englischsprachigen Quellen auch als Borel-Carathéodory inequality genannt, französisch Inégalité de Borel-Carathéodory, ist eines aus einer ganzen Reihe von Resultaten, die auf dem mathematischen Gebiet der Funktionentheorie von dem Mathematiker Constantin Carathéodory beigesteuert wurden. Sie ergibt sich als Anwendung des Lemmas von Schwarz und liefert eine obere Schranke für den Betrag einer holomorphen Funktion auf einer in der komplexen Zahlenebene um dem Nullpunkt gelegenen abgeschlossenen Kreisscheibe. Die Carathéodory'sche Ungleichung gab Anlass zu einer Anzahl von Verallgemeinerungen und weitergehenden Untersuchungen.

Darstellung der Ungleichung

Die Ungleichung lässt sich folgendermaßen darstellen:

Gegeben seien in der komplexen Zahlenebene eine den Nullpunkt $0\in \mathbb {C}$ enthaltende offene Teilmenge $U\subseteq \mathbb {C}$ sowie eine holomorphe Funktion $f\colon U\to \mathbb {C}$.

Weiter gegeben seien eine reelle Zahl $R>0$ und dazu die um den Nullpunkt gelegene abgeschlossene Kreisscheibe ${\bar {S}}(0,R)=\{\,z\in \mathbb {C} \colon |z|\leq R\,\}$ vom Radius $R$, wobei ${\bar {S}}(0,R)\subset U$ gelten soll.

Dann gilt für $z\in \mathbb {C}$ und $r>0$ mit $0\leq |z|\leq r<R$ stets die Ungleichung

$|f(z)|\leq |f(0)|+{\frac {2r}{R-r}}\cdot \left(\max _{|z|=R}{\Re {f(z)}-\Re {f(0)}}\right)$ .

Verallgemeinerung des schwarzschen Lemma

Die Ungleichung lässt sich folgendermaßen darstellen:

Gegeben seien in der komplexen Zahlenebene eine den Nullpunkt $0\in \mathbb {C}$ enthaltende offene Teilmenge $U\subseteq \mathbb {C}$ sowie eine holomorphe Funktion $f\colon U\to \mathbb {C}$.

Weiter gegeben seien eine reelle Zahl $R>0$ und dazu die um den Nullpunkt gelegene abgeschlossene Kreisscheibe ${\bar {S}}(0,R)=\{\,z\in \mathbb {C} \colon |z|\leq R\,\}$ vom Radius $R$, wobei ${\bar {S}}(0,R)\subset U$ gelten soll.

Dann gilt für $z\in \mathbb {C}$ und $r>0$ mit $0\leq |z|\leq r<R$ stets die Ungleichung

$|f(z)|\leq |f(0)|+{\frac {2r}{R-r}}\cdot \left(\max _{|z|=R}{\Re {f(z)}-\Re {f(0)}}\right)$ .

Literatur

• Robert B. Burckel: An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1 (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften: Mathematische Reihe. Band 64). Birkhäuser, Basel 1979, ISBN 978-3-0348-9376-3. 
• Fritz Rühs: Funktionentheorie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 56). Dritte, berichtigte Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1976 (MR0486433). 
• Chen, Yin: Inégalité de Borel-Carathéodory et lemme de Schwarz pour les multifonctions analytiques. In: Complex Variables. Theory and Application. An International Journal. Band 49, 2004, S. 747–757 (MR2098698 ). 

Einzelnachweise

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Anmerkungen

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KKKategorie:Satz (Mathematik)|Carathéodory, Ungleichung von]]

KKKategorie:Ungleichung|Carathéodory, Ungleichung von]]

Lemniskatensatz von Hilbert

Zu den zahlreichen Sätzen, die der Mathematiker David Hilbert (1862–1943) auf vielen mathematischen Gebieten beigetragen hat, gehört in der der Funktionentheorie der sogenannte Lemniskatensatz von Hilbert (englisch Hilbert's lemniscate theorem). Der Satz geht auf eine von Hilbert in den Göttinger Nachrichten im Jahre 1897 publizierte Note zurück, in der beschrieben wird, wie sich geschlossene Jordankurven der komplexen Zahlenebene durch gewisse lemniskatenartige geschlossene Kurven voneinander trennen lassen.

