Benutzer:Bleckneuhaus/Sandkasten

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Einleitung

Der physikalische Begriff Arbeit (Formelzeichen $W$ von englisch work) ergibt sich daraus, dass einem Körper, der durch eine Kraft bewegt wird, eine Energiemenge zugeführt wird. Die Definition der rein mechanischen Arbeit lautet $W=F\,\Delta s$ ("Arbeit ist gleich Kraft mal Weg"), wobei die Kraft $F$ auf einen Körper wirkt, der in Richtung dieser Kraft die Strecke $\Delta s$ zurücklegt. Diese Definition ist auf viele mechanische Vorgänge anwendbar. Die dem Körper zugeführte Energiemenge $W$ wird gleichzeitig dem Energieinhalt des physikalischen Systems, das die Kraft hervorbringt, entzogen (Energieerhaltung).

Neben dieser auf dem Kraftbegriff aufbauenden Definition gibt es eine zweite, allgemeinere Definition, die von der zugeführten Energie ausgeht. Wird auf ein physikalisches System eine Energiemenge $\Delta E$ übertragen, die auch eine Energiemenge $Q$ in Form von Wärme enthalten kann, so wird die Differenz $W=\Delta E-Q$ als die am System geleistete Arbeit bezeichnet. Wärme ist dabei die Energiemenge, die im Unterschied zur Arbeit allein aufgrund unterschiedlicher Temperaturen über die Grenzen des Systems hinein oder aus dem System herausfließt, ohne dass dazu ein äußerer Parameter des Systems verändert werden muss. Für diese Definition müssen sowohl die Grenzen des physikalischen Systems als auch der betrachtete Prozess genau angegeben werden. Für rein mechanische Vorgänge ergibt dieser allgemeinere Arbeitsbegriff dasselbe Ergebnis wie die erste Definition auf der Grundlage der Kraft, wenn die Systemgrenzen geeignet festgelegt sind und die von der gesamten einwirkenden Kraft verrichtete Arbeit berechnet wird.

Dimension und SI-Einheit (Joule, $1\ \mathrm {J} =1\ \mathrm {N\,m} =1\ \mathrm {W\,s}$ sind für Arbeit, Wärme und Energie gleich. Negative Werte für $W$, $\Delta E$ oder $Q$ zeigen an, dass die Arbeit vom System geleistet wurde bzw. die Energiemengen vom System abgegeben wurden. Bei konstanter mechanischer Leistung $P$ verrichtet ein System in der Zeitspanne $\Delta t$ die Arbeit $W=P\cdot \Delta t$.

Entwicklung des Begriffs

Der mechanische Arbeitsbegiff entwickelte sich aus dem Studium der Kraftübertragung mit Hebeln, Seilen und Rollen. Man beobachtete dabei schon im Altertum, dass eine schwere Last mittels Kraftwandler mit verschieden großen Kräften angehoben werden kann, wobei das Produkt aus Kraft und Wegstrecke immer gleich ist, wenn die gleiche "Arbeit" geleistet wird, also die gleiche Last um den gleichen Betrag angehoben wird. Der erweiterte Arbeitsbegriff entstand nach der Erfindung der Dampfmaschine aus der Frage, wieviel mechanische Arbeit aus der Zufuhr einer bestimmten Wärmemenge, gegeben durch Verbrennen einer bestimmten Menge Kohle, gewonnen werden kann. Eine tiefere mikroskopische Deutung der Begriffe Arbeit und Wärme ergibt sich in der Beschreibung eines Systems sehr vieler Teilchen.

Mechanische Arbeit

In den Anfängen der Mechanik im 17. Jahrhundert wurde die Arbeit noch nicht von allen Gelehrten als Kraft mal Weg definiert. Stattdessen herrschte Verwirrung über die geeignete Definition. So standen im 17. Jahrhundert die Ansicht insbesondere von Leibniz der von Descartes entgegen: Leibniz bevorzugte eine Vorform der heutigen Definition, in der die Arbeit proportional zum Weg ist - Descartes vertrat eine Proportionalität zur Zeit. Descartes Auffassung entsprach damit der alltäglichen Wahrnehmung von Arbeit als einer über eine bestimmte Zeit wirkenden Anstrengung.

