Moyal-Produkt

Das Moyal-Produkt (nach José Enrique Moyal), auch Weyl–Groenewold-Produkt, ist in der Mathematik eine zweistellige Verknüpfung auf dem Funktionenraum der glatten Funktionen. Das assoziative, nicht-kommutative Produkt ist ein Spezialfall eines Sternproduktes.^[1]^[2]

Das Moyal-Produkt ist eine "Deformierungsquantisierung" einer linearen Poisson-Mannigfaltigkeit, das heisst die Algebra der klassischen Observablen wird deformiert, so dass eine nicht-kommutative Algebra von quanten Observablen entsteht (Quantisierung).^[3]

Definition

Seien $f,g\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{2n})$ zwei glatte Funktionen, deren Funktionsargumente mit $(p,q)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}$ notiert werden. Dann ist das Moyal-Produkt, mittels $\star$ notiert, definiert als

{\begin{aligned}f\star g:&=f\exp \left({\frac {\mathrm {i} \hbar }{2}}\left({\overset {\leftarrow }{\partial _{q}}}{\overset {\rightarrow }{\partial _{p}}}-{\overset {\leftarrow }{\partial _{p}}}{\overset {\rightarrow }{\partial _{q}}}\right)\right)g\\:&=\sum \limits _{n=0,m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!n!}}\left({\frac {\mathrm {i} \hbar }{2}}\right)^{n+m}\left(\partial _{p}^{m}\partial _{q}^{n}f\right)\left(\partial _{q}^{m}\partial _{p}^{n}g\right)\,,\end{aligned}}

wobei $\hbar$ das Reduzierte Plancksche Wirkungsquantum ist und ${\overset {\leftarrow }{\partial }}$ die Ableitung von $f$ und ${\overset {\rightarrow }{\partial }}$ von $g$ bedeutet.

Dabei wird der Operator

\star =\exp \left({\frac {\mathrm {i} \hbar }{2}}\left({\overset {\leftarrow }{\partial _{q}}}{\overset {\rightarrow }{\partial _{p}}}-{\overset {\leftarrow }{\partial _{p}}}{\overset {\rightarrow }{\partial _{q}}}\right)\right)

mittels der Bidifferentialoperator-Notation als zweistellige Verknüpfung geschrieben, das heißt der Differentialoperator $\star$ wirkt sowohl auf die Funktion vor als auch auf die Funktion hinter dem Operatorsymbol.