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Poincaré-Vermutung

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Die Poincaré-Vermutung wird von vielen für das bedeutendste ungelöste Problem in der Topologie gehalten. Sie ist benannt nach Henri Poincaré und wurde von diesem 1904 formuliert. Im Jahr 2000 zählte das Clay Mathematics Institute die Poincaré-Vermutung unter die sieben bedeutendsten ungelösten mathematischen Probleme und lobte für die Lösung einen Preis von einer Million US-Dollar aus.

Inzwischen ist die Vermutung möglicherweise bewiesen: Grigori Perelman legte 2002 mehrere Arbeiten vor, die von der Fachwelt zwar immer noch auf ihre Richtigkeit überprüft werden, aber allen bisherigen Einschätzung zufolge die Vermutung beweisen.

Die Poincaré-Vermutung lautet:

Jede geschlossene einfach zusammenhängende 3-dimensionale Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre

Darüberhinaus gibt es noch eine Verallgemeinerung der Vermutung, auf n-dimensionale Mannigfaltigkeiten in der folgenden Form:

Jede geschlossene n-Mannigfaltigkeit mit dem Homotopietyp einer n-Sphäre ist zur n-Sphäre homöomorph.

Für den Fall n = 3 stimmt diese verallgemeinerte Vermutung mit der ursprünglichen Poincaré-Vermutung überein.

Vereinfacht kann man die Poincaré-Vermutung so beschreiben:

Die Oberfläche einer Kugel ist 2-dimensional, beschränkt, randlos und jede geschlossene Kurve lässt sich auf einen Punkt zusammenziehen, welcher auch auf der Kugel liegt. Sie ist auch das einzige 2-dimensionale Gebilde mit diesen Eigenschaften. Bei der Poincaré-Vermutung geht es um das 3-dimensionale Analogon: hier geht es um eine 3-dimensionale „Oberfläche“ auf einem 4-dimensionalen Körper.

Erläuterungen

Geschlossene Mannigfaltigkeit
Eine 3-dimensionale Mannigfaltigkeit ist etwas, das in einer Umgebung jedes Punktes auf der Mannigfaltigkeit wie ein 3-dimensionaler euklidischer Raum aussieht.
Geschlossen
Geschlossen bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Mannigfaltigkeit beschränkt ist (also sich nicht ins Unendliche ausdehnt), und dass sie keinen Rand hat. Eine dreidimensionale Kugel ist etwa eine 3-Mannigfaltigkeit, aber sie hat einen Rand (die Oberfläche), daher ist sie nicht geschlossen. Ihre Oberfläche ist dagegen eine geschlossene 2-dimensionale Mannigfaltigkeit. Die Poincaré-Vermutung stellt nur eine Behauptung für geschlossene Mannigfaltigkeiten auf.
Einfach zusammenhängend
Einfach zusammenhängend bedeutet, dass man jede geschlossene Kurve auf einen Punkt zusammenziehen kann. Ein Gummiband auf einer Kugeloberfläche lässt sich immer so auf der Oberfläche verschieben, dass es zu einem Punkt wird. Auf einem Torus (etwa einem Fahrradschlauch) beispielsweise funktioniert das Zusammenziehen nicht immer: Wenn das Gummiband rund um die dünnere Seite des Fahrradschlauches läuft, kann man es nie zu einem Punkt zusammenziehen. (Man müsste den Schlauch zerschneiden, was in der Topologie nicht erlaubt ist.) Daher ist ein Torus nicht einfach zusammenhängend.
3-Sphäre
Allgemein ist eine n-Sphäre (Bezeichnung: ) der Rand einer (n+1)-dimensionalen Kugel. Eine 1-Sphäre ist der Rand eines Kreises. Eine 2-Sphäre ist die Oberfläche einer 3-dimensionalen Kugel. Eine 3-Sphäre ist die Oberfläche einer 4-dimensionalen Kugel. Dieses Objekt kann man sich natürlich nicht mehr einfach vorstellen, weil es eigentlich in einem 4-dimensionalen Raum „lebt“. Mathematisch kann man die 3-Sphäre natürlich mit Formeln beschreiben: Als alle Punkte im 4-dimensionalen Raum, die den Abstand 1 vom Nullpunkt haben:
Eine 2-Sphäre besteht aus zwei (hohlen) Halbkugeln, die an den Rändern zusammengefügt sind. Topologisch sind diese hohlen Halbkugeln eigentlich Kreisflächen (wenn man sie von oben plattdrückt entstehen zwei Scheiben). Damit kann man eine 2-Sphäre erhalten, indem man zwei Kreisflächen an den Rändern zusammenklebt. Genauso kann man ein relativ anschauliches Bild einer 3-Sphäre konstruieren. Man nimmt zwei Kugeln (entspricht den Kreisflächen im 2-Dimensionalen) und "klebt" sie an den entsprechenden Punkten der Oberfläche zusammen. Ein Weg auf der 3-Sphäre beginnt damit in einer der beiden Kugeln. Wenn man zum Rand kommt, dann springt man auf den entsprechenden Punkt der zweiten Kugel und umgekehrt. Auf diese Weise kann man Wege auf der 3-Sphäre im 3-dimensionalen Raum beschreiben. Man sieht auf diese Weise auch, dass es nirgendwo einen Rand gibt. Damit ist die 3-Sphäre geschlossen.