Beide Auffassungen bestanden solange ungestört nebeneinander, wie die Maschinen des Altertums (Hebel, Flaschenzug oder die schiefe Ebene) lediglich im Zustand des Gleichgewichts betrachtet wurden. Hierbei ist es unerheblich, ob die Goldene Regel der Mechanik auf den gesparten Weg oder die gesparte Zeit bezogen wird. Als Leibniz allerdings 1686 in den Acta Eruditorum beide Definitionen am Beispiel des freien Falls verglich, also an einem Beispiel aus der Dynamik, erhielt er unterschiedliche Aussagen. Denn durch die seit Galilei bekannte quadratische Zunahme der Fallstrecke mit der Zeit stimmen die Aufschlagsenergien beider Definitionen nicht überein. Ein Gewicht, welches aus der vierfachen Höhe fällt, benötigt nur die zweifache Fallzeit, gewinnt in den heutigen Begriffen aber vierfache kinetische Energie.

Doch war der Streit damit nicht entschieden. Selbst Leibniz äußerte, dass auch die Varianten "Kraft mal Zeit" bzw. "Masse mal Geschwindigkeit", in heutiger Sprechweise also der Impuls, mit Vorsicht für die Bestimmung von Bewegungsenergie genutzt werden könnten. Der Begriff der mechanischen Arbeit mit seiner heutigen Definition wurde erst 1829 von Gaspard Gustave de Coriolis angegeben.

Beziehung zur Wärme

Dass Wärme sich jedenfalls teilweise in mechanische Arbeit umwandeln lässt und selbst eine Form von Energie darstellt, die auch durch mechanische Arbeit entstehen kann, war durch die Dampfmaschine (und ihre Vorläufer) sowie durch die unerschöpfliche Wärmeerzeugung durch mechanische Arbeit (s. Benjamin Thompson) in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts bekannt. Sadi Carnot erkannte 1824, dass der höchst unterschiedliche Wirkungsgrad der Erzeugung von Arbeit aus Wärme nicht nur mit Reibungs- und Wärmeverlusten zu tun hatte, sondern durch einen grundlegenden Unterschied von Wärme und Arbeit erklärt werden musste. James Prescott Joule wies ab 1843 in einer Reihe von Experimenten nach, dass die Umwandlung einer bestimmten Menge von von mechanischer oder elektrischer Arbeit immer dieselbe Wärmemenge ergibt. Nachdem Hermann von Helmholtz 1847 den allgemeinen Energieerhaltungssatz formuliert hatte, fand Rudolf Clausius 1850 die Gleichung für den 1. Hauptsatz der Thermodynamik, in heutiger Schreibweise $\Delta U=W+Q$.

Chemische Arbeit

1873 gelang es Josiah Willard Gibbs, die Energieumsätze chemischer Reaktionen in den 1. Hauptsatz einzufügen. Er lautet dann $\Delta U=W_{mech}+W_{chem}+Q$. Darin ist $W_{chem}=\Sigma _{i}\mu _{i}\Delta N_{i}$ ist, der Index $i$ die im System vorhandenen Stoffarten durchnummeriert, $N_{i}$ die Menge der $i$-ten Stoffart ist und $\mu _{i}$ deren chemisches Potential (alles in heutiger Notation). Die Einstufung des chemischen Energieumsatzes als Arbeit liegt darin begründet, dass die Ausdrücke $W_{mech}=-p\Delta V$ und $W_{chem}=\mu \Delta N$ sich formal ähnlich sehen, wonach die Mengen $N_{i}$ die Rolle der äußeren Parameter spielen.

Zudem erfüllt dieser Energiebeitrag nicht das in der Physik seit etwa 1920 zugrundegelegte Kriterium für die Wärme. Er wird nämlich nicht von außen in das System eingebracht, sondern entsteht im Innern des Systems (gespeist durch den Unterschied der Bindungsenergien der Moleküle vor und nach der Reaktion). Dessenungeachtet wird dieser Energiebeitrag auch öfter noch mit dem Symbol $Q$ bezeichnet und Wärme genannt, z. B. im Alltag ("Verbrennung erzeugt Wärme"), aber auch im Bereich der Chemie.

Deutung durch Statistische Physik

wer?

