Barometrische Höhenformel

Die barometrische Höhenformel beschreibt die Verteilung der (Gas-)Teilchen in der Atmosphäre der Erde unter Berücksichtigung des Luftdruckes.

Isotherme Atmosphäre

Die in einführender Literatur und im Schulunterricht meist zitierte klassische barometrische Höhenformel gilt für den Spezialfall, dass die Temperatur in jeder Höhe gleich (isotherm) ist. In diesem Fall sind Druck und Luftdichte proportional zueinander. Mit zunehmender Höhe h nimmt der Druck p ab. Dabei gilt die hydrostatische Gleichung:

${\frac {\mathrm {d} p}{p}}=-{\frac {\rho g}{p}}\,\mathrm {d} h=-{\frac {mg}{k_{\mathrm {B} }T}}\,\mathrm {d} h=-{\frac {Mg}{RT}}\,\mathrm {d} h\quad {\mbox{mit}}\quad \rho ={pM \over RT}$

Dabei ist p₀ der Druck am Boden, M die molare, m die absolute Teilchenmasse, g die Schwerebeschleunigung, R die universelle Gaskonstante, k_B die Boltzmann-Konstante und T die Temperatur in Kelvin. Dabei ist R einfach das Produkt von Boltzmann-Konstante k_B und Avogadrozahl N_A:

$R=N_{\mathrm {A} }\cdot k_{\mathrm {B} }=8{,}314472\,{\mathrm {J} \over {\mathrm {mol} \,\mathrm {K} }}$

Die Lösung der hydrostatischen Gleichung im isothermen Fall ist eine Exponentialfunktion:

$p=p_{0}e^{-{Mgh \over RT}}$

Die Höhenformel lässt sich auch vereinfacht darstellen:

$p=p_{0}e^{-{\frac {h}{h_{s}}}}\quad {\mbox{mit}}\quad h_{s}={\frac {RT}{Mg}}\ ;$

hs wird dabei auch als Skalenhöhe bezeichnet. Sie beträgt in der Troposphäre etwa 8 km. Analog gilt auch für die Dichte

$\rho =\rho _{0}e^{-{\frac {h}{h_{s}}}}\ .$

Je näher ein Teilchen der ziehenden Kraft (Gravitation) ist, desto mehr Teilchen befinden sich darüber und üben Druck aus. Daher nimmt mit zunehmender Höhe auch die Anzahl der Teilchen ab, da diese bei geringerem Druck durch ihre Eigenbewegung mehr Raum einnehmen:

$n=n_{0}e^{-{Mgh \over RT}}$

Die genaue Herleitung der obigen Formel basiert auf Annahmen von Konstanz der Energie durch die Adiabatische Zustandsänderung (Adiabate) und dem Begriff der Inneren Energie.

Atmosphäre mit linearem Temperaturverlauf

Im Allgemeinen ist die Temperatur nicht konstant, sondern variiert mit der Höhe. Bei einer adiabatischen Atmosphäre ergibt sich eine lineare Temperaturabnahme; tatsächlich ist die Atmosphärentemperatur daneben noch von anderen Prozessen bestimmt, etwa die Absorption von UV-Strahlung in der Ozonschicht. In erster Näherung kann die Temperatur in der Troposphäre aber durch eine lineare Abnahme um 6,5 Kelvin je km beschrieben werden.

Ist α der erwähnte Temperaturgradient, so ergibt sich durch Lösen der hydrostatischen Gleichung anstelle einer Exponentialfunktion ein Potenzgesetz:

$p=p_{0}\left({\frac {T_{0}+\alpha h}{T_{0}}}\right)^{\beta }\quad {\mbox{mit}}\quad \beta =-{\frac {Mg}{R\alpha }}\,,$

wobei T₀ die Temperatur am Boden ist. Die entsprechende Funktion für die Dichte sieht sehr ähnlich aus:

$\rho =\rho _{0}\left({\frac {T_{0}+\alpha h}{T_{0}}}\right)^{\beta -1}\ ;$

der um 1 verminderte Exponent folgt aus der reziproken Temperaturabhängigkeit der Dichte. Für α = -6,5 K/km hat β den Wert 5,26.

Standardatmosphäre 1976

Sind die Temperaturen in verschiedenen Höhen bekannt, so kann auf diese Weise für jede Atmosphärenschicht die Temperatur linear approximieren und erhält so eine verallgemeinerte Höhenformel, wie sie für standardisierte Werte in der Luftfahrt verwendet wird. Dort benötigt man gemittelte Werte für die Atmosphäre, um damit eine Referenz für den Höhenmesser zu erhalten. Heute verwendet man dafür meist die US-Standardatmosphäre 1976, die mit der oben genannten Formel über die Temperatur in bestimmten Höhen und lineare Interpolation in den Zwischenbereichen definiert ist. Die oben verwendete Größe h ist die Höhe im Geopotential, einem gedachten homogenen Schwerepotential mit g(h)=g(0). Die wahre Höhe z erhält man daraus mit dem Erdradius R über die Gleichung

$z(h)={\frac {R\,h}{R-h}}\,,$

wobei R = 6356 km etwas kleiner als der wahre Erdradius gewählt wird, um die infolge der Zentrifugalkraft der rotierenden gegenüber einer ruhenden Erde etwas steilere Abnahme von g(z) zu berücksichtigen.

Standardatmosphäre 1976

Geopotential / m	wahre Höhe / m	Temperatur / °C	Luftdruck / Pa
0	0	15	101.325
11.000	11.019	-56,5	22.632
20.000	20.063	-56,5	5.474,9
32.000	32.162	-44,5	868,02
47.000	47.350	-2,5	110,91
51.000	51.413	-2,5	66,939
71.000	71.802	-58,5	3,9564
84.852	86.000	-86,2	0,3734

Weblinks

Definition der US-Standardatmosphäre 1976