Formulierung des Satzes

Der Hilbert'sche Lemniskatensatz lässt sich wie folgt angeben:

Gegeben seien in der komplexen Zahlenebene $\mathbb {C}$ zwei geschlossene Jordankurven $C_{1}$ und $C_{2}$, wobei $C_{1}$ ganz im Innengebiet von $C_{2}$ gelegen sein soll.

Dann existiert eine nichtkonstante komplexe Polynomfunktion $P\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ mit Leitkoeffizient $1$ sowie eine reelle Zahl $r>0$ derart, dass einerseits $C_{2}$ die zu $P$ und $r$ gehörige Lemniskate ganz in ihrem Innengebiet enthält und andererseits $C_{1}$ ganz im Inneren des von $L$ umschlossenen Bereichs gelegen ist.

Erläuterungen und Anmerkungen

• $|\cdot |$ ist die komplexe Betragsfunktion.
• Sind $P$ und $r$ wie oben beschrieben, so ist die dazu gehörige Lemniskate (im Sinne von Hilbert) die Niveaulinie $L=L(P,r):=\{\,z\in \mathbb {C} \colon |P(z)|=r\}$.
• Hat die beschriebene Polynomfunktion $P$ den Grad $\deg(P)=n$ und sind $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}$ die nach dem Fundamentalsatz der Algebra existierenden (nicht notwendig verschiedenen) $n$ Nullstellen von $P$, so gilt demnach $L=\{\,z\in \mathbb {C} \colon \prod _{i=1}^{n}|z-c_{j}|=r\}$ . Das erklärt auch, dass in diesem Kontext von einer Lemniskate die Rede ist, da ja die Punktmenge $L$ aus denjenigen Punkten von $\mathbb {C}$ besteht, für die das Produkt der $n$ Abstände von den $P$-Nullstellen konstant, nämlich $=r$ ist.

Literatur

• David Hilbert: Über die Entwicklung einer beliebigen analytischen Funktion einer Variablen in eine unendliche nach ganzen rationalen Funktionen fortschreitende Reihe. In: Göttinger Nachrichten. 1897, S. 63–70 (Reprint in: Gesammelte Abhandlungen: Dritter Band. Chelsea Publishing Company, Bronx, New York, 1965, S. 3–9). 
• Einar Hille: Analytic Function Theory. Volume II. 2. Auflage. Chelsea Publishing Company, New York, N.Y. 1973. 
• Béla Nagy, Vilmos Totik: Sharpening of Hilbert's lemniscate theorem. In: Journal d'Analyse Mathématique. Band 96, 2005, S. 191–223 (MR2177185). 

Anmerkungen

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Einzelnachweise

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KKKategorie:Funktionentheorie]] KKKategorie:Satz (Mathematik)|Bieberbach, Flachensatz von]]

Flächensatz von Bieberbach

Zu den zahlreichen Resultaten, die der Mathematiker Ludwig Bieberbach (1886–1982) auf dem mathematischen Gebiet der Funktionentheorie beigetragen hat, gehört ein Lehrsatz, der von manchen Autoren als Flächensatz von Bieberbach bezeichnet wird. Dieser Lehrsatz liefert eine mathematische Formel für den Flächeninhalt der Bildmenge einer Kreisscheibe in der komplexen Zahlenebene unter einer schlichten holomorphen Funktion.

Formulierung des Satzes

Der bieberbachsche Flächensatz lässt sich wie folgt formulieren:

Gegeben seien in der komplexen Ebene eine den Nullpunkt $0\in \mathbb {C}$ enthaltende offene Teilmenge $U\subseteq \mathbb {C}$ und darin enthalten für eine reelle Zahl $r>0$ die um den Nullpunkt gelegene abgeschlossene Kreisscheibe ${\bar {S}}(0,r)=\{\,z\in \mathbb {C} \colon |z|\leq r\,\}$ vom Radius $r$.

Weiter gegeben sei eine schlichte holomorphe Funktion $w\colon U\to \mathbb {C}$ , welche für $z\in {\bar {S}}(0,r)$ stets die Taylorreihereihenentwicklung $w(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{c_{n}z^{n}}\;(c_{n}\in \mathbb {C} \;,\;n=0,1,2,\dotsc )$ haben soll.

