Die Tribonacci-Folge ist die unendliche Folge natürlicher Zahlen , die ursprünglich mit einmal der Zahl 0 und zweimal der Zahl 1 beginnt. Im Anschluss ergibt jeweils die Summe dreier aufeinanderfolgender Zahlen die unmittelbar danach folgende Zahl:
T
n
=
T
n
−
1
+
T
1
−
2
+
T
n
−
3
{\displaystyle T_{n}=T_{n-1}+T_{1-2}+T_{n-3}}
Die darin enthaltenen Zahlen heißen Tribonacci-Zahlen. Diese Folge erhielt ihren Namen als Analogon zu der Fibonacci-Folge , nur werden nicht die zwei, sondern die drei vorherigen Zahlen addiert, um eine betroffene Zahl dieser Folge zu erhalten.
Die ersten Tribonacci-Zahlen lauten folgendermaßen:
0
,
1
,
1
,
2
,
4
,
7
,
13
,
24
,
44
,
81
,
149
,
274
,
504
,
927
,
1705
,
3136
,
5768
,
10609
,
19513
,
35890
,
66012
,
.
.
.
{\displaystyle 0,1,1,2,4,7,13,24,44,81,149,274,504,927,1705,3136,5768,10609,19513,35890,66012,...}
Definition der Tribonacci-Folge
Die Tribonacci-Folge
t
1
,
t
2
,
t
3
,
…
{\displaystyle t_{1},\,t_{2},\,t_{3},\ldots }
rekursive Bildungsgesetz
T
n
=
T
n
−
1
+
T
n
−
2
+
T
n
−
3
{\displaystyle T_{n}=T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3}}
n
≥
3
{\displaystyle n\geq 3}
mit den Anfangswerten
T
0
=
0
,
T
1
=
T
2
=
1
{\displaystyle T_{0}=0,\,T_{1}=T_{2}=1}
definiert.[ 1]
Für die drei ersten Zahlen einmal der Wert 0 und zweimal der Wert
1
{\displaystyle 1}
Jede weitere Zahl ist die Summe ihrer drei Vorgänger in der Folge. Aus der Forderung, dass die Rekursion
T
n
=
T
n
−
1
+
T
n
−
2
+
T
n
−
3
{\displaystyle T_{n}=T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3}}
auch für ganze Zahlen
n
≤
2
{\displaystyle n\leq 2}
T
−
1
=
0
,
T
−
2
=
1
,
T
−
3
=
−
1
,
T
−
4
=
0
,
T
−
5
=
2
,
T
−
6
=
−
3
,
T
−
7
=
1
,
T
−
8
=
4
,
T
−
9
=
−
8
,
T
−
10
=
5
{\displaystyle T_{-1}=0,T_{-2}=1,T_{-3}=-1,T_{-4}=0,T_{-5}=2,T_{-6}=-3,T_{-7}=1,T_{-8}=4,T_{-9}=-8,T_{-10}=5}
So ergibt sich die Folge in die linke Richtung:
5
,
−
8
,
4
,
1
,
−
3
,
2
,
0
,
−
1
,
1
,
0
,
0
,
1
,
1
,
2
,
4
,
7
,
13
,
24
,
44
,
81...
{\displaystyle 5,-8,4,1,-3,2,0,-1,1,0,0,1,1,2,4,7,13,24,44,81...}
Darüber hinaus ist eine Verallgemeinerung der Folge auf komplexe Zahlen , proendliche Zahlen [ 2] Vektorräume möglich.
Eigenschaften
Generierende Matrix
Die Tribonacci-Folge wird durch folgende Matrix generiert:
M
=
(
1
1
1
1
0
0
0
1
0
)
{\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}}
Durch Potenzieren mit ganzen Zahlen erhält man in der ersten und dritten Spalte die Tribonacci-Zahlen als Einträge:
M
n
=
(
1
1
1
1
0
0
0
1
0
)
n
=
(
T
n
+
1
T
n
+
T
n
−
1
T
n
T
n
T
n
−
1
+
T
n
−
2
T
n
−
1
T
n
−
1
T
n
−
2
+
T
n
−
3
T
n
−
2
)
{\displaystyle M^{n}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}T_{n+1}&T_{n}+T_{n-1}&T_{n}\\T_{n}&T_{n-1}+T_{n-2}&T_{n-1}\\T_{n-1}&T_{n-2}+T_{n-3}&T_{n-2}\end{pmatrix}}}
Der Grenzwert des Verhältnis vom Nachfolger zum Vorgänger ergibt die Tribonacci-Konstante:
lim
n
→
∞
T
n
+
1
T
n
=
T
T
R
I
=
1
3
19
+
3
33
3
+
1
3
19
−
3
33
3
+
1
3
≈
1
,
8392867552
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {T_{n+1}}{T_{n}}}=T_{TRI}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\frac {1}{3}}\approx 1,8392867552}
Diese Konstante ist auch der reelle Eigenwert der oben abgebildeten Matrix und die Lösung folgender kubischer Gleichung:
x
3
−
x
2
−
x
−
1
=
0
{\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-1=0}
x
R
E
E
L
L
=
T
T
R
I
{\displaystyle x_{REELL}=T_{TRI}}
Kehrwert der Tribonacci-Konstante:
Die Gleichung für den Kehrwert erhält man durch Einsetzen von x = 1/y:
