Umgebung (Mathematik)

Umgebung ist ein Begriff der Mathematik, der in der Topologie allgemein definiert wird und auch in weiteren Teilgebieten wie der Analysis verwendet wird.

Definition

Eine Teilmenge U eines topologischen Raumes $(X,{\mathfrak {T}})$ heißt Umgebung des Punktes $x\in X$ , falls eine offene Menge $O$ mit $x\in O\subset U$ existiert.

Die Menge aller Umgebungen eines Punktes x bildet einen Filter ${\mathfrak {U}}(x)$ , der Umgebungsfilter von x heißt. Der Umgebungsfilter ist eine Teilmenge der Potenzmenge von X.

Eine Menge ${\mathfrak {B}}(x)$ von Umgebungen eines Punktes x heißt eine Umgebungsbasis von x, wenn jede Umgebung von x ein Element von ${\mathfrak {B}}(x)$ als Teilmenge hat.

Eigenschaften

Für die Umgebungen gelten folgende Eigenschaften:

Ist $U\in {\mathfrak {U}}(x)$ und $U\subset U'\subset X$ , so ist auch $U'\in {\mathfrak {U}}(x)$ .
Ist $U_{j}\in {\mathfrak {U}}(x)$ für $1\leq j\leq n$ , so gilt auch $\bigcap _{j=1}^{n}U_{j}\in {\mathfrak {U}}(x)$ .
Ist $U\in {\mathfrak {U}}(x)$ , so gilt $x\in U$ .
Zu jedem $U\in {\mathfrak {U}}(x)$ existiert ein $V\in {\mathfrak {U}}(x)$ , sodass $U\in {\mathfrak {U}}(y)$ für jedes $y\in V$ gilt.

Ordnet man dagegen jedem Punkt x einer Menge X ein Mengensystem ${\mathfrak {U}}(x)$ zu, so dass obige Bedingungen erfüllt sind, so gibt es eine eindeutig bestimmte Topologie auf X, so dass für jedes x das System ${\mathfrak {U}}(x)$ das Umgebungssystem von x ist. Eine Menge ist in diesem Fall genau dann offen, wenn sie mit jedem ihrer Punkte auch eine Umgebung dieses Punktes enthält. (Dieser Satz erklärt die Verwendung des Wortes offen für den oben definierten mathematischen Begriff.)

Beispiele

Ist {x} offen, dann ist {{x}} Umgebungsbasis von x.
Jeder metrische Raum erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom, denn für jedes reelle ε einer ε-Umgebung gibt es ein rationales δ mit δ < ε und die rationalen Zahlen sind abzählbar.

Rekonstruktion der Topologie

Man kann in einem topologischen Raum die offenen Mengen rekonstruieren, wenn man zu jedem Punkt alle Umgebungen kennt:

Eine Menge ist genau dann offen, wenn sie Umgebung jedes ihrer Punkte ist.

Umgebungen in metrischen Räumen

In einem Metrischen Raum (M, d) sind Raumeigenschaften der Menge M bereits durch die Metrik d festgelegt. Man zieht die topologischen Eigenschaften aus der Metrik heraus, indem man Umgebungen herleitet, wobei man zunächst für jeden Punkt der Menge die so genannten ε-Umgebungen definiert: $\forall x_{0}\in M:\forall \epsilon >0:\ U_{\epsilon }\,(x_{0}):=\{\,x\in M\,|\,d\,(x,x_{0})<\epsilon \,\}$

Eine Teilmenge von M ist genau dann eine Umgebung des Punktes x, wenn sie eine ε-Umgebung von x enthält. Die so definierten Umgebungen erfüllen die oben aufgeführten Axiome 1 bis 4 und bestimmen damit auf der Menge M eindeutig eine Topologie: die durch die Metrik induzierte Topologie. Verschiedene Metriken können die selbe Topologie induzieren.