Dann lässt sich der Flächeninhalt $A$ der Bildmenge $w\left({\bar {S}}(0,r)\right)$ nach der Formel

$A=\pi \cdot \sum _{n=1}^{\infty }{n\cdot |c_{n}|^{2}\cdot r^{2n}}$

berechnen.

Verwandter Flächensatz

Mit dem obigen Flächensatz von Bieberbach eng verwandt ist ein weiterer als Flächensatz (englisch area theorem) bekannter Lehrsatz, welcher Einar Hille zufolge von Thomas Hakon Grönwall im Jahre 1914 gefunden wurde. Dieser Flächensatz lässt sich folgendermaßen angeben:

Gegeben sei in der komplexen Ebene das Gebiet $G:=\mathbb {C} \setminus {\bar {S}}(0,1)$, also das Äußere des abgeschlossenen Einheitskreises.

Weiter gegeben sei eine schlichte holomorphe Funktion $w\colon G\to \mathbb {C}$ , welche für $z\in G$ stets die Darstellung $w(z)=z+b_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{n}}{z^{n}}}\;(b_{n}\in \mathbb {C} \;,\;n=0,1,2,\dotsc )$ haben und deren Bildmenge $w(G)\,$ eine offene Umgebung von $\infty$ sein soll.

Dann gilt die Ungleichung

$\sum _{n=1}^{\infty }{n\cdot |b_{n}|^{2}}\leq 1$.

Literatur

• Ravi P. Agarwal, Kanishka Perera, Sandra Pinelas: An Introduction to Complex Analysis. Springer-Verlag, New York 2011, ISBN 978-1-4614-0194-0 (MR2809236). 
• Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 77). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1965. 
• Einar Hille: Analytic Function Theory. Volume II. 2. Auflage. Chelsea Publishing Company, New York, N.Y. 1973. 
• Reiner Kühnau: Der Flächensatz in einer Klasse schlichter Abbildungen. In: Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées. Band 26, 1981, S. 1119–1121 (MR0640086). 
• Rolf Nevanlinna, Veikko Paatero: Einführung in die Funktionentheorie (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der Exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. Band 30). Birkhäuser Verlag, Basel, Stuttgart 1965 (MR0201609). 

Anmerkungen

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Einzelnachweise

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KKKategorie:Funktionentheorie]] KKKategorie:Satz (Mathematik)|Bieberbach, Flachensatz von]]

Chordaler Abstand

Im mathematischen Gebiet der Analysis gewinnt man den chordalen Abstand (englisch chordal distance) als Abwandlung der komplexen Betragsfunktion.

Definition

Der chordale Abstand ist die reellwertige Funktion $d\colon \,\mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {R} ^{\geq 0},\;(a,b)\mapsto d(a,b)$, welche folgendermaßen festgelegt ist:

Sind komplexe Zahlen $a,b$ gegeben, so ist

$d(a,b)={\frac {|a-b|}{(1+|a|^{2})^{\frac {1}{2}}\cdot (1+|b|^{2})^{\frac {1}{2}}}}$ .

Eigenschaften

• Der chordale Abstand ist eine Metrik.
• Für komplexe Zahlen $a,b$ gilt stets $d(a,b)\leq 1$ .

Literatur

• D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. In cooperation with P. M. Vasić (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 165). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1970, ISBN 3-540-62903-3 (MR0274686). 

Einzelnachweise

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KKKategorie:Analysis]]

. . . . .  Eingearbeitet in Artikel "Chordale Metrik" . . . .

. . . . .

Alternative

In vielen Lehrbüchern wird eine andere Darstellung der chordalen Metrik bevorzugt, welche sich von der obigen durch die Weglassung des Faktors $2$ unterscheidet. Hier hat man also (bei Anwendung der komplexen Betragsfunktion):

$\chi (a,b)={\frac {|a-b|}{(1+|a|^{2})^{\frac {1}{2}}\cdot (1+|b|^{2})^{\frac {1}{2}}}}\;(a,b\in \mathbb {C} )$ .

