Gleichung

In der Mathematik ist eine Gleichung eine symbolische Formel, in der die Gleichheit zweier Werte oder Terme behauptet wird. Wesentlicher formaler Bestandteil jeder Gleichung ist das Gleichheitszeichen.

Einteilung der Gleichungen

Gleichungen werden in der Mathematik in vielen unterschiedlichen Zusammenhängen verwendet; dementsprechend gibt es viele verschiedene Möglichkeiten, die Gleichungen nach unterschiedlichen Gesichtspunkten einzuteilen. Die jeweiligen Einteilungen sind zu einem großen Teil unabhängig voneinander, eine Gleichung kann in mehrere dieser Gruppen fallen. So ist es beispielsweise durchaus sinnvoll, von einem System linearer partieller Differentialgleichungen zu sprechen.

Einteilung nach Gültigkeit

Formal hat eine Gleichung die Gestalt $T_{1}=T_{2}$ mit zwei Termen $T_{1},T_{2}$. Gleichungen sind mathematische Aussagen, sind also entweder wahr (z. B. 1=1) oder falsch (1=2). Wenn allerdings zumindest einer der Terme $T_{1},T_{2}$ von Variablen abhängig ist, liegt nur eine Aussageform vor; ob die Gleichung wahr oder falsch ist, hängt dann von den konkreten eingesetzten Werten der Variablen ab.

Identitäten (Identitätsgleichung)

Gleichungen können allgemeingültig sein, also durch Einsetzen aller Variablen aus einer gegebenen Grundmenge oder zumindest aus einer vorher definierten Teilmenge davon wahr sein. Die Allgemeingültigkeit kann entweder aus anderen Axiomen bewiesen werden oder selber als Axiom vorausgesetzt werden.

Beispiele sind

• Der Satz des Pythagoras: $a^{2}+b^{2}=c^{2}\,\!$: wahr für rechtwinklige Dreiecke, falls c die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite bezeichnet.
• Das Assoziativgesetz: $(a+b)+c=a+(b+c)\,\!$: wahr für alle natürlichen Zahlen $a,b,c$ (Beweis durch vollständige Induktion); wahr für alle Gruppen (als Axiom).
• Die binomischen Formeln: $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,\!$: wahr für alle reellen Zahlen $a,b$.
• Die eulersche Identität: $e^{i\varphi }=\cos \left(\varphi \right)+i\sin \left(\varphi \right)$: wahr für alle reellen $\varphi$.

In diesem Zusammenhang spricht man manchmal von einer Identität, einem Satz oder einem Gesetz.

Bestimmungsgleichungen

Ist eine Gleichung nicht allgemeingültig, so gibt es gewisse Werte aus der Grundmenge, für die die Gleichung eine wahre Aussage liefert, und gewisse Werte, für die die Gleichung eine falsche Aussage liefert. Häufig besteht eine Aufgabenstellung darin, alle Elemente der Grundmenge zu bestimmen, für die die Gleichung eine wahre Aussage liefert. Diesen Vorgang bezeichnet man als lösen der Gleichung. Zur Unterscheidung von Identitäten werden solche Gleichungen manchmal als Bestimmungsgleichungen bezeichnet. Die Menge an Werten der Variablen, für die die Gleichung wahr ist, bezeichnet man als Lösungsmenge der Gleichung. Wenn es sich bei der Lösungsmenge um eine leere Menge handelt, so bezeichnet man die Gleichung als unerfüllbar oder als unlösbar. Ob eine Gleichung lösbar ist oder nicht, hängt auch von der betrachteten Grundmenge ab.

Beispiele:

• Die Gleichung $x^{2}=2$ ist unlösbar als Gleichung über die natürlichen Zahlen und besitzt die Lösungsmenge $\lbrace {\sqrt {2}},-{\sqrt {2}}\rbrace$ als Gleichung über die reellen Zahlen.
• Die Gleichung $x^{2}=-2$ ist unlösbar als Gleichung über die natürlichen und reellen Zahlen und besitzt die Lösungsmenge $\lbrace {\sqrt {2}}i,-{\sqrt {2}}i\rbrace$ als Gleichung über den komplexen Zahlen.

