Diskussion:Zinseszins

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Zinseszins in anderen Ländern

Die Geschichte des Zinseszins ist recht interessant. Fehlt aber noch einiges über die Geschichte in China, Japan, Rusland, der neuen Welt (Indianer ect).

Wenn sich ein Leser anhand der Geschichte ein Bild darüber machen möchte, welchen Effekt Zinseszins auf Wohlstand und Verteilung ect. hat, ist es gut möglichst viele Beispielen aus vielen verschiedenen Epochen und Ländern der Welt zu haben. Nicht nur den Europäischen Blick auf das Thema.

Vermögenskonzentration

Ich frage mich gerade, ob der neue Abschnitt „Vermögenskonzentration“ für diesen doch recht allgemeinen Artikel relevant ist. Die Überlegungen dort, die wohl aus einer einzigen Arbeit stammen, scheinen mir doch sehr speziell. Meinungen? -- HilberTraum (d, m) 19:58, 25. Apr. 2020 (CEST)

Ich weiß ehrlich gesagt auch nicht, ob der Abschnitt nicht besser in einen eigenen Artikel ausgelagert werden sollte, denn er ist von einer deutlich höheren inhaltlichen Schwierigkeit als der restliche Artikel. Ich denke, dass der Konzentrationseffekt durch den Zinseszins auch deshalb erst vor einigen Jahren (2011) beschrieben und veröffentlicht worden ist. Aber die Idee dahinter ist sehr einfach:

• Hat man ein Kapitalvermögen und konstante jährliche Zinserträge, dann wächst das Vermögen linear.
• Hat man ein Kapitalvermögen sowie Zinsen und Zinseszinsen mit einer konstanten jährlichen Rendite, dann wächst das Vermögen exponentiell.
• Hat man viele unabhängige Kapitalvermögen sowie Zinsen und Zinseszinsen mit zufälligen Schwankungen der jährlichen individuellen Renditen, dann führt das zu einer Konzentration des Vermögens an der Spitze der Population.

Oder einfacher gesagt:

• ein Kapitalvermögen + Zinsen = lineares Vermögenswachstum
• ein Kapitalvermögen + Zinsen + Zinseszinsen = exponentielles Vermögenswachstum
• viele Kapitalvermögen + Zinsen + Zinseszinsen + Zufall = Vermögenskonzentration

Dieser Seiteneffekt der Zinseszinsen sollte hier wenigsten kurz angedeutet werden. Die genaue Beschreibung des Effektes kann sicherlich auch in einen separaten Artikel verlegt werden. Ein passender Titel für einen eigenständigen Artikel wäre meiner Meinung nach "Vermögenskonzentration durch den Zinseszins nach Fargione, Lehman und Polasky" oder einfach "Vermögenskonzentration nach Fargione, Lehman und Polasky". --94.31.101.229 10:06, 17. Sep. 2020 (CEST)

Nur mit einfacher Verzinsung ohne die Zinseszinsen kann es in einem sehr speziellen Fall auch zu einer Vermögenskonzentration kommen. Dieser Fall tritt aber nur dann ein, wenn der Erwartungswert der Raten r_(i, k) exakt 0 ist. Das ist beispielsweise der Fall, wenn die Raten durch einen Münzwurf entstehen und bis auf das Vorzeichen identisch sind. Wenn also für jeden Menschen jedes Jahr eine Münze geworfen wird und sein Vermögen dann entweder um 50 % des Startkapitals vermindert oder vergrößert wird, so sind die Raten r_(i, k) entweder -0.5 oder 0.5, und der Erwartungswert ist exakt Null.

Nur in diesem Fall kommt es auch ohne Zinseszinsen zu einer Vermögenskonzentration an der Spitze der Population. Dieser besondere Fall ist aber von einer ganz anderen Art als die Vermögenskonzentration, die durch den Zinseszins ausgelöst wird. Denn der Vermögensanteil an der Spitze der Population wird nach einigen Jahren über 100 % betragen und immer weiter zunehmen. Dabei ergibt sich die Kurve der Wurzelfunktion, und somit gibt es keine obere Grenze für den Vermögensanteil an der Spitze. Nach einigen Jahren ist der Anteil gleich 1000 % und somit besitzt der wohlhabendste Teil der Bevölkerung 10 mal mehr Geld als die gesamte Bevölkerung.

Dieses ist natürlich nur deshalb möglich, weil es am anderen Ende der Bevölkerung zu einem negativen Vermögen, also zu Schulden kommt. Man kann dieses Verhalten sehr gut studieren, wenn man bei den ersten beiden Simulation [[1] Open with one click!] den Erwartungswert auf 0 und die Streuung auf 0.5 setzt (mu, sigma = 0.0, 0.5) und die Zinseszinsen deaktiviert (Y = 1 + X). Der berechnete Verlauf kann in der zweiten Simulation auch noch geändert werden, das ist aber nicht erforderlich: Dazu müssen P_Top10 und P_Top100 durch P_Top10 = 0.1 + sigma*np.exp(-sts.norm.ppf(1-0.1)**2/2)*np.sqrt(T/np.pi/2)/(mu*T+1) und P_Top100 = 0.01 + sigma*np.exp(-sts.norm.ppf(1-0.01)**2/2)*np.sqrt(T/np.pi/2)/(mu*T+1) ersetzt werden.

So erkennt man dann in der geänderten ersten Simulation das Entstehen der negativen Vermögen am unteren Ende der Population. In der geänderten zweiten Simulation sieht man, dass das Teilvermögen bei den reichsten 10 % der Bevölkerung nach etwa 100 Jahren das Gesamtvermögens übersteigt, weil der Vermögensanteil größer als 100 % wird.

