Der lemniskatische Arkussinus oder Arcussinus lemniscatus (kurz arcsl ) ist eine spezielle mathematische Funktion , welche die Umkehrfunktion des von dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß eingeführten Sinus lemniscatus ist. Der lemniskatische Arkussinus entspricht derjenigen Funktion für die Lemniskate , die der Arkussinus für den Kreis ist. In der Lemniskate von Bernoulli ordnet der lemniskatische Arkussinus die Länge der vom Ursprung ausgehenden Sehne das zugehörige ebenso vom Ursprung ausgehende Bogenmaß der Lemniskatenkurve zu. Der Arcussinus lemniscatus ist ein unvollständiges Elliptisches Integral erster Art mit dem elliptischen Modul k = 1/sqrt(2).
Die Länge s des Lemniskatenbogens vom Ursprung korreliert mit dem Abstand r des Kurvenpunktes zum Ursprung. Jeder Quadrant enthält einen Viertelbogen (der Länge
ϖ
2
{\displaystyle {\tfrac {\varpi }{2}}}
Brennpunkte liegen hier bei
(
±
1
2
|
0
)
{\displaystyle (\pm {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\,|\,0)}
In der oben abgebildeten Lemniskate gilt folgende Formel:
arcsl
(
r
)
=
s
(
r
)
=
∫
0
r
1
1
−
ρ
4
d
ρ
{\displaystyle \operatorname {arcsl} (r)=s(r)=\int _{0}^{r}{\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{4}}}}d\rho }
Das doppelte des Integrals von 0 bis 1 und liefert die Lemniskatische Konstante :
2
arcsl
(
1
)
=
2
∫
0
1
1
1
−
ρ
4
d
ρ
=
ϖ
{\displaystyle 2\operatorname {arcsl} (1)=2\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{4}}}}d\rho =\varpi }
Beweis
Es gilt folgende Parametrisierung für die oben abgebildete Lemniskate:
x
(
t
)
=
sin
(
t
)
cos
(
t
)
2
+
1
{\displaystyle x(t)={\frac {\sin(t)}{\cos(t)^{2}+1}}}
y
(
t
)
=
sin
(
t
)
cos
(
t
)
cos
(
t
)
2
+
1
{\displaystyle y(t)={\frac {\sin(t)\cos(t)}{\cos(t)^{2}+1}}}
Daraus folgt für r:
r
(
t
)
=
x
(
t
)
2
+
y
(
t
)
2
=
sin
(
t
)
cos
(
t
)
2
+
1
{\displaystyle r(t)={\sqrt {x(t)^{2}+y(t)^{2}}}={\frac {\sin(t)}{\sqrt {\cos(t)^{2}+1}}}}
In Abhängigkeit von r ergeben sich folgende Formeln:
x
(
r
)
=
r
1
+
r
2
/
2
{\displaystyle x(r)=r{\sqrt {1+r^{2}}}/{\sqrt {2}}}
y
(
r
)
=
r
1
−
r
2
/
2
{\displaystyle y(r)=r{\sqrt {1-r^{2}}}/{\sqrt {2}}}
Für die Berechnung der vom Ursprung ausgehenden Kurvenlänge s wird der Pythagoras der ersten Ableitungen von x und y gebildet und dieser integriert:
s
(
r
)
=
∫
0
r
[
d
d
r
x
(
r
)
(
r
=
ρ
)
]
2
+
[
d
d
r
y
(
r
)
(
r
=
ρ
)
]
2
d
ρ
=
{\displaystyle s(r)=\int _{0}^{r}{\sqrt {\left[{\frac {d}{dr}}x(r)(r=\rho )\right]^{2}+\left[{\frac {d}{dr}}y(r)(r=\rho )\right]^{2}}}d\rho =}
=
∫
0
r
[
d
d
ρ
ρ
1
+
ρ
2
/
2
]
2
+
[
d
d
ρ
ρ
1
−
ρ
2
/
2
]
2
d
ρ
=
{\displaystyle =\int _{0}^{r}{\sqrt {\left[{\frac {d}{d\rho }}\rho {\sqrt {1+\rho ^{2}}}/{\sqrt {2}}\right]^{2}+\left[{\frac {d}{d\rho }}\rho {\sqrt {1-\rho ^{2}}}/{\sqrt {2}}\right]^{2}}}d\rho =}
=
∫
0
r
(
1
+
2
ρ
2
)
2
2
(
1
+
ρ
2
)
+
(
1
−
2
ρ
2
)
2
2
(
1
−
ρ
2
)
d
ρ
=
∫
0
r
1
1
−
ρ
4
d
ρ
{\displaystyle =\int _{0}^{r}{\sqrt {{\frac {(1+2\rho ^{2})^{2}}{2(1+\rho ^{2})}}+{\frac {(1-2\rho ^{2})^{2}}{2(1-\rho ^{2})}}}}d\rho =\int _{0}^{r}{\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{4}}}}d\rho }
Reihenentwicklung