Bei der Lösung einer Gleichung ist auch zu beachten, dass die Lösung nicht nur aus der Grundmenge sein muss, sondern dass die in der Gleichung auftretenden Terme für die Lösung auch definiert sein müssen. In diesem Zusammenhang wird manchmal von der Definitionsmenge der Gleichung $T_{1}(x)=T_{2}(x)$ gesprochen, die dann als Durchschnittsmenge der Definitionsmengen der Terme $T_{1}(x)$ und $T_{2}(x)$ bestimmt werden kann.

Beispiel:

Die Gleichung

${\frac {x}{x-1}}={\frac {x+2}{x}}+{\frac {1}{x(x-1)}}$

ist für $x\in \mathbb {R}$ zu lösen.

Für $x=0$ und $x=1$ ist die Gleichung nicht definiert; die Definitionsmenge ist also $\mathbb {R} \backslash \lbrace 0,1\rbrace$. Multiplizieren beider Seiten mit $x(x-1)$ liefert die Gleichung

$x^{2}=x^{2}+2x-x-2+1\!$ bzw.

$x=1\!$.

$x=1$ ist aber nicht in der Definitionsmenge der Gleichung; die Gleichung hat also gar keine Lösung. Tatsächlich war auch die Multiplikation mit $x(x-1)$ keine Äquivalenzumformung, da dieses Produkt für $x=1$ Null ergibt, und Multiplikation mit Null eben keine Äquivalenzumformung ist.

Bei Bestimmungsgleichungen treten öfters Variablen auf, die nicht gesucht sind, sondern als bekannt vorausgesetzt werden. Solche Variablen werden als Parameter bezeichnet.

Beispiel:

Die Lösungsformel für die quadratische Gleichung

$x^{2}+px+q=0\,\!$

lautet bei gegebenen Parametern $p,q$

$x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}$.

Setzt man eine dieser beiden Lösungen in die Gleichung ein, so verwandelt sich die Gleichung in eine Identität, wird also für (fast) beliebige Wahl von $p$ und $q$ zur wahren Aussage. Fast beliebig deswegen, weil unter Umständen im Nachhinein die erlaubte Menge der Parameter eingeschränkt werden muss; falls für die quadratische Gleichung nur reelle Lösungen gesucht werden sollen, müssen beispielsweise die Parameter auf $q\leq {\frac {p^{2}}{4}}$ eingeschränkt werden.

Definitionen

Gleichungen können auch verwendet werden, um ein neues Symbol zu definieren. In diesem Fall wird das zu definierende Symbol links geschrieben, und das Gleichheitszeichen oft durch := ersetzt oder über das Gleichheitszeichen "def" geschrieben.

Beispiel: Definition der Ableitung einer Funktion:

$f'(x_{0}):=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$

Im Gegensatz zu Identitäten sind Definitionen keine Aussagen; sie sind also weder wahr noch falsch, sondern nur mehr oder weniger zweckmäßig.

Einteilung nach Anzahl der Gleichungen und Unbekannten

Häufig werden mehrere Gleichungen betrachtet, die gleichzeitig erfüllt sein müssen und von mehreren Variablen abhängig sind. Man spricht dann von einem Gleichungssystem in einer bestimmten Anzahl von Variablen.

Beispiel:

$x+y+z=5$

$2x-z=13$

ist ein Gleichungssystem von zwei Gleichungen mit 3 Unbekannten ($x,y,z$)

Die Zählung der Gleichungen und Unbekannten kann aber je nach Zusammenhang unterschiedlich aufgefasst werden. Fasst man beispielsweise sowohl die Gleichungen als auch die Unbekannten zu Tupeln zusammen, so lässt sich jedes Gleichungssystem auch als eine einzige Gleichung für eine einzige Unbekannte auffassen. So wird beispielsweise obiges Gleichungssystem zur Gleichung

${\begin{pmatrix}x+y+z\\2x-z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\13\end{pmatrix}}$

für das Tupel

$\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$.

Insbesondere in der Linearen Algebra werden Gleichungssysteme auf diese Art zusammengefasst.

Eine Faustregel besagt, dass man gleich viele Gleichungen wie Unbekannte benötigt, damit ein Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Das ist aber tatsächlich nur eine Faustregel; bis zu einem gewissen Grad gilt sie wegen des Hauptsatzes über implizite Funktionen für reelle Gleichungen für reelle Unbekannte; bei Diophantischen Gleichungen hingegen werden üblicherweise weniger Gleichungen als Unbekannte betrachtet.