Der von der Kraft ausgehende Ansatz

Motivation des Begriffs der mechanischen Arbeit

Will man eine Masse mit dem Gewicht $G$ um eine Höhe $h$ anheben, so kann man diese "Aufgabe" unter anderem auf folgende Weisen erfüllen:

• Man kann die Masse direkt durch eine aufwärts gerichtete Kraft derselben Größe $G$ längs der senkrechten Strecke $h$ anheben.
• Man kann die Masse mit einer Seilrolle und Kurbel an einem Seil emporziehen, wobei der Griff der Kurbel, auf die man mit einer Kraft $F$ einwirkt, einen Weg $s$ zurücklegt.
• Man kann die Masse mit einer Kraft $F$ eine geeignete schiefe Ebene der Länge $s$ hinaufziehen, o.ä.

Man stellt dann fest, dass immer $Gh=Fs$ gilt, also gleicher Wert für die Größe Kraft mal Weg (wenn die Kraft parallel zur Bewegung des Angriffspunktes ist und man die Reibung und andere Verluste vernachlässigen kann). Die gesamte "Mühe" $W$ ist daher durch die Größe Kraft mal Weg zutreffend zu beziffern. Dieser Ausdruck erhält den Namen "Arbeit": $W=Fs$. Arbeit hat die Dimension Energie, für diese Bildung des Begriffs spielt jedoch keine Rolle, dass dabei dem Körper die Energie $W$ zugeführt wird. Weitere Präzisierung ergibt:

• Ohne dass der Angriffspunkt der Kraft einen Weg zurücklegt, ist $W=0$, d. h. es wird keine mechanische Arbeit geleistet (zum Beispiel nicht von der ruhenden Unterlage, wenn sie ein ruhendes Gewicht einfach trägt).
• Auch wenn der Weg rechtwinklig zur Kraft liegt, ist die Arbeit $W=0$ (z. B. wird keine Arbeit gegen die Schwerkraft geleistet, wenn ein Kofferroller horizontal rollt).
• Wird der Weg in mehreren Teilstücken zurückgelegt, ist die Summe der entsprechenden Teilarbeiten, unabhängig von der getroffenen Aufteilung, immer dieselbe Arbeit $W$.
• Lässt man die Kraft mit einer anderen Richtung als der (jeweils momentanen) Bewegungsrichtung des Angriffspunkts einwirken, zählt für die Arbeit nur die zum Weg parallele Kraftkomponente.
• Ist diese Kraftkomponente der Bewegung entgegengerichtet, ist die Arbeit negativ zu nehmen. Dann wird dem System, das die Kraft hervorbringt, Energie zugeführt.

Zur Alltagserfahrung der körperlichen Arbeit bestehen manche Unterschiede:

• Schon beim bloßen Halten eines schweren Gegenstands ermüden die Muskeln wie beim Verrichten einer mechanischen Arbeit $W\neq 0$.
• Das Aufteilen eines Wegs in mehrere Stücke kann die gefühlte Mühe erheblich reduzieren.

Die Unterschiede erklären sich dadurch, dass allein das Hervorbringen von Muskelkraft den Körper (chemische) Energie kostet.

Beispiele für mechanische Arbeit

• Beschleunigungsarbeit: Eine U-Bahn mit einer Masse von 60t wird auf einer Strecke von 100 m durch die konstante Kraft von 60 kN beschleunigt. Die Arbeit, die von den Antriebsmotoren verrichtet wird, beträgt $W=Fs=60\,\mathrm {kN} \cdot \,100\mathrm {m} =6000\,\mathrm {kJ}$. Die kinetische Energie der Bahn nimmt um den Energiebetrag $6000\,\mathrm {kJ}$ zu.
• Hubarbeit: Ein Kran hebt auf einer Baustelle eine Palette mit Steinen von 500 kg auf das Dach in 10 m Höhe. Die Gewichtskraft beträgt $G=mg=500\,\mathrm {kg} \cdot 9,81\,\mathrm {ms^{-2}} \approx 5000\,\mathrm {N}$ Dabei verrichtet der Kran eine Arbeit von $W=Gh=5000\,\mathrm {N} \cdot 10\,\mathrm {m} =50\,\mathrm {kJ}$. Die potentielle Energie der Steine nimmt dabei um $50\,\mathrm {kJ}$ zu.
• Beschleunigungsarbeit: Reißt in 10m Höhe das Seil des Krans, fällt die Palette beschleunigt um $h=10$m nach unten. Die Gewichtskraft $G$ verrichtet dann die Beschleunigungsarbeit $W=Gh=50\,\mathrm {kJ}$.