Die Taylorreihe des lemniskatischen Arkussinus mit dem Entwicklungspunkt erhält man durch Entwickeln der Ableitung in eine binomische Reihe und anschließende Integration:
arcsl
(
x
)
=
∫
0
x
1
1
−
y
4
d
y
=
∫
0
x
∑
k
=
0
∞
(
2
k
k
)
y
4
k
4
k
d
y
=
∑
k
=
0
∞
∫
0
x
(
2
k
k
)
y
4
k
4
k
d
y
=
∑
k
=
0
∞
(
2
k
k
)
x
4
k
+
1
4
k
(
4
k
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {arcsl} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-y^{4}}}}dy=\int _{0}^{x}\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}{\frac {y^{4k}}{4^{k}}}dy=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{x}{\binom {2k}{k}}{\frac {y^{4k}}{4^{k}}}dy=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}{\frac {x^{4k+1}}{4^{k}(4k+1)}}}
Daraus folgt:
ϖ
=
2
∑
k
=
0
∞
(
2
k
k
)
1
4
k
(
4
k
+
1
)
{\displaystyle \varpi =2\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}{\frac {1}{4^{k}(4k+1)}}}
Diese Reihe konvergiert genau dann, wenn
|
x
|
≤
1
{\displaystyle |x|\leq 1}
Mit folgender Gleichung können noch schärfere Näherungen erzielt werden:
sl
[
arcsl
(
x
)
/
2
]
=
1
+
x
−
1
−
x
2
1
+
x
2
+
2
=
sin
[
arcsin
(
x
)
/
2
]
sech
[
arsinh
(
x
)
/
2
]
{\displaystyle \operatorname {sl} [\operatorname {arcsl} (x)/2]={\frac {{\sqrt {1+x}}-{\sqrt {1-x}}}{\sqrt {2{\sqrt {1+x^{2}}}+2}}}=\sin[\arcsin(x)/2]\operatorname {sech} [\operatorname {arsinh} (x)/2]}
Dabei ist sl der lemniskatische Sinus.
Weitere Darstellungen
Der Arcussinus lemniscatus hat als elliptisches Integral erster Art ebenso folgende Darstellungen:
arcsl
(
x
)
=
1
2
F
[
arcsin
(
2
x
x
2
+
1
)
;
1
2
]
{\displaystyle \operatorname {arcsl} (x)={\frac {1}{\sqrt {2}}}F\left[\arcsin \left({\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]}
arcsl
(
x
)
=
ϖ
2
−
1
2
F
[
arccos
(
x
)
;
1
2
]
{\displaystyle \operatorname {arcsl} (x)={\frac {\varpi }{2}}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}F\left[\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]}
arcsl
(
x
)
=
(
2
2
−
2
)
F
[
arcsin
[
(
2
+
1
)
x
x
2
+
1
+
1
]
;
(
2
−
1
)
2
]
{\displaystyle \operatorname {arcsl} (x)=(2{\sqrt {2}}-2)F\left[\arcsin \left[{\frac {({\sqrt {2}}+1)x}{{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}\right];({\sqrt {2}}-1)^{2}\right]}
Additionstheorem
Das Additionstheorem sieht so aus:
sl
[
arcsl
(
x
)
+
arcsl
(
y
)
]
=
x
1
−
y
4
+
y
1
−
x
4
1
+
x
2
y
2
{\displaystyle \operatorname {sl} [\operatorname {arcsl} (x)+\operatorname {arcsl} (y)]={\frac {x{\sqrt {1-y^{4}}}+y{\sqrt {1-x^{4}}}}{1+x^{2}y^{2}}}}
Denn es gilt folgender Zusammenhang:
(
d
d
x
x
1
−
y
4
+
y
1
−
x
4
1
+
x
2
y
2
)
[
1
−
(
x
1
−
y
4
+
y
1
−
x
4
1
+
x
2
y
2
)
4
]
−
1
/
2
=
1
1
−
x
4
{\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}{\frac {x{\sqrt {1-y^{4}}}+y{\sqrt {1-x^{4}}}}{1+x^{2}y^{2}}}\right)\left[1-\left({\frac {x{\sqrt {1-y^{4}}}+y{\sqrt {1-x^{4}}}}{1+x^{2}y^{2}}}\right)^{4}\right]^{-1/2}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}}
Werte und Ableitungen
Werte des lemniskatischen Arkussinus:
arcsl
(
1
)
=
ϖ
/
2
{\displaystyle \operatorname {arcsl} (1)=\varpi /2}
arcsl
(
2
−
1
)
=
ϖ
/
4
{\displaystyle \operatorname {arcsl} ({\sqrt {{\sqrt {2}}-1}})=\varpi /4}
arcsl
[
(
3
+
1
−
12
4
)
/
2
]
=
ϖ
/
6
