Elektrischer Widerstand

In diesem Artikel wird der Widerstand als physikalische Eigenschaft betrachtet. Zum Widerstand als Bezeichnung für ein elektronisches Bauelement, siehe: Widerstand (Bauelement).

Schaltzeichen für elektrischen Widerstand
Schaltzeichen

Der elektrische Widerstand (R) ist ein Begriff aus der Elektrotechnik. Der Widerstand ist als der Quotient aus Spannung (U) und Strom (I) definiert. Ist dieser Quotient unabhängig von der Spannung eine Konstante, so spricht man von einem ohmschen Widerstand (benannt nach Georg Simon Ohm).

Gleichstromwiderstand

Es gilt das Ohmsche Gesetz

R={\frac {U}{I}}\,.

Dieser Widerstand wird auch als Gleichstromwiderstand bezeichnet. Der ohmsche Widerstand eines Materials berechnet sich aus den Abmessungen und einer materialspezifischen Konstante, dem spezifischen Widerstand ρ:

R=\rho \cdot {l \over A}

Datei:Widerstand Formel.PNG

Der spezifische Widerstand ist allerdings von der Temperatur abhängig, hierzu siehe weiter unten.

Wechselstromwiderstand oder Scheinwiderstand

Bei Wechselstrom ist der Widerstand im Allgemeinen frequenzabhängig und wird als Scheinwiderstand bezeichnet. Der Scheinwiderstand setzt sich zusammen aus dem frequenzunabhängigen Wirkwiderstand und dem frequenzabhängigen Blindwiderstand, der durch Kapazitäten bzw. Induktivitäten gebildet wird.

Z=R_{s}={\sqrt {R_{w}^{2}+R_{b}^{2}}}

Blindwiderstand

Induktiver Widerstand und kapazitiver Widerstand

Induktiver Widerstand und kapazitiver Widerstand sind Blindwiderstände. Sie bewirken eine Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom. Entsprechende (ideale) Bauelemente wandeln keine Energie in Wärme um. In der Praxis haben die Bauelemente aber immer einen Ohmschen Anteil.

Der induktive Widerstand einer idealen Spule ist bei Gleichspannung Null und wird mit wachsender Frequenz f bei Wechselspannung größer:

X_{L}=2\cdot \pi \cdot f\cdot L

Der kapazitive Widerstand eines idealen Kondensators ist bei Gleichspannung unendlich und sinkt mit wachsender Frequenz f bei Wechselspannung:

X_{C}={1 \over {2\cdot \pi \cdot f\cdot C}}

Wenn die Maße eines Bauteils in den Bereich der Wellenlänge kommen, besitzt es sowohl einen nicht zu vernachlässigenden induktiven als auch einen kapazitiven Anteil und wird gegebenenfalls zum Schwingkreis, als Beispiel sei hier die Antenne genannt.

Schwingkreis

Die Parallel- beziehungsweise Reihenschaltung von Kapazität und Induktivität bezeichnet man als Schwingkreis. Ein Schwingkreis hat einen frequenzabhängigen elektrischen Widerstand. Die Frequenzabhängigkeit des Widerstandes im Schwingkreis, der nur in der Nachbarschaft der Resonanzfrequenz extremal (minimal beziehungsweise maximal) wird. Dieser Effekt wird unter anderem angewendet, um aus einem Gemisch von Signalen unterschiedlicher Frequenz eine bestimmte Frequenz herauszufiltern. Vergleiche: Der Tiefpass läßt nur tiefe Frequenzen passieren und der Hochpass läßt nur hohe Frequenzen passieren.

Beim realen Schwingkreis treten Kondensatorverluste und Spulenverluste durch deren Ohmschen Widerstand auf. Den ohmschen Widerstand des Kondensators kann man aber meist vernachlässigen.

Für den Resonanzwiderstand im Parallelschwingkreis ergibt sich:

Rp={\frac {L}{R_{L}C}}\,.

Dieser wird bei der Resonanzfrequenz erreicht, die folgendermaßen berechnet werden kann:

f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}\,.

Nichtlinearer Widerstand

Bei nicht linearen Strom-Spannungs Kennlinien - wie zum Beispiel bei Dioden - kann für jedes Strom-Spannungspaar ebenfalls ein Quotient gebildet werden. Der Quotient aus Spannungsänderung und Stromänderung (entspricht dem Anstieg der Kennlinie) bei einer bestimmten Spannung wird auch als differentieller Widerstand bezeichnet.