Kraftwandler und Goldene Regel der Mechanik

Will man eine bestimmte Arbeit mit geringerer Kraft verrichten, so ist dies mit einem Kraftwandler möglich. Beispiele für Kraftwandler sind Flaschenzüge, Hebel oder Getriebe. Jedoch verlängert sich der Weg über den die Kraft aufgebracht werden muss. Wird beispielsweise durch Verwendung eines Kraftwandlers nur ein Viertel der ohne ihn erforderlichen Kraft benötigt, so ist dies mindestens mit einer Vervierfachung des Weges verbunden. Diese Konsequenz des Energieerhaltungssatzes beschreibt die „Goldene Regel der Mechanik“.

Allgemeine Definition der mechanischen Arbeit

Eine mechanische Arbeit ist immer gegeben, wenn ein Körper einen Weg zurücklegt und dabei eine Kraft auf ihn wirkt. Haben Kraft und Weg nicht dieselbe Richtung, sondern schließen einen Winkel $\alpha$ (mit $0^{\circ }\leq \alpha \leq 180^{\circ }$) ein, dann ist nur die zum Weg parallel gerichtete Komponente $|{\vec {F}}|\cos \alpha$ der Kraft ${\vec {F}}$ zu berücksichtigen, oder - mit gleichem Ergebnis - die zur Kraft parallele Komponente des Wegs. Die Definition für die von der Kraft ${\vec {F}}$ verrichtete Arbeit lautet:

$W=|{\vec {F}}|\,|\Delta {\vec {s}}|\,\cos \alpha ={\vec {F}}\cdot \Delta {\vec {s}}$

Die verrichtete Arbeit $W$ ist positiv, wenn die Kraft in Richtung der Bewegung weist, negativ, wenn die Kraft der Bewegung entgegen gerichtet ist, und Null, wenn sie im rechten Winkel zur Bewegungsrichtung wirkt. Wenn die Arbeit positiv ist ($W>0$), wird dem Körper Energie zugeführt. Ist sie negativ ($W<0$), bedeutet das, dass der betrachtete Körper die Arbeit $|W|$ an das System abgibt, das die Kraft $F$ auf ihn ausübt.

Wirken mehrere Kräfte auf einen Körper ein, so kann die Gleichung zur Berechnung der Arbeit auch auf eine einzelne davon angewendet werden. Damit ermittelt man die von dieser Kraft dem Körper zugeführte Arbeit. Die insgesamt von der resultierenden Kraft ${\vec {F}}_{\mathrm {res.} }$ verrichtete Arbeit $W_{\mathrm {ges.} }$ ist dann die Summe aller Einzelarbeiten:

$\sum _{i}W_{i}=\sum _{i}({\vec {F}}_{i}\cdot \Delta {\vec {s}})=\left[\sum _{i}{\vec {F}}_{i}\right]\cdot \Delta {\vec {s}}={\vec {F}}_{\mathrm {res.} }\cdot \Delta {\vec {s}}=W_{\mathrm {ges.} }$

Die Gesamtarbeit kann sich von der von einer Kraft zugeführten Arbeit unterscheiden. So ist beim langsamen Heben eines Gewichts die Gesamtarbeit Null, weil die nach unten wirkende Gewichtskraft ${\vec {F}}_{G}=m{\vec {g}}$ und die nach oben gerichtete hebende Kraft ${\vec {F}}_{h}=-{\vec {F}}_{G}$ jederzeit im Gleichgewicht sind. Die vom Heber zugeführte Arbeit wird aber ausschließlich aus der hebenden Kraft bestimmt und beträgt $W={\vec {F}}_{h}\cdot \Delta {\vec {s}}=-m{\vec {g}}\cdot \Delta {\vec {s}}=+mgh$.

Besteht der Weg aus verschiedenen Teilstücken, sind die entsprechenden Teilarbeiten längs der einzelnen Wegstücke zu addieren. Wenn die Kraftkomponente $|{\vec {F}}|\cos \alpha$ längs des Wegs nicht konstant ist, denkt man sich den Weg in genügend kleine Stücke mit jeweils konstantem Wert von $|{\vec {F}}|\cos \alpha$ aufgeteilt und alle Beiträge zur Arbeit summiert. Das führt auf die allgemeine Formel für die mechanische Arbeit in Form eines Weg- oder Kurvenintegrals:

$W=\int _{C}{\vec {F}}({\vec {s}})\cdot \mathrm {d} {\vec {s}}$

Darin ist $C$ der im Raum gegebene Weg, den der Angriffspunkt ${\vec {s}}$ der Kraft ${\vec {F}}({\vec {s}})$ von Anfang bis Ende zurücklegt.

