Laplace-Gleichung

Die Laplace-Gleichung ist die homogene Variante der Poisson-Gleichung, d.h. die rechte Seite ist Null. Zu Lösen ist also:

$\Delta \varphi =0$

in einem Gebiet $\Omega$ und geeigneten Randbedingungen auf dem Rand $\partial \Omega$.

$\Delta$ ist dabei der Laplace-Operator:

$\Delta =\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}.$

Die Laplace-Gleichung ist also eine partielle Differentialgleichung (PDE) zweiter Ordnung und zwar der Prototyp einer elliptischen PDE.

Eine Funktion $u(x,y)$ heißt harmonisch in einem Gebiet $D$, falls sie zweimal stetig differenzierbar ist und die Laplace-Gleichung auf dem Gebiet erfüllt, also

$\triangle u(x,y)=0,\;(x,y)\epsilon D$

Hierbei ist $\triangle$ der Laplace-Operator. Der Begriff ist von Bedeutung in der Funktionentheorie: Schreibe ich eine holomorphe Funktion f als $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ mit $z=x+iy$, so sind die Funktionen u und v harmonisch.