Mittlerer Binomialkoeffizient

In Mathematik ist der nte mittlere Binomialkoeffizient für eine nichtnegative ganze Zahl n gegeben durch

${2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}$

Der Name "mittlerer Binomialkoeffizient" kommt daher, dass diese Binomialkoeffizienten im pascalschen Dreieck genau in der Zeilenmitte liegen. Die ersten mittleren Binomialkoeffizienten sind (Folge A000984 in OEIS):

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, …

Darstellungen

Es gilt

${2n \choose n}=2^{2n}\cdot {\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)}}.$

Der Bruch ist verwandt mit dem Wallis-Produkt.

Die erzeugende Funktion der mittleren Binomialkoeffizienten lautet

$\sum _{n=0}^{\infty }{2n \choose n}x^{n}=1+2x+6x^{2}+20x^{3}+70x^{4}+252x^{5}+\cdots ={\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}$

Abschätzungen

Mit Hilfe der Stirling-Formel erhält man für $n\geq 1$ die Abschätzung:

${\frac {1}{2}}{\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}<{2n \choose n}<{\sqrt {2}}{\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}$

Also gilt (zur Notation siehe Landau-Symbol):

${2n \choose n}\in \Theta \left({\frac {4^{n}}{\sqrt {n}}}\right)$

Genauer:

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left({2n \choose n}\left({\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}\right)^{-1}\right)=1$

Zahlentheoretische Eigenschaften

Nach dem Satz von Wolstenholme gilt für Primzahlen $p\geq 5$

${2p \choose p}\equiv 2\mod p^{3}$

(für die Symbolik siehe Kongruenz (Zahlentheorie)).

Verwandte Begriffe

Eng mit den mittleren Binomialkoeffizienten verwandt sind die Catalan-Zahlen $C_{n}$. Sie sind gegeben durch

$C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}$

Verallgemeinerung

Im pascalschen Dreieck haben nur die Zeilen mit geradzahligem Index einen eindeutigen mittleren Eintrag, die Zeilen mit ungeradzahligem Index haben dagegen zwei in der Mitte liegende Einträge. Da diese beiden Einträge jedoch stets übereinstimmen, werden sie gelegentlich in die Definition des mittleren Binomialkoeffizienten mit einbezogen, sie lautet dann:

${m \choose {\lfloor {\frac {m}{2}}\rfloor }}$ für $m\in \mathbb {N} _{0}$.

Die erste Definition erhält man, wenn man hier die geraden Zahlen $m$ betrachtet.