Der Unterschied besteht darin, dass man bei der Einbettung der Gaußschen Zahlenebene in die Riemannsche Zahlenkugel eine Kugel des $\mathbb {R} ^{3}$ zugrundelegt, die den Durchmesser $1$ hat und mit ihrem Südpol die $x$-$y$-Ebene im Koordinatenursprung berührt. Ihr Nordpol hat dabei die Koordinaten $x=0,y=0,z=1$. Diese reellwertige Funktion $\chi$ ist also eine beschränkte Funktion mit dem Supremum $1$. Man spricht in diesem Zusammenhang eher vom chordalen Abstand (englisch chordal distance).

Dass $\chi$ hier die Eigenschaften eine Metrik besitzt, ergibt sich aus der Tatsache, dass sie aus dem euklidischen Abstand des $\mathbb {R} ^{3}$ erwächst. Dies lässt sich jedoch auch elementar nachweisen, wie der Mathematiker Shizuo Kakutani zeigte. Dabei geht es im Wesentlichen um den Nachweis der Gültigkeit der Dreiecksungleichung. Kakutani zeigte dies unter Anwendung der folgenden beiden Ungleichungen:

(1) Für komplexe Zahlen $a,b,c$ gilt stets

$|a-b|\cdot (1+|c|^{2})\leq |a-c|\cdot |1+b{\bar {c}}|+|b-c|\cdot |1+a{\bar {c}}|$ .

(1) Für komplexe Zahlen $a,b$ gilt stets

$|1+ab|\leq (1+|a|^{2})^{\frac {1}{2}}\cdot (1+|b|^{2})^{\frac {1}{2}}$ .

Verallgemeinerung

. . . . . 

Literatur

• Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 77). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1965, S. 13 ff. 
• Lothar Collatz: Funktionalanalysis und numerische Mathematik. Unveränderter Nachdruck der 1. Auflage von 1964 (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 120). 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1968, ISBN 3-540-04135-4, S. 20. 
• Einar Hille: Analytic Function Theory. Volume 1. 2. Auflage. Chelsea Publishing Company, New York, N.Y. 1959, S. 42 ff. 
• Rolf Walter: Einführung in die Analysis 1. (= de Gruyter Lehrbuch). Walter de Gruyter, Berlin 2007, ISBN 978-3-11-019539-2, S. 354–355. 

Einzelnachweise

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...

Basler Problem (Erg.)

Verallgemeinerungen

....

Zusammenhang mit den Fourier-Reihen

In der Theorie der Fourier-Reihen hat man die auf ganz $\mathbb {R}$ stetige reelle Funktion

$\Phi (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos {ns}}{n^{2}}}\;(s\in \mathbb {R} )$ ,

wobei nach dem Majorantenkriterium die rechts auftretende Reihe absolut konvergent ist.

Für eine gegebene reelle Zahl $s$ mit $0\leq s\leq 2\pi$ gilt hierbei die Identitätsgleichung

$\Phi (s)=\left({\frac {s-\pi }{2}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{2}}{12}}$ ,

was unmittelbar zu der Gleichung

$\Phi (0)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

führt.

Literatur

...

• Fridtjof Toenniessen: Das Geheimnis der transzendenten Zahlen. Eine etwas andere Einführung in die Mathematik. 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2019, ISBN 978-3-662-58325-8, doi:10.1007/978-3-662-58326-5. 

Auswahlsatz von Kuratowski und Ryll-Nardzewski

Der Auswahlsatz von Kuratowski und Ryll-Nardzewski, englisch Kuratowski-Ryll Nardzewski Selection Theorem, ist ein Lehrsatz des mathematischen Gebiets der Analysis, der auf die beiden polnischen Mathematiker Kazimierz Kuratowski und Czesław Ryll-Nardzewski zurückgeht. Der Satz behandelt die Frage, unter welchen Bedingungen einer mengenwertigen Abbildung zwischen einem Messraum und einem topologischen Raum unter Berücksichtigung von Messbarkeitsgesichtspunkten eine Auswahlabbildung zugehört.

Formulierung des Satzes

Anknüpfend an die Darstellung von Leszek Gasiński und Nikolaos S. Papageorgiou lässt sich der genannte Auswahlsatz folgendermaßen formulieren:

Gegeben seien ein Messraum $\Omega$ und ein topologischer Raum $X$.