Formen von Arbeit, aus der mechanischen Definition hergeleitet

• Hubarbeit: Arbeit, die an einem ruhenden Körper der Masse $m$ verrichtet werden muss, um ihn im homogenen Schwerefeld mit Erdbeschleunigung $g$ um die Hubhöhe $h$ zu heben

Die zum Heben benötigte Kraft beträgt (entgegen der Schwerkraft): $F=m\,g$,

Die zurückgelegte Strecke $s$ entspricht der Höhe $h$.

Damit beträgt die geleistete Hubarbeit: $W=F\,s=m\,g\,h.$

• Arbeit bei Drehbewegung: Bei einer Drehbewegung unter Einwirkung eines Drehmoments ist die mechanische Arbeit $W=M\,\Delta \varphi$, wobei $M$ das Drehmoment auf den Körper bezeichnet und $\Delta \varphi$ den Winkel (im Bogenmaß), um den er gedreht wird. Die Formel ergibt sich aus $W=F\,s$, wenn die Kraft im Abstand $r$ von der Drehachse das Drehmoment $M=F\,r$ erzeugt und ihr Angriffspunkt auf dem Kreis den Bogen $s=r\,\Delta \varphi$ zurücklegt.

• Spannarbeit, auch Federarbeit, um eine zunächst ungespannte Feder um die Strecke $s$ zu dehnen:

Die (Spann-)Kraft einer Feder der Federkonstante $D$ beträgt bei der Federdehnung $x$: $F(x)=D\,x$.

Da die Kraft längs des Weges nicht konstant ist, tritt an Stelle des Produkts $W=F\,s$ das Integral $W=\int _{0}^{s}F(x)\,\mathrm {d} x$.

Damit beträgt die verrichtete Spannarbeit: $W=\int _{0}^{s}Dx\,\mathrm {d} x={\tfrac {1}{2}}\,D\,s^{2}$.

• Beschleunigungsarbeit: Ein Körper der Masse $m$ mit der Geschwindigkeit $v_{0}$ wird auf eine Geschwindigkeit $v$ beschleunigt und legt dabei eine Strecke $s$ zurück. Seine kinetische Energie ändert sich dabei um $\Delta E_{\text{kin}}$:

$W=\Delta E_{\text{kin}}={\tfrac {1}{2}}\,m\,v^{2}-{\tfrac {1}{2}}\,m\,v_{0}^{2}={\tfrac {1}{2}}\,m\,(v^{2}-v_{0}^{2}).$

Die Formel ergibt sich aus $W=F\,s$, weil die Kraft $F$ am Körper die Beschleunigung ${\tfrac {F}{m}}$ erzeugt und zum Erreichen der Endgeschwindigkeit $v$ eine Zeit $\Delta t=F/m\,(v-v_{0})$ einwirken muss. Währenddessen legt der Körper die Strecke $s=v_{0}\,\Delta t+{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {F}{m}}\,\Delta t^{2}$ zurück.

• Volumenarbeit oder Kompressionsarbeit: Arbeit, die an einem Gas verrichtet werden muss, um es vom Volumen $V_{1}$ auf das Volumen $V_{2}$ zu verdichten:

$W=-\int _{V_{1}}^{V_{2}}p\,\mathrm {d} V.$

Das negative Vorzeichen stammt daher, dass die Kraft auf die Fläche $A$ des Kolbens $F=-p\,A$ dem Druck entgegengesetzt gleich sein muss. Der Druck $p$ kann (je nach Art der Zustandsänderung) variabel oder konstant sein.

Bei konstantem Druck wird daraus die Druck-Volumen-Arbeit, z. B. bei der Förderung eines Flüssigkeitsvolumens $V$ gegen einen konstanten Druck.

$W=p\,V\,.$

• Verformungsarbeit: Arbeit, die von einer äußeren Kraft verrichtet wird, wenn sie einen Körper verformt.

