Lie-Algebra

Lie-Algebra

berührt die Spezialgebiete

Mathematik Lineare Algebra Lie-Gruppen Physik Eichtheorie

ist Spezialfall von

Vektorraum

Beispiele sind

R3 mit Kreuzprodukt assoziative Algebra mit Kommutator glatte Vektorfelder auf einer glatten Mannigfaltigkeit spezielle lineare Lie-Algebra|sl(n,R)

Eine Lie-Algebra, benannt nach Sophus Lie, ist eine algebraische Struktur, die hauptsächlich zum Studium geometrischer Objekte wie Lie-Gruppen und differenzierbare Mannigfaltigkeiten eingesetzt wird.

Definition

Eine Lie-Algebra ist ein Vektorraum g über einem Körper F zusammen mit einer Verknüpfung [·, ·] : g × g -> g, welche Lie-Klammer genannt wird, und den folgenden Bedingungen genügt:

• sie ist bilinear, das heißt linear in beiden Argumenten:

[a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z] und [z, a x + b y] = a [z, x] + b [z, y] für alle a, b aus F und alle x, y, z aus g;

• sie genügt der Jacobi-Identität: $[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$ gilt für alle $x,y,z\in g$.
• $[x,x]=0$ für alle x aus g.

Die erste und dritte Eigenschaft implizieren zusammengenommen die Antisymmetrie [x, y] = − [y, x] für alle x, y aus g, außer wenn F die Charakteristik 2 hat. Lie-Klammern sind im allgemeinen nicht assoziativ: [[x, y], z] muss nicht gleich [x, [y, z]] sein.

Beispiele

Aus der Algebra

Die Lie-Algebra sl(2,C)

Der Euklidische Vektorraum R³ bildet eine Lie-Algebra, wenn man die Lie-Klammer als Kreuzprodukt definiert.

Eine assoziative Algebra A mit einer Multiplikation * kann zu einer Lie-Algebra gemacht werden, indem man [x, y] = x * y − y * x definiert. Eine so definierte Lie-Klammer heißt Kommutator von x und y. Umgekehrt kann man zeigen, dass sich jede Lie-Algebra als eingebettet in eine assoziative Algebra mit einem Kommutator auffassen lässt.

Als konkretes Beispiel betrachten wir die Lie-Gruppe SL(n,R) aller n-mal-n Matrizen mit reellen Elementen und Determinante 1. Der Tangentialraum der Einheitsmatrix kann mit dem Raum aller reellen n-mal-n Matrizen mit Spur 0 identifiziert werden, und die Matrizen-Multiplikation der Lie-Gruppe liefert über den Kommutator die Lie-Klammer der Lie-Algebra.

Allgemeine_lineare_Lie-Algebra

Glatte Vektorfelder

Die glatten Vektorfelder auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit bilden eine unendlich-dimensionale Lie-Algebra. Die Vektorfelder operieren als Lie-Ableitung auf dem Ring der glatten Funktionen. Seien X, Y zwei glatte Vektorfelder und f eine glatte Funktion. Wir definieren die Lie-Klammer durch [X, Y] f = (XY − YX) f.

Lie-Algebra einer Lie-Gruppe

Der Vektorraum der linksinvarianten Vektorfelder auf einer Lie-Gruppe ist unter dieser Kommutatoroperation abgeschlossen und bildet eine endlich-dimensionale Lie-Algebra. Alternativ kann man sich den Vektorraum F, der der Lie-Algebra zugrunde liegt, als Tangentialraum am Einselement der zugehörigen Lie-Gruppe vorstellen. Die Multiplikation ist die Ableitung des Kommutators am Einselement, (a,b) |-> aba⁻¹b⁻¹.

Glatte Funktionen mit der Poissonklammer

Die glatten Funktionen auf einer Symplektischen Mannigfaltigkeit, bilden mit der Poissonklammer eine Lie-Algebra. Vergleiche Poisson-Mannigfaltigkeit.

Homomorphismem

Ein Homomorphismus φ : g -> h zwischen Lie-Algebren g und h über dem gleichen Körper F ist eine lineare Abbildung, die die Struktur der Lie-Klammer-Verknüpfung erhält: [φ(x), φ(y)] = φ([x, y]) für alle x und y aus g. Lie-Algebren bilden mit ihren Homomorphismen eine Kategorie.