Weiter gegeben sei eine messbare mengenwertige Abbildung $F\colon \Omega \to {{\mathcal {P}}(X)\setminus \{\emptyset \}}$ derart, dass für jedes $\omega \in \Omega$ die zugeordnete Teilmenge $F(\omega )$ in $X$ abgeschlossen ist.

Ist dabei $X$ ein polnischer Raum, so existiert stets eine zugehörige messbare Auswahlabbildung $f\colon \Omega \to X$.

Anwendung

Aufbauend auf den Auswahlsatz von Kuratowski und Ryll-Nardzewski lässt sich eine weiteres Resultat gewinnen, welches die Frage der Messbarkeit von mengenwertigen Abbildungen betrifft. Es besagt folgendes:

Gegeben seien ein Messraum $\Omega$ und ein polnischer Raum $X$ und weiter eine mengenwertige Abbildung $F\colon \Omega \to {{\mathcal {P}}(X)}$,

welche jedem $\omega \in \Omega$ eine in $X$ abgeschlossene, nichtleere Teilmenge $F(\omega )$ zuordnet.

Dann sind die folgenden beiden Aussagen gleichwertig:

(a) $F$ ist messbar.

(b) Es gibt eine Funktionenfolge von messbaren Funktionen $f_{1},f_{2},f_{3},\ldots \;\colon \Omega \to X$, welche die folgenden beiden Bedingungen erfüllt:

(b1) Für $n=1,2,3,\ldots$ ist $f_{n}$ stets eine zu $F$ gehörige Auswahlabbildung.

(b2) Für jedes $\omega \in \Omega$ gilt $F(\omega )={\overline {\{f_{n}(\omega )\mid n=1,2,3,\ldots \}}}$.

Verwandter Satz

Mit dem Auswahlsatz von Kuratowski und Ryll-Nardzewski direkt verwandt ist ein anderer (bekannter) Auswahlsatz, der die gleiche Frage unter Stetigkeitsgesichtspunkten statt unter Messbarkeitsgesichtspunkten behandelt und nach seinem Entdecker, dem US-amerikanischen Mathematiker Ernest Arthur Michael, als Auswahlsatz von Michael (englisch Michael Selection Theorem) bezeichnet wird.

Anknüpfend an die Darstellung von Winfried Kaballo lässt sich dieser Satz von folgendermaßen formulieren:

Gegeben seien ein topologischer Raum $\Omega$ und ein topologischer Vektorraum $X$.

Weiter gegeben sei eine unterhalbstetige mengenwertige Abbildung $F\colon \Omega \to {{\mathcal {P}}(X)\setminus \{\emptyset \}}$ derart, dass für jedes $\omega \in \Omega$ die zugeordnete Teilmenge $F(\omega )$ in $X$ zugleich abgeschlossen und konvex ist.

Ist dabei $\Omega$ ein parakompakter Hausdorffraum und ist zugleich $X$ ein Fréchet-Raum, so existiert stets eine zugehörige stetige Auswahlabbildung $f\colon \Omega \to X$.

Folgerung

Aus dem Auswahlsatz von Michael gewinnt man auf direktem Wege ein Resultat, welches für die Frage der Existenz von Lösungen von Gleichungen bedeutsam ist. Es geht auf eine in 1952 von Robert G. Bartle und Lawrence M. Graves vorgelegte wissenschaftliche Arbeit zurück und wird auch als Satz von Bartle-Graves (englisch Bartle-Graves Theorem) genannt. An Winfried Kaballo anknüpfend kann dieser Satz wie folgt angegeben werden:

Gegeben seien zwei Banachräume $E$ und $Q$, wobei $Q$ ein mit der Quotientennorm versehener Faktorraum von $E$ sein soll.

Die zugehörige Quotientenabbildung sei $\sigma \colon E\rightarrow Q$.

Dann gilt:

Zu jeder reellen Zahl $r>1$ gibt es eine linear homogene, stetige, rechtsinverse Abbildung $R\colon Q\to E$ derart, dass für $y\in Q$ stets die Ungleichung

$\|R(y)\|\leq r\cdot \|y\|$

erfüllt ist.