• Elektrische Arbeit: Um die Ladungsmenge $Q$ von einem Punkt zu einem anderen zu bewegen, zwischen welchen die Elektrische Spannung $U$ herrscht, muss die Arbeit

$W=-\,Q\,U$

verrichtet werden. Die Formel ergibt sich aus $W=F\,s$, weil $F=-\,Q\,{\tfrac {U}{s}}$ (wenn das elektrische Feld direkt vom Anfangs- zum Endpunkt weist).

• Magnetische Arbeit: Wenn sich in einem Magnetfeld ${\vec {B}}$ ein magnetischer Dipol ${\vec {m}}$ befindet, muss am Dipol bei Erhöhung des Magnetfelds die Arbeit

$W=-{\vec {m}}\cdot {\vec {\Delta B}}$

verrichtet werden.

• Reibungsarbeit: Produkt aus Reibungskraft und Weg, also $W={\vec {F}}_{\mathrm {Reib} }\cdot {\vec {s}}$. Allgemein wird hier mechanische Energie durch Dissipation in Innere Energie und durch Abrieb in Oberflächenarbeit umgewandelt.

• Oberflächenarbeit: Um eine Oberfläche $A$, in der die Oberflächenspannung $\sigma$ herrscht, um $\Delta A$ zu vergrößern, ist die Arbeit

$W_{\text{A}}=\sigma \Delta A$ zu verrichten. Zur Herleitung der Formel siehe Oberflächenspannung#Mechanische Definition.

• Ein Beispiel aus der Physiologie: Die Herzarbeit setzt sich aus der Druck-Volumen-Arbeit und der Beschleunigungsarbeit durch Addition der Arbeit der beiden Ventrikel zusammen.

Erweiterung auf gesamten Energietransfer abzüglich Wärme

Definition der Arbeit

Die erweiterte Definition von Arbeit fußt auf den Grundbegriffen System, Energie und Wärme. Jedes physikalische System hat zu jedem Zeitpunkt einen bestimmten Energieinhalt $E$. Eine Veränderung $\Delta E$ des Energieinhalts kann nur durch Wechselwirkungen mit einem zweiten System geschehen (siehe Energieerhaltung). Ein Beispiel für eine solche Wechselwirkung ist die Übertragung von Wärme $Q$, wenn die beiden Systeme verschiedene Temperaturen haben. Alle anderen Änderungen der Energie stellen zusammen die gesamte am System geleistete Arbeit $W$ dar:

$W=\Delta E-Q$.

Diese Definition stimmt in allen Fällen rein mechanischer Arbeit mit dem oben gegebenen mechanischen Begriff überein. Sie stellt eine Verallgemeinerung dieses Begriffs dar, indem sie auch auf Vorgänge wie z. B. chemische Reaktionen anwendbar ist, bei denen sich eine mechanische Kraft und eine räumliche Bewegung nicht identifizieren lassen.

Zur Anwendung des Energieerhaltungssatzes muss das System eindeutig definierte Grenzen haben. Dabei ist die Systemgrenze aber nicht immer nur räumlich zu verstehen. Auch eine Komponente eines Stoffgemischs kann als System betrachtet werden, z. B. bei einer chemischen Reaktion mit einer anderen Komponente.

Die oben aus dem mechanischen Begriff hergeleiteten Formen der Arbeit gehen immer mit einer Änderung mindestens eines äußeren Parameters einher: z. B. Position und Orientierung des Systems in einem äußeren Feld, Größe und Form der räumlichen Ausdehnung, Stärke und Richtung eines im System herrschenden elektrischen oder magnetischen Felds. Demgegenüber schließt der allgemeine Begriff von Arbeit auch mit ein, wenn die Energie eines Systems durch Übertragung von Materie von einem zweiten System verändert wird. Dies kann auch durch eine chemische Reaktion zwischen verschiedenen im System vorhandenen Stoffen geschehen, wobei jeder Stoff wie ein eigenes System behandelt wird. Der betreffende Beitrag zur Änderung $\Delta E$ der Gesamtenergie wird zuweilen als chemische Arbeit bezeichnet.

Literatur

• Klaus Stierstadt: Thermodynamik — Von der Mikrophysik zur Makrophysik , Springer Verlag, 2010, ISBN 978-3-642-05097-8, e-ISBN 978-3-642-05098-5, DOI 10.1007/978-3-642-05098-5
• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik Bd 4/2 Thermodynamik, Springer Verlag, 9. Auflage 2016, ISBN 978-3-662-49032-7, DOI 10.1007/978-3-662-49033-4