R={\frac {d\,U}{dI}}

Negativer differentieller Widerstand

Der differentielle Widerstand kann in einem Teil der Kennlinie sogar negativ werden, so dass die Spannung bei steigender Stromstärke sinkt bzw. die Stromstärke bei sinkender Spannung steigt. Ein negativer differentieller Widerstand kann zum Entdämpfen von Schwingkreisen verwendet werden. Der negative differentielle Widerstand tritt zum Beispiel bei Avalanchedioden auf.

Temperaturabhängigkeit

**Beispiele für spezifischen Widerstand und Temperaturkoeffizient**
Material	ρ (Ωm)	α (1/K)
Silber	1,6·10^-8	3,8·10^-3
Kupfer	1,7·10^-8	3,9·10^-3
Silizium	640	-7,5·10^-2

Der Widerstandswert wird vom Material, also dem spezifischer Widerstand mit dem Formelzeichen ρ (rho), der Länge l, dem Querschnitt (A) (Querschnittsfläche) und der Temperatur T bestimmt. Die Formel:

R_{20}=\rho \cdot {\frac {l}{A}}

gilt bei 20°C.

Wenn eine Spannung anliegt und somit ein Strom fließt, wird am (Wirk-)Widerstand Arbeit (P=U·I) geleistet, welche sich als Wärme bemerkbar macht. Diese joulesche Wärme hat Einfluss auf den Widerstandswert (R_W).

So steigt beim Kaltleiter der ohmsche Widerstandswert, bei Heißleitern sinkt er.

Auch dieses Verhalten ist materialabhängig und wird mit dem Temperaturkoeffizienten α und Bestimmung des Temperaturunterschieds ( $\Delta T$ ) berechenbar.

R_{W}=R_{20}(1+\alpha \cdot \Delta T)

Reihen- und Parallelschaltung

Reihenschaltung

Werden n Widerstände in Reihe geschaltet, so addieren sich die Widerstände:

{R_{\rm {ges}}=R_{1}+R_{2}+\dots +R_{n}}

Veranschaulichen kann man sich dies an zwei Widerständen, die sich nur in der Länge unterscheiden.

Datei:Widerstand R1 plus R2.PNG

Die Reihenschaltung ergibt einen Widerstandskörper der Länge l₁+l₂. Dann gilt:

R=\rho \cdot {{l_{1}+l_{2}} \over A}=\rho \cdot {l_{1} \over A}+\rho \cdot {l_{2} \over A}=R_{1}+R_{2}

Parallelschaltung

Bei der Parallelschaltung von n Widerständen addieren sich die Leitwerte bzw. die reziproken Widerstände:

{1 \over R_{\rm {ges}}}={1 \over R_{1}}+{1 \over R_{2}}+\dots +{1 \over R_{n}}

Der Leitwert ist der Kehrwert des Widerstandes, seine Einheit ist das Siemens.

Man veranschaulicht sich diesen Zusammenhang an der Parallelschaltung zweier Widerstände, die sich nur in der Querschnittsfläche unterscheiden.

Datei:Widerstand R1 R2 parallel.PNG

Man erhält einen Widerstand vom Gesamtquerschnitt A₁+A₂, also gilt:

R=\rho \cdot {l \over {A_{1}+A_{2}}}

und daher

{1 \over R}={{A_{1}+A_{2}} \over {\rho \cdot l}}={{A_{1}} \over {\rho \cdot l}}+{{A_{2}} \over {\rho \cdot l}}={1 \over R_{1}}+{1 \over R_{2}}

Physikalische Zusammenhänge

Der Widerstand folgt dem Ohmschen Gesetz. Es besteht ein Zusammenhang zwischen Spannung U, Stromstärke I und der Elektrischen Leistung P beziehungsweise der Elektrischen Arbeit W.

U=R\cdot I

P={U\cdot I}={\frac {U^{2}}{R}}=I^{2}\cdot R

W={P\cdot t}={{\frac {U^{2}}{R}}\cdot t}=I^{2}\cdot R\cdot t

Supraleitung

Unterhalb einer spezifische Sprungtemperatur besitzt ein supraleitungsfähiges Material den ohmschen Widerstand von Null Ohm. Deshalb wird ein solches Material als Supraleiter bezeichnet, da der Strom in diesem Material ohne Verluste fließen kann.

Weblinks