y
3
+
y
2
+
y
−
1
=
0
{\displaystyle y^{3}+y^{2}+y-1=0}
y
R
E
E
L
L
=
1
/
T
T
R
I
=
1
3
3
33
+
17
3
−
1
3
3
33
−
17
3
−
1
3
{\displaystyle y_{REELL}=1/T_{TRI}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {33}}+17}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {33}}-17}}-{\frac {1}{3}}}
Kubikwurzel aus der Tribonacci-Konstante
Die Tribonacci-Konstante lässt sich auf einfache Weise kubisch radizieren:
Synthese des erster Ausdrucks:
T
T
R
I
3
−
T
T
R
I
2
−
T
T
R
I
−
1
=
0
{\displaystyle T_{TRI}^{3}-T_{TRI}^{2}-T_{TRI}-1=0}
I)
T
T
R
I
2
(
T
T
R
I
−
1
)
=
T
T
R
I
+
1
{\displaystyle T_{TRI}^{2}(T_{TRI}-1)=T_{TRI}+1}
Synthese des zweiten Ausdrucks:
T
T
R
I
3
−
T
T
R
I
2
−
T
T
R
I
−
1
=
0
{\displaystyle T_{TRI}^{3}-T_{TRI}^{2}-T_{TRI}-1=0}
T
T
R
I
3
−
T
T
R
I
2
−
T
T
R
I
+
1
=
2
{\displaystyle T_{TRI}^{3}-T_{TRI}^{2}-T_{TRI}+1=2}
II)
(
T
T
R
I
−
1
)
2
(
T
T
R
I
+
1
)
=
2
{\displaystyle (T_{TRI}-1)^{2}(T_{TRI}+1)=2}
Synthese des dritten und vierten Ausdrucks:
Multiplikation von I und II:
III)
T
T
R
I
2
(
T
T
R
I
−
1
)
3
(
T
T
R
I
+
1
)
=
2
(
T
T
R
I
+
1
)
{\displaystyle T_{TRI}^{2}(T_{TRI}-1)^{3}(T_{TRI}+1)=2(T_{TRI}+1)}
T
T
R
I
3
(
T
T
R
I
−
1
)
3
/
2
=
T
T
R
I
{\displaystyle T_{TRI}^{3}(T_{TRI}-1)^{3}/2=T_{TRI}}
IV)
T
T
R
I
3
=
T
T
R
I
(
T
T
R
I
−
1
)
/
2
3
=
1
3
2
3
(
2
+
3
33
+
17
3
−
3
33
−
17
3
)
{\displaystyle {\sqrt[{3}]{T_{TRI}}}=T_{TRI}(T_{TRI}-1)/{\sqrt[{3}]{2}}={\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{2}}}}(2+{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {33}}+17}}-{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {33}}-17}})}
Daraus folgt:
T
T
R
I
=
1
2
(
2
3
+
1
3
3
33
+
17
3
−
1
3
3
33
−
17
3
)
3
{\displaystyle T_{TRI}={\frac {1}{2}}\left({\frac {2}{3}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {33}}+17}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {33}}-17}}\right)^{3}}
Elliptische Integrale und Funktionen
Für folgende Gleichung aus vollständigen elliptisches Integralen erster Art lässt sich die Lösung vereinfacht mit der Tribonacci-Konstante darstellen:
K
(
1
−
x
2
)
/
K
(
x
)
=
11
{\displaystyle K({\sqrt {1-x^{2}}})/K(x)={\sqrt {11}}}
x
=
λ
∗
(
11
)
=
1
8
2
(
11
+
3
)
(
1
3
6
3
+
2
11
3
−
1
3
6
3
−
2
11
3
+
1
3
11
−
1
)
4
=
{\displaystyle x=\lambda ^{*}(11)={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}({\sqrt {11}}+3)({\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {11}}-1)^{4}=}
=
1
8
2
(
11
+
3
)
[
(
3
T
T
R
I
2
−
4
T
T
R
I
+
2
)
/
11
−
1
]
4
=
sin
[
arcsin
[
(
−
T
T
R
I
2
+
2
T
T
R
I
+
1
)
12
/
512
]
/
2
]
{\displaystyle ={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}({\sqrt {11}}+3)[(3T_{TRI}^{2}-4T_{TRI}+2)/{\sqrt {11}}-1]^{4}=\sin[\arcsin[(-T_{TRI}^{2}+2T_{TRI}+1)^{12}/512]/2]}
1
−
x
2
=
λ
∗
(
1
/
11
)
=
1
8
2
(
11
−
3
)
(
1
3
6
3
+
2
11
3
−
1
3
6
3
−
2
11
3
+
1
3
11
+
1
)
4
=
{\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}=\lambda ^{*}(1/11)={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}({\sqrt {11}}-3)({\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {11}}+1)^{4}=}
=
1
8
2
(
11
−
3
)
[
(
3
T
T
R
I
2
−
4
T
T
R
I
+
2
)
/
11
+
1
]
4
=
cos
[
arcsin
[
(
−
T
T
R
I
2
+
2
T
T
R
I
+
1
)
12
/
512
]
/
2
]
{\displaystyle ={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}({\sqrt {11}}-3)[(3T_{TRI}^{2}-4T_{TRI}+2)/{\sqrt {11}}+1]^{4}=\cos[\arcsin[(-T_{TRI}^{2}+2T_{TRI}+1)^{12}/512]/2]}
Diese Werte sind die elliptischen Lambda-Funktionswerte von 11 und 1/11.