{\displaystyle \operatorname {arcsl} [({\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}})/2]=\varpi /6}
arcsl
(
2
3
−
3
4
)
=
ϖ
/
3
{\displaystyle \operatorname {arcsl} ({\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}})=\varpi /3}
Ableitungen des lemniskatischen Arkussinus:
d
d
x
arcsl
(
x
)
=
1
1
−
x
4
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsl} (x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}}
d
d
x
arcsl
(
x
x
2
+
1
)
=
1
(
x
2
+
1
)
(
2
x
2
+
1
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsl} \left({\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)={\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+1)(2x^{2}+1)}}}}
d
d
x
arcsl
(
2
x
x
4
+
6
x
2
+
1
+
x
2
+
1
)
=
1
x
4
+
6
x
2
+
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsl} \left({\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+6x^{2}+1}}+x^{2}+1}}}\right)={\frac {1}{\sqrt {x^{4}+6x^{2}+1}}}}
d
d
x
2
arcsl
(
x
x
4
+
1
+
1
)
=
1
x
4
+
1
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\sqrt {2}}\operatorname {arcsl} \left({\frac {x}{\sqrt {{\sqrt {x^{4}+1}}+1}}}\right)={\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}}
d
d
x
2
arcsl
(
x
1
+
1
−
x
4
)
=
1
(
1
−
x
4
)
3
4
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\sqrt {2}}\operatorname {arcsl} \left({\frac {x}{\sqrt {1+{\sqrt {1-x^{4}}}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{(1-x^{4})^{3}}}}}
d
d
x
arcsl
(
x
x
4
+
1
4
)
=
1
(
x
4
+
1
)
3
4
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsl} \left({\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{(x^{4}+1)^{3}}}}}
d
d
x
2
arcsl
(
x
1
+
1
−
x
2
)
=
1
(
1
−
x
2
)
3
4
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}2\operatorname {arcsl} \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{(1-x^{2})^{3}}}}}
d
d
x
2
arcsl
(
x
x
2
+
1
+
1
)
=
1
(
x
2
+
1
)
3
4
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}2\operatorname {arcsl} \left({\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{(x^{2}+1)^{3}}}}}
d
d
x
2
2
4
a
2
c
−
a
b
2
4
arcsl
[
2
a
x
+
b
4
a
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
+
4
a
c
−
b
2
]
=
1
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
3
4
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt[{4}]{4a^{2}c-ab^{2}}}}\operatorname {arcsl} \left[{\frac {2ax+b}{{\sqrt {4a(ax^{2}+bx+c)}}+{\sqrt {4ac-b^{2}}}}}\right]={\frac {1}{\sqrt[{4}]{(ax^{2}+bx+c)^{3}}}}}
Weblinks
![{\displaystyle s(r)=\int _{0}^{r}{\sqrt {\left[{\frac {d}{dr}}x(r)(r=\rho )\right]^{2}+\left[{\frac {d}{dr}}y(r)(r=\rho )\right]^{2}}}d\rho =}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2425124e0fb97f48fb40c9e35e58cb1cad87956)
![{\displaystyle =\int _{0}^{r}{\sqrt {\left[{\frac {d}{d\rho }}\rho {\sqrt {1+\rho ^{2}}}/{\sqrt {2}}\right]^{2}+\left[{\frac {d}{d\rho }}\rho {\sqrt {1-\rho ^{2}}}/{\sqrt {2}}\right]^{2}}}d\rho =}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/77dfa2d1864c4362b35b3cd769d346e647ffdd2f)
![{\displaystyle \operatorname {sl} [\operatorname {arcsl} (x)/2]={\frac {{\sqrt {1+x}}-{\sqrt {1-x}}}{\sqrt {2{\sqrt {1+x^{2}}}+2}}}=\sin[\arcsin(x)/2]\operatorname {sech} [\operatorname {arsinh} (x)/2]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d57e309d195478e52ee4c796559fad515ee858a)