Einteilung nach der rechten Seite der Gleichung

Für einige Formen der rechten Seite der Gleichung haben sich bestimmte Namen eingebürgert:

• Bei einer Gleichung der Form $T(x)=0$ heißt die Lösung $x$ Nullstelle Gleichung.
• Eine Gleichung der Form $T(x)=x$ heißt Fixpunktgleichung. Für Gleichungen dieser Form gibt es diverse Fixpunktsätze wie beispielsweise den Fixpunktsatz von Banach, den Fixpunktsatz von Schauder oder den Fixpunktsatz von Brouwer, die genaueres über die Lösungen solcher Gleichungen aussagen.
• Eine Gleichung der Form $T(x)=\lambda x$, wobei $\lambda$ und $x\neq 0$ gemeinsam gesucht werden, heißt Eigenwertproblem.

Einteilung nach (Nicht)Linearität

Lineare Gleichungen

Eine Gleichung der Form

$T\left(x\right)=a$

heißt linear, wenn der Term $a$ unabhängig von $x$ und der Term $T(x)$ linear in $x$ ist, also

$T\left(\lambda x+\mu y\right)=\lambda T\left(x\right)+\mu T\left(y\right)$

für reelle oder komplexe Zahlen $\lambda ,\mu$ gilt. Sinnvollerweise müssen die passenden Operationen definiert sein, es ist also notwendig, dass $T(x)$ und $a$ aus einer Gruppe $(G,+)$ sind, und die Lösung $x$ aus der gleichen oder einer anderen Gruppe $(X,+)$ gesucht wird. Die Gleichung $T(x)=a$, wird dabei als inhomogene Gleichung bezeichnet; $T(x)=0$ ist die dazugehörige homogene Gleichung.

Lineare Gleichungen sind normalerweise wesentlich einfacher zu lösen als nichtlineare. So gilt für lineare Gleichungen, egal ob es sich beispielsweise um lineare Diophantische Gleichungen, lineare Differenzengleichungen oder gewöhnliche lineare Differentialgleichungen handelt, die sehr simple, aber mächtige Aussage, dass die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichungen die Summe einer partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung plus der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichungen ist.

Formal bedeutet dies: ist $x_{0}$ eine beliebige ("partikuläre") Lösung der inhomogenen Gleichung, also

$T\left(x_{0}\right)=a$

eine $x$ beliebige ("allgemeine") Lösung der homogenen Gleichung, also

$T\left(x\right)=0$,

so löst wegen der Linearität auch die "allgemeine" Lösung $x_{0}+x$ die inhomogene Gleichung:

$T\left(x_{0}+x\right)=T\left(x_{0}\right)+T\left(x\right)=a+0=a$.

Umgekehrt ist jede Lösung $x_{1}$ der inhomogenen Gleichung so darstellbar, also $x_{1}=x_{0}+x$, wobei $x$ die homogene Gleichung löst, denn

$T\left(x\right)=T\left(-x_{0}+x_{1}\right)=-T\left(x_{0}\right)+T\left(x_{1}\right)=-a+a=0$.

Wegen der Linearität ist zumindest $x=0$ eine Lösung der homogenen Gleichung. Hat die homogene Gleichung also eine eindeutige Lösung, so hat auch die inhomogene Gleichung höchstens eine Lösung. Eine verwandte, aber wesentlich tiefer gehende Aussage in der Funktionalanalysis ist die Fredholmsche Alternative.

Nichtlineare Gleichungen

Nichtlineare Gleichungen werden nach der Art der Nichtlinearität unterschieden. Ist die Nichtlinearität beispielsweise ein Polynom, so spricht man von algebraischen Gleichungen:

• Beispiel: Quadratische Gleichung $ax^{2}+bx+c=0\,\!$
• Beispiel: Kubische Gleichung $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,\!$
• Beispiel: Gleichung vierten Grades $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,\!$
• weiteres Beispiel unter Gleichung fünften Grades

Treten die Unbekannten in einem trigonometrischen Term auf, so spricht man von Goniometrischen Gleichungen. Dabei ist darauf zu achten, ob die Lösungsmenge der Gleichung auf das ein bestimmtes Intervall (z.B. $0\leq x\leq 2\pi \!$ oder $0^{\circ }\leq \alpha \leq 360^{\circ }\!$) beschränkt ist, da sich ansonsten die Lösung beispielsweise periodisch wiederholt und mit einer ganzzahlingen Variable $k\!$ parameterisiert werden muss.