Die Vermutung in höheren Dimensionen

Für n größer als 3 benötigt man den technischen Begriff der Homotopie. Zwei Mannigfaltigkeiten haben den gleichen Homotopietyp, wenn ihre Homotopiegruppen übereinstimmen. Für den Fall n=3 gilt die Aussage, dass eine einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeit den gleichen Homotopietyp wie die 3-Sphäre hat, damit ist die n-dimensionale Formulierung zur normalen Poincaré-Vermutung äquivalent.

Beweise

Für n = 2 ist die Aussage bewiesen, in diesem Fall sind sogar alle (geschlossenen) 2-dimensionalen Mannigfaltigkeiten bekannt und klassifiziert.

Im Fall n > 3 ist die Vermutung ebenso bewiesen. Stephen Smale hat diesen Beweis 1960 präsentiert und erhielt unter anderem dafür die Fields-Medaille.

Der Fall n = 3 hat sich (nicht überraschend) als der schwierigste erwiesen. Viele Mathematiker haben Beweise vorgelegt, die sich dann aber als falsch erwiesen. Selbst Poincaré hatte ursprünglich geglaubt, einen Beweis zu haben, aber bald darauf selbst einen Fehler und ein Gegenbeispiel gefunden. Dennoch haben einige dieser fehlerhaften Beweise das Verständnis der niedrig-dimensionalen Topologie erweitert.

Ende des Jahres 2002 tauchten Meldungen auf, Grigori Perelman vom Steklov-Institut in St. Petersburg habe die Vermutung bewiesen. Er verwendet die von Richard Hamilton entwickelte analytische Methode des Ricci-Flusses, um die allgemeinere Vermutung der Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten zu beweisen, aus der die Poincaré-Vermutung als Spezialfall folgt. Dabei veröffentlichte Perelman seine Arbeiten nicht, wie vom Clay Mathematics Institute gefordert, in einer begutachteten Zeitschrift, sondern im Online-Archiv arXiv und erklärte zugleich, er sei nicht materialistisch. Die sich über mehrere Publikationen erstreckende und insgesamt etwa 70 Seiten umfassende Beweiskette wurde seitdem von Mathematikern weltweit überprüft. In Anerkennung der Richtigkeit seines Beweises hat Grigori Perelman 2006 die Fieldsmedaille erhalten, die er aber, wie angekündigt, nicht angenommen hat.

2006 zeigten Huai-Dong Cao und Xi-Ping Zhu endgültig die Poincaré-Vermutung und deren Geometrisierung, indem sie den Beweis von Perelman auf 300 Seiten genau ausgearbeitet darlegten.

Bedeutung der Vermutung

Falls die Vermutung bewiesen ist, wäre damit ein wichtiger Beitrag zur Klassifizierung aller 3-Mannigfaltigkeiten geliefert. Dies liegt daran, dass Perelman eigentlich die allgemeinere Geometrisierungsvermutung geschlossener 3-Mannigfaltigkeiten beweist, die die Poincaré-Vermutung als einen Spezialfall enthält.

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