![{\displaystyle \operatorname {arcsl} (x)={\frac {1}{\sqrt {2}}}F\left[\arcsin \left({\frac {{\sqrt {2}}x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd5af1a858299195395e2e7308eada3a8801514a)
![{\displaystyle \operatorname {arcsl} (x)={\frac {\varpi }{2}}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}F\left[\arccos(x);{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf23521e95ad143da051a88c4a612f7980e95c3f)
![{\displaystyle \operatorname {arcsl} (x)=(2{\sqrt {2}}-2)F\left[\arcsin \left[{\frac {({\sqrt {2}}+1)x}{{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}\right];({\sqrt {2}}-1)^{2}\right]}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b6ab9168b56001b8ff77c45377f9abf1acfde53)
![{\displaystyle \operatorname {sl} [\operatorname {arcsl} (x)+\operatorname {arcsl} (y)]={\frac {x{\sqrt {1-y^{4}}}+y{\sqrt {1-x^{4}}}}{1+x^{2}y^{2}}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/76abf576d89977d973ece30772bf0647f8ed205b)
![{\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}{\frac {x{\sqrt {1-y^{4}}}+y{\sqrt {1-x^{4}}}}{1+x^{2}y^{2}}}\right)\left[1-\left({\frac {x{\sqrt {1-y^{4}}}+y{\sqrt {1-x^{4}}}}{1+x^{2}y^{2}}}\right)^{4}\right]^{-1/2}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa0ab51eae267acdb7c20e61d2beea89166df05b)
![{\displaystyle \operatorname {arcsl} [({\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}})/2]=\varpi /6}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/d139ce6a5a74a64db55b52482a6ff6106864c2dc)
![{\displaystyle \operatorname {arcsl} ({\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}-3}})=\varpi /3}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/421084da629c9a1b8c62004c5f0648d32ed59f2d)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\sqrt {2}}\operatorname {arcsl} \left({\frac {x}{\sqrt {1+{\sqrt {1-x^{4}}}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{(1-x^{4})^{3}}}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd3fe0cafaa5a71242a19a5b07d9196c45b028f6)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsl} \left({\frac {x}{\sqrt[{4}]{x^{4}+1}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{(x^{4}+1)^{3}}}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/e532ca7296c92b3efdff654369f25afecf2ca83b)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}2\operatorname {arcsl} \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{(1-x^{2})^{3}}}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/bace243989b7e59cc5ce4f820110dd33b35957f3)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}2\operatorname {arcsl} \left({\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+1}}+1}}\right)={\frac {1}{\sqrt[{4}]{(x^{2}+1)^{3}}}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8f10f7880e7b39ad7414feb1c5351b6ae98ef99)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt[{4}]{4a^{2}c-ab^{2}}}}\operatorname {arcsl} \left[{\frac {2ax+b}{{\sqrt {4a(ax^{2}+bx+c)}}+{\sqrt {4ac-b^{2}}}}}\right]={\frac {1}{\sqrt[{4}]{(ax^{2}+bx+c)^{3}}}}}](/media/api/rest_v1/media/math/render/svg/419d5e0dc99040fe005e42efdd16504e21293622)