• Beispiel: $I=(0,2\pi );\!$ $\sin(x)=0\Rightarrow x=\pi \,\!$
• Beispiel: $\sin x=\cos x$
  • Zunächst ist $\cos x\not =0$, denn andernfalls wäre $\sin x=\cos x=0$, aber das ist wegen $\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$ unmöglich.
  • Also sind die folgenden Gleichungen äquivalent:

    $\sin x=\cos x\iff {\frac {\sin x}{\cos x}}=1\iff \tan x=1.$

  • Die letzte Gleichung gilt nun genau für die $x$, die sich als

    $x={\frac {\pi }{4}}+\pi k$

mit einer ganzen Zahl $k$ schreiben lassen (siehe Tangens).

Einteilung nach den gesuchten Unbekannten

Algebraische Gleichung

Um Gleichungen, bei denen eine reelle Zahl gesucht wird, beispielsweise von Differentialgleichungen zu unterscheiden, wird manchmal ebenfalls die Bezeichnung algebraische Gleichung verwendet, wobei diese Bezeichnung dann aber nicht auf ein Polynom eingeschränkt ist.

Diophantische Gleichung

Sucht man lediglich ganzzahlige Lösungen, so spricht man von einer Diophantischen Gleichung.

Differenzengleichung

Ist die Unbekannte eine Folge, so spricht man von einer Differenzengleichung.

Gleichungen für Funktionen

Funktionalgleichungen

Ist die Unbekannte der Gleichung eine Funktion, die ohne Ableitung auftritt, so spricht man von einer Funktionalgleichung.

Differentialgleichungen

Wird in der Gleichung eine Funktion gesucht, die mit Ableitung auftritt, so spricht man von einer Differentialgleichung. Differentialgleichungen treten bei der Modellierung von naturwissenschaftlichen Problemen (Physik, Chemie, Biologie) sehr häufig auf. Die höchste auftretende Ableitung wird dabei Ordnung der Differentialgleichung genannt.

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Treten in der Gleichung nur Ableitungen nach einer einzigen Variablen auf, so spricht man von gewöhnlichen Differentialgleichungen

• Beispiel: gewöhnliche DGL 1. Ordnung $y'=y\,\!$, mit der allgemeinen Lösung $y(x)=Ce^{x}\,\!$
• Beispiel: gewöhnliche DGL 2. Ordnung $y''+y=0\,\!$, mit der allgemeinen Lösung $y(x)=A\cos(x)+B\sin(x)\,\!$
• Beispiel: gewöhnliche DGL 2. Ordnung $x^{2}y''+xy'=a\,\!$, mit der allgemeinen Lösung $y(x)=a{\frac {\ln ^{2}(x)}{2}}+C_{1}\ln(x)+C_{2}$

Partielle Differentialgleichungen

Treten in der Gleichung partielle Ableitungen nach mehreren Variablen auf, so spricht man von partiellen Differentialgleichungen.

• Beispiel (einfachster Fall der Schrödingergleichung): partielle DGL 2. Ordnung ${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}=a{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$ bzw. $\psi _{xx}=a\psi _{t}$, mit der allgemeinen Lösung: $\psi (x,t)=\mathrm {e} ^{-{\frac {\lambda ^{2}t}{a}}}\left(A\sin(\lambda x)+B\cos(\lambda x)\right)$

Algebro-Differentialgleichungen

Treten sowohl algebraische als auch Differentialgleichungen gemeinsam auf, so spricht man von Algebro-Differentialgleichungen.

Integralgleichungen

Tritt die gesuchte Funktion in einem Integral auf, so spricht man von einer Integralgleichung.

