Benutzer:Blacksun~dewiki

$\int _{0}^{1}\mathrm {ln} \,x\,\mathrm {d} x=?$

Kurzbeschreibung

• Studium der Physik an der Universität Dortmund
• Interessen
  • Physik
  • Mathematik
  • Programmierung (C++, Java, GUI-Entwicklung, ...)
  • Visualisierung
  • nicht-lineare Systeme
  • Kommunikation
  • Philosophie
  • Musik
  • Sport
  • u.v.a.m.

Matheecke

Hi Lara, hier deine Funktion ;)

Ableitungen

$f(x)=x\cdot e^{-tx^{2}}$
$f'(x)=(1-2x^{2}t)e^{-tx^{2}}$
$f''(x)=(4tx^{3}-6x)e^{-tx^{2}}$
$f'''(x)=(-8t^{2}x^{4}+24tx^{2}-6)e^{-tx^{2}}$

Nullstellen

$f(x)=0\Leftrightarrow x\cdot e^{-tx^{2}}=0\Leftrightarrow x=0\;\land \;e^{-tx^{2}}=0\Rightarrow x=0$
Also ist $x=0$ eine Nullstelle

y-Achsenabschnitt

$f(0)=0\cdot e^{-t\cdot 0^{2}}=0$
Also ist $S_{y}(0;0)$ der y-Achsenabschnitt

Extremstellen

Notwendige Bedingung

$f'(x)=0\Leftrightarrow (1-2x^{2}t)e^{-tx^{2}}=0\Leftrightarrow (1-2x^{2}t)=0\;\land \;e^{-tx^{2}}=0\Rightarrow 1=2x^{2}t\Leftrightarrow x_{1,2}=\pm {\sqrt {\frac {1}{2t}}}$

Hinreichende Bedingung

$f''(x_{1})=f''\left({\sqrt {\frac {1}{2t}}}\right)=-2e^{-{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\frac {2}{t}}}t$
Da unter der Wurzel keine negative Zahl stehen darf muß $t\geq 0$. Falls sogar $t\neq 0$ ist der Audruck $-2e^{-{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\frac {2}{t}}}t$ immer negativ. Daher muß bei ${\sqrt {\frac {1}{2t}}}$ ein Hochpunkt vorliegen. Wo genau der Hochpunkt liegt, ist natürlich davon abhängig, welches t man sich aussucht. Dann noch die zweite mögliche Extremstelle:
$f''(x_{2})=f''\left(-{\sqrt {\frac {1}{2t}}}\right)=2e^{-{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\frac {2}{t}}}t$
Aus den gleichen Gründen wie bei $x_{1}$ ist nun der Ausdruck $2e^{-{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\frac {2}{t}}}t$ immer positiv. Also liegt bei $-{\sqrt {\frac {1}{2t}}}$ ein Tiefpunkt vor.

Bestimmung der Punkte

Um jetzt die konkreten Punkte der Extremstellen zu bestimmen setzt man sie ($x_{1}$ und $x_{2}$) in $f(x)$ ein:
$f(x_{1})=f\left({\sqrt {\frac {1}{2t}}}\right)={\frac {1}{2}}e^{-{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\frac {2}{t}}}$
Und für $x_{2}$:
$f(x_{2})=f\left(-{\sqrt {\frac {1}{2t}}}\right)=-{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\frac {2}{t}}}$
Also ergeben sich die Punkte:
$HP\left(-{\sqrt {\frac {1}{2t}}};-{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\frac {2}{t}}}\right)$ und
$TP\left({\sqrt {\frac {1}{2t}}};{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\frac {2}{t}}}\right)$

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