Unteralgebra

Eine Unteralgebra einer Lie-Algebra g ist ein Untervektorraum h von g, der abgeschlossen bezüglich der Lie-Klammer ist, [x, y] ∈ h für alle x, y ∈ h. Eine Unteralgebra ist selbst eine Lie-Algebra.

Ideal

Ein Ideal einer Lie-Algebra g ist ein Untervektorraum h von g, so dass [a, y] ∈ h für alle a ∈ g und y ∈ h. Alle Ideale sind Unteralgebren.

Wenn h ein Ideal von g ist, dann wird der Quotientenraum g/h durch die Definition [x + h, y + h] = [x, y] für alle x, y ∈ g zu einer Lie-Algebra.

Die Ideale sind die Kerne der Homomorphismen, und der Fundamentalsatz über Homomorphismen ist anwendbar.

Satz von Ado

Der Satz von Ado besagt, dass jede endlichdimensionale komplexe Lie-Algebra Unteralgebra der GL(C,n) ist. Das heißt man kann jede endlichdimensionale komplexe Lie-Algebra als eine Lie-Algebra von Matrizen darstellen.

Typen von Lie-Algebren

Abelsche Lie-Algebra

Eine Lie-Algebra ist abelsch, wenn die Lie-Klammer identisch Null ist.

Jeder Vektorraum bildet eine abelsche, eher uninteressante, Lie-Algebra, wenn man jede Lie-Klammer als Null definiert.

Nilpotente Lie-Algebra

Sei g eine Lie-Algebra. Wir definieren die absteigende Zentralreihe durch:

$g^{0}=g\;\;\;g^{1}=[g^{0},g^{0}]g^{2}=[g^{1},g^{1}]\;\;\;g^{3}=[g^{2},g^{2}]\;\;\;{\text{ und so weiter}}$

Eine Lie-ALgebra heißt nilpotent, wenn ihre absteigende Zentralreihe stationär wird. Das bedeutet, es gibt ein $n\in {\mathbb {N} }$ so dass $g^{j}=g^{n}$ für alle $j>n$ ist.

Satz von Engels

Nach dem Satz von Engels ist eine Lie-Algebra genau dann nilpotent, wenn für jedes u aus g die Abbildung

ad(u): g -> g: ad(u)(v) = [u,v]

nilpotent ist.

Auflösbare Lie-Algebra

Eine Lie-Algebra g heißt, auflösbar, wenn die Folge

g > [g, g] > [[g, g], [g,g]] > [[[g, g], [g,g]],[[g, g], [g,g]]] > ...

Null wird. Eine maximale auflösbare Unteralgebra heißt Borel-Unteralgebra.

Satz von Weyl

Nach einem Satz von Weyl ist eine Lie-Algebra über einem Körper der Charakteristik 0 genau dann halb-einfach, wenn jede Darstellung der Algebra vollreduzibel ist.

Einfache Lie-Algebra

Eine Lie-Algebra heißt einfach, wenn sie kein nicht-triviales Ideal hat und nicht abelsch ist.

Bei den Lie-Algebren wird Einfachheit abweichend verwendet. Dies kann zu verwirrungen führen. Wenn man eine Lie-Algebra als algebraische Struktur auffasst, so ist die Forderung, dass sie nicht abelsch sein darf unnatürlich.

Halb-einfache Lie-Algebra

Eine Lie-Algebra g heißt halb-einfach, wenn sie die direkte Summe von einfachen Lie-Algebren ist.

Für eine endlichdimensionale Lie-Algebra g sind die folgenden Aussagen äquivalent:

1. g ist halb-einfach.
2. Das Radikal von g verschwindet.
3. Die Killing-Form :K(u,v) = tr(ad(u)ad(v)) ist nicht-entartet ist (tr bezeichnet die Spur von Matrizen).

Klassifikation

Halbeinfache komplexe Lie-Algebren können anhand ihrer Wurzelsysteme klassifiziert werden; diese Klassifikation wurde 1900 von Elie Cartan abgeschlossen.

Zusammenhang zu Lie-Gruppen

Zum Beispiel haben die Gruppen SO(3) (orthogonale 3×3 Matrizen mit Determinante 1) und SU(2) (unitäre 2×2 Matrizen mit Determinante 1) dieselbe Lie-Algebra, nämlich R³ mit dem Kreuzprodukt und sind deshalb lokal, aber nicht global isomorph (siehe Karten der SO(3)).