Erläuterungen

• Ein topologischer Raum $\Omega$ ist vermöge seiner Borel-Algebra ${\mathcal {B}}(\Omega )$ stets auch ein Messraum.
• Für gegebene Grundmengen $\Omega$ und $X$ und eine mengenwertige Abbildung $F\colon \Omega \to {{\mathcal {P}}(X)\setminus \{\emptyset \}}$ ist eine zu $F$ gehörige Auswahlabbildung (englisch selector, selection) oder auch Auswahlabbildung von $F$ dadurch gekennzeichnet, dass für alle $\omega \in \Omega$ die Beziehung $f(\omega )\in F(\omega )$ erfüllt ist. Eine solche Auswahlabbildung ist also nichts weiter als ein Element der Produktmenge $\prod _{\omega \in \Omega }F(\omega )$.
• Für einen Messraum $\Omega$ mit zugehöriger Σ-Algebra ${\mathcal {\Sigma }}(\Omega )$ und einen topologischen Raum $X$ wird eine mengenwertige Abbildung $F\colon \Omega \to {\mathcal {P}}(X)$ als messbar bezeichnet, wenn für jede in $X$ gelegene offene Teilmenge $U\subseteq X$ die zugehörige Teilmenge $F^{-}(U):=\left\{\omega \in \Omega \mid F(\omega )\cap U\neq \emptyset \right\}$ die Beziehung $F^{-}(U)\in {\mathcal {\Sigma }}(\Omega )$ erfüllt.
• Für zwei topologische Räume $\Omega$ und $X$ wird eine mengenwertige Abbildung $F\colon \Omega \to {\mathcal {P}}(X)$ als unterhalbstetig bezeichnet, wenn für jede in $X$ gelegene offene Teilmenge $U\subseteq X$ die zugehörige zugehörige Teilmenge $F^{-}(U)$ in $\Omega$ offen ist.
• Der Auswahlsatz von Michael beruht nicht zuletzt darauf, dass in einem parakompakten Hausdorffraum bezüglich jeder beliebigen offenen Überdeckung stets eine stetige Zerlegung der Eins existiert.
• In einer häufig zitierten anderen Version des Auswahlsatzes von Michael – so auch bei Gasiński/Papageorgiou – wird der topologische Vektorraum $X$ sogar als Banachraum vorausgesetzt.

Literatur

• Robert G. Bartle, Lawrence M. Graves: Mappings between function spaces. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 72, 1952, S. 400–413 (MR0047910). 
• J. M. Borwein, Asen L. Dontchev: On the Bartle-Graves theorem. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 131, 2003, S. 2553–2560 (MR1974655). 
• Leszek Gasiński, Nikolaos S. Papageorgiou: Exercises in Analysis. Part 1 (= Problem Books in Mathematics). Springer-Verlag, Cham, Heidelberg, New York, Dordrecht, London 2014, ISBN 978-3-319-06175-7, doi:10.1007/978-3-319-06176-4 (MR3307732). 
• Winfried Kaballo: Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie. Distributionen – lokalkonvexe Methoden – Spektraltheorie. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-37793-8, doi:10.1007/978-3-642-37794-5 (MR3672798). 

Anmerkungen

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Einzelnachweise

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KKKategorie:Analysis|Kuratowski und Ryll-Nardzewski, Auswahlsatz von]] KKKategorie:Satz (Mathematik)|Kuratowski und Ryll-Nardzewski, Auswahlsatz von]]

Satz von Gelfand (Eingefügt in Artikel "Halbnorm")

In der Funktionalanalysis gehört zu den zahlreichen Resultaten, die hier von dem Mathematiker Izrail M. Gelfand geliefert wurden, ein Satz, der die Frage behandelt, wie die Halbnormen auf einem reellen normierten Raum $X$ mit der gegebenen Norm verknüpft sind. Der Satz geht auf eine Arbeit Gelfands aus dem Jahr 1936 zurück.