3D-Ansicht eines Pentagonikositetraeders (Animation ) Die Tribonacci-Konstante beschreibt im Abgeschrägtes Hexaeder und im Pentagonikositetraeder die Winkel und Volumina.
Die Werte dieser Körper lassen sich vereinfacht als quadratisch radikale Polynome aus der Tribonacci-Konstante darstellen.
In Abhängigkeit von der Seitenlänge werden die Volumina folgendermaßen berechnet:
V
A
B
G
H
E
X
=
a
3
3
2
−
T
T
R
I
(
3
T
T
R
I
−
1
+
4
T
T
R
I
+
1
)
{\displaystyle V_{ABGHEX}\,={\frac {a^{3}}{3{\sqrt {2-T_{TRI}}}}}\left(3{\sqrt {T_{TRI}-1}}+4{\sqrt {T_{TRI}+1}}\right)}
V
P
E
N
I
K
O
=
4
a
3
(
3
T
T
R
I
+
1
)
T
T
R
I
(
T
T
R
I
+
1
)
2
−
T
T
R
I
=
2
b
3
(
T
T
R
I
+
1
)
(
3
T
T
R
I
+
1
)
2
(
−
T
T
R
I
2
+
2
T
T
R
I
+
1
)
2
−
T
T
R
I
{\displaystyle V_{PENIKO}={\frac {4a^{3}(3T_{TRI}+1)}{T_{TRI}(T_{TRI}+1){\sqrt {2-T_{TRI}}}}}={\frac {2b^{3}(T_{TRI}+1)(3T_{TRI}+1)}{2(-T_{TRI}^{2}+2T_{TRI}+1){\sqrt {2-T_{TRI}}}}}}
Hierbei ist a die längere Seite und b die kürzere Seite.
3D-Ansicht eines abgeschrägten Hexaeders (Animation )
Weblinks
Einzelnachweise
↑ Obwohl viele der Aussagen weiter unten auch gelten, wenn die Indizes (Subskripte) um einen festen Betrag verschoben werden, hat sich diese Festlegung eingebürgert. Sie hat auch den Vorteil, dass die Ergänzung auf negative Indizes sich symmetrisch zur 0 verhält.
↑ Hendrik Lenstra : Profinite Fibonacci numbers .
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {T_{n+1}}{T_{n}}}=T_{TRI}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\frac {1}{3}}\approx 1,8392867552}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/4630a61598091bc803cf902ac56b56ed443cd150)
![{\displaystyle y_{REELL}=1/T_{TRI}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {33}}+17}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {33}}-17}}-{\frac {1}{3}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/deab9258c5048fb3244df198db34c1704c7585d8)
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{T_{TRI}}}=T_{TRI}(T_{TRI}-1)/{\sqrt[{3}]{2}}={\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{2}}}}(2+{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {33}}+17}}-{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {33}}-17}})}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/29a4c7a83d738e029f95768a7eb3dc314c19c0e0)
![{\displaystyle T_{TRI}={\frac {1}{2}}\left({\frac {2}{3}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {33}}+17}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {33}}-17}}\right)^{3}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ddf5a13264da31fddc4372f25f8797b494bfaa)
![{\displaystyle x=\lambda ^{*}(11)={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}({\sqrt {11}}+3)({\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {11}}-1)^{4}=}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/c349a6e6ec12907841bad881436659b5c01dd6c4)
![{\displaystyle ={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}({\sqrt {11}}+3)[(3T_{TRI}^{2}-4T_{TRI}+2)/{\sqrt {11}}-1]^{4}=\sin[\arcsin[(-T_{TRI}^{2}+2T_{TRI}+1)^{12}/512]/2]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/9182ee9d01ca3d62b31a8c3d30dbefe58e948705)
![{\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}=\lambda ^{*}(1/11)={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}({\sqrt {11}}-3)({\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {11}}+1)^{4}=}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/74100a483a594a663814348301aecd1bb670d2f3)
![{\displaystyle ={\frac {1}{8{\sqrt {2}}}}({\sqrt {11}}-3)[(3T_{TRI}^{2}-4T_{TRI}+2)/{\sqrt {11}}+1]^{4}=\cos[\arcsin[(-T_{TRI}^{2}+2T_{TRI}+1)^{12}/512]/2]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/298392b325f3eb93aa695961abfa463250fe0d59)