Gleichungsketten

Befinden sich in einer Zeile mehrere Gleichheitszeichen, so spricht man von einer Gleichungskette. In einer Gleichungskette sind alle durch Gleichheitszeichen getrennten Ausdrücke vom Wert her gleich. Dabei ist jeder dieser Ausdrücke als Ganzes zu betrachten. Die Gleichungskette
17+3=20:2=10+7=17 ist also falsch, weil sie in Einzelgleichungen zerlegt zu falschen Aussagen führt (17+3 ist nicht gleich 20:2 u.s.w.). Richtig ist dagegen
17+3=18+2=21-1=40:2.

Gleichungsketten sind insbesondere wegen der Transitivität der Gleichheitsrelation sinnvoll interpretierbar.

Gleichungsketten treten oft auch gemeinsam mit Ungleichungen in diversen Abschätzungen auf, so gilt beispielsweise für $n\geq 3$

$2n^{2}=n^{2}+n^{2}\geq n^{2}+3n>n^{2}+2n+1=(n+1)^{2}$.

Lösen von Gleichungen

Analytische Lösung

Soweit es möglich ist, versucht man, die Lösungen einer Gleichung exakt zu bestimmen. Wichtigstes Hilfsmittel dabei ist die Äquivalenzumformung, bei der eine Gleichung schrittweise in andere äquivalente Gleichungen (die also die selbe Lösungsmenge haben) umgeformt wird, bis man eine Gleichung erhält, deren Lösung einfach bestimmt werden kann.

Numerische Lösung

Viele Gleichungen, insbesondere aus naturwissenschaftlichen Anwendungen, können nicht analytisch gelöst werden. In diesem Fall versucht man, am Computer eine näherungsweise numerische Lösung zu berechnen. Solche Verfahren werden in der numerischen Mathematik behandelt. Viele algebraische oder Differential-Gleichungen lassen sich approximativ lösen, indem die in der Gleichung auftretenden nichtlinearen Funktionen durch ihre Ableitungen (falls diese existieren!) linear angenähert werden, und dann das daraus entstehende lineare Gleichungsssystem gelöst wird, was zum Newton-Verfahren führt. Für andere Problemklassen, etwa bei der Lösung von Gleichungen in unendlich-dimensionalen Räumen, wird die Lösung in geeignet gewählten endlich-dimensionalen Unterräumen gesucht (sogenannte Galerkin-Approximation).

Qualitative Analyse

Wenn eine Gleichung nicht analytisch gelöst werden kann, ist es oft dennoch möglich, mathematische Aussagen über die Lösung zu treffen. Insbesondere interessieren Fragestellungen der Art, ob eine Lösung überhaupt existiert, ob sie eindeutig ist, und ob die Lösung stetig von den Parametern der Gleichung abhängt. Eine qualitative Analyse ist auch bzw. gerade bei einer numerischen Lösung der Gleichung wichtig, damit sichergestellt ist, dass die numerische Lösung tatsächlich eine näherungsweise Lösung der Gleichung liefert und nicht irgendwelche sinnlosen Zahlen. Jacques Salomon Hadamard hat in diesem Zusammenhang den Begriff korrekt gestelltes Problem geprägt.

Verwandte Begriffe

Ungleichungen

Im Gegensatz zu Gleichungen wird bei Ungleichungen keine Aussage über Gleichheit zweier Terme, sondern über deren relative Größe oder Ordnung gemacht.

Optimierungsaufgaben

Optimierungsaufgaben können als eine Verallgemeinerung von Gleichungen aufgefasst werden, indem nicht die Gleichheit zweier Terme gefordert wird, sondern beispielsweise, dass deren Differenz minimal wird. Insbesondere bei der Suche nach numerischen Lösungen ergeben sich viele Überschneidungen von Optimierungsaufgaben und Gleichungen.

Einheitenbehaftete Gleichungen

Die praktische Anwendung von Gleichungen in der Physik und im Ingenieurswesen erfordert das Mitführen von Einheiten. Das kann zu inkonsitenten fehlerträchigen Zahlenwertgleichungen führen. Die Prüfung auf Einheitenkonsistenz kann aber auch ein effizientes Hilfsmittel zur Plausibilitätsprüfung von Herleitungen sein.

Siehe auch: Lösen von Gleichungen · Wichtige Gleichungen der Physik

Weblinks

Wiktionary: Gleichung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikiquote: Gleichung – Zitate

• The World of mathematical equations. Umfangreiche englische Seite.