Formulierung des Satzes

Anknüpfend an die Darstellung in der Monographie von Kantorowitsch/Akilow lässt sich der Satz folgendermaßen formulieren:

Gegeben seien ein normierter $\mathbb {R}$-Vektorraum $(X,\|\cdot \|)$ und darauf eine numerische Funktion $p\colon X\to {\mathbb {R} _{0}^{+}\cup \{+\infty \}}$, welche die oben genannten Eigenschaften einer Halbnorm aufweist.

Dabei sei $p$ unterhalbstetig und zudem existiere in $X$ eine Teilmenge zweiter Kategorie $K\subset X$ mit der Eigenschaft, dass für alle $x\in K$ die Ungleichung $p(x)<+\infty$ gilt.

Dann gibt es eine Konstante $M>0$ mit $p(x)\leq M\cdot \|x\|$ für alle $x\in X$.

Literatur

• Izrail M. Gelfand: Sur le lemme de la théorie des espaces linéaires. In: Sap. matem. t-wa. Band 4, 1936, S. 35–40. 
• L. W. Kantorowitsch, G. P. Akilow: Funktionalanalysis in normierten Räumen. In deutscher Sprache herausgegeben von Prof. Dr. rer. nat. habil. P. Heinz Müller, Technische Universität Dresden. Übersetzt aus dem Russischen von Heinz Langer, Dresden, und Rolf Kühne, Dresden. Verlag Harri Deutsch, Thun / Frankfurt am Main 1978, ISBN 3-87144-327-1 (MR0458199). 
• Walter Rudin: Functional Analysis (= International Series in Pure and Applied Mathematics). 2. Auflage. McGraw-Hill, New York 1991, ISBN 0-07-054236-8 (MR1157815). 

Anmerkungen

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Einzelnachweise

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KKKategorie:Funktionalanalysis|Gelfand (Funktionalanalysis), Satz von]] KKKategorie:Satz (Mathematik)|Gelfand (Funktionalanalysis)]]

Satz von Hadamard (Analysis)

Zu den zahlreichen Resultaten, die der französische Mathematiker Jacques Hadamard in verschiedenen Teilgebieten der Mathematik beigetragen hat, gehört in der Analysis ein als Satz von Hadamard (englisch Hadamard theorem) bezeichneter Lehrsatz, der auf eine Arbeit Hadamards aus dem Jahr 1906 zurückgeht. Der Satz behandelt die Frage, unter welchen Bedingungen eine stetig differenzierbare Abbildung auf dem euklidischen Raum ${\mathbb {R} }^{n}$ ein Homöomorphismus ist.

Formulierung des Satzes

Der Darstellung in der Monographie von Ortega / Rheinboldt folgend lässt sich der Satz folgendermaßen formulieren:

Gegeben sei eine stetig differenzierbare Abbildung $F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}\;(n\in \mathbb {N} )$ auf dem euklidischen Raum ${\mathbb {R} }^{n}$, für die in jedem Raumpunkt $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ die Jacobi-Matrix ${J_{F}}(x_{0})$ nichtsingulär sein soll.

Dabei existiere eine reelle Zahl $\gamma >0$ derart, dass bezüglich der Operatornorm für $x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$ stets die Ungleichung $\|{{J_{F}}(x_{0})}^{-1}\|\leq \gamma$ erfüllt ist.

Dann ist $F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ ist ein Homöomorphismus.

Verallgemeinerungen

Im Jahre 1920 dehnte M. P. Lévy den Hadamard'schen Satz auf reelle Hilberträume aus, woraufhin Rheinboldt im Jahre 1969 zeigte, dass er sich auch auf beliebige reelle Banachräume ausdehnen lässt.

Literatur

• J. Hadamard: Sur les transformations ponctuelles. In: Bulletin de la Société Mathématique de France. Band 34, 1906, S. 71–84 ([1]). 
• M. P. Levy: Sur les fonctions de lignes implicites. In: Bulletin de la Société Mathématique de France. Band 48, 1920, S. 13–27. 
• J. M. Ortega, W. C. Rheinboldt: Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. Reprint of the 1970 original (= Classics in Applied Mathematics. Band 30). Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA 2000 (MR1744713). 
• Werner C. Rheinboldt: Local mapping relations and global implicit function theorems. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 138, 1969, S. 183–198 (MR0240644). 

Einzelnachweise

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