Dieser spezielle Fall der Vermögenskonzentration ohne Zinseszinsen tritt jedoch nur dann auf, wenn der Erwartungswert der Raten r_(i, k) exakt 0 ist. In allen anderen Fällen kommt es ohne den Zinseszins niemals zu einer Vermögenskonzentration.

Für diese mögliche Ergänzung des Abschnitts fehlt es jedoch an zitierfähigen Quellen. Außerdem würde sie den Abschnitt meiner Meinung nach viel zu lang machen. --94.31.101.229 09:55, 28. Sep. 2020 (CEST)

Eine weitere mögliche Ergänzung dieses Abschnitts wäre eine Antwort auf die Frage, wie eigentlich der Konzentrationseffekt entsteht. Die bisher im Abschnitt vorzufindende Antwort ist eher mathematischer als sprachlicher Natur: Der Konzentrationseffekt entsteht durch die Kombination von Zinseszinseffekt und Zufall, und wenn man etwas rechnet, so ergibt sich nach einigen Integralen eine einfache Formel, nämlich $P_{Top~a\%}=\Phi \left(\sigma -h\right)$ bzw. $P_{Top~a\%}(t)=\Phi \left(\sigma {\sqrt {t}}-h\right)$. Ich versuche hier nun eine verständlichere Antwort zu geben, die meiner Meinung nach jedoch wieder den Rahmen sprengen würde und für die es auch keine zitierfähigen Quellen gibt:

Der Konzentrationseffekt entsteht durch zwei Effekte:

1) den Zinseszinseffekt (konkret die Exponentialfunktion) und

2) das unbeschränkte Wachstum der Streuung der Exponenten $x_{i}(t)$.

Zu 1) Durch die Exponentialfunktion wird im Argument des Fehlerintegrals $\Phi$ eine Verschiebung um die Standardabweichung $\sigma$ bewirkt. Ohne diese Verschiebung wäre der Vermögensanteil an der Spitze der Population gleich $\Phi \left(-h\right)=1-\Phi \left(h\right)=1-\Phi \left(\Phi ^{-1}\left(1-{\tfrac {a}{100}}\right)\right)=1-(1-{\tfrac {a}{100}})={\tfrac {a}{100}}$. Weil das Fehlerintegral $\Phi$ streng monoton wachsend ist, führt die Verschiebung um $\sigma >0$ zu einem kleinen Anstieg des Vermögensanteils, denn $\Phi \left(\sigma -h\right)>\Phi \left(-h\right)={\tfrac {a}{100}}$.

Zu 2) Der Summierung des Zufallszahlen $r_{i,k}$ lässt diese Verschiebung mit der Zeit immer größer werden und über alle Schranken wachsen, so dass sich insgesamt eine unbegrenzte Vermögenskonzentration ergibt. Denn durch die Summierung der $t$ Zufallszahlen $r_{i,1}+r_{i,2}+\dots +r_{i,t}$ wächst die Standardabweichung der Verteilung Exponenten $x_{i}(t)$ streng monoton an: die Varianz ist $\sigma ^{2}t$, also ist die Standardabweichung $\sigma {\sqrt {t}}$. Dabei wächst die Wurzelfunktion über alle Schranken an. Beide Effekte zusammen erklären den unbeschränkten Konzentrationsprozess:

1. Zinseszins + 1 * Zufall: $P_{Top~a\%}=\Phi \left(-h\right)={\tfrac {a}{100}}\Rightarrow P_{Top~a\%}=\Phi \left(\sigma -h\right)>{\tfrac {a}{100}}$
2. Wiederhole t * Zufall: $\sigma \Rightarrow \sigma {\sqrt {t}}$
3. Zinseszins + t * Zufall: $P_{Top~a\%}(t)=\Phi \left(\sigma {\sqrt {t}}-h\right)$

Da die Wurzelfunktion über alle Schranken wächst, folgt nun die unbegrenzte Vermögenskonzentration. --94.31.101.229 10:42, 5. Okt. 2020 (CEST)

Ich versuche, die Rechnung etwas anders darzustellen. Ich halte die bisherige Darstellung für gut, aber vielleicht geht es noch etwas verständlicher.

Bisherige Darstellung:

Der Vermögensanteil der reichsten $a$ Prozent der Population berechnet sich deshalb durch den Quotienten zweier Integrale wie folgt:

$P_{Top~a\%}={\frac {\int _{\mu +h\sigma }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}e^{x}\mathrm {d} x}{\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}e^{x}\mathrm {d} x}}=1-{\frac {\int _{-\infty }^{\mu +h\sigma }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(x-\mu \right)^{2}+x}\mathrm {d} x}{\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(x-\mu \right)^{2}+x}\mathrm {d} x}}\quad {\text{mit}}\quad h=\Phi ^{-1}\left(1-{\frac {a}{100}}\right)$

Ganz allgemein lässt sich die Verteilungsfunktion jeder beliebigen Normalverteilung mithilfe einer geeigneten Substitution durch das Fehlerintegral darstellen, und es ist stets

$\int _{-\infty }^{\xi }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(x-\mu \right)^{2}}\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\frac {\xi -\mu }{\sigma }}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}z^{2}}\mathrm {d} z=\Phi \left({\frac {\xi -\mu }{\sigma }}\right)$.

Wegen

$-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(x-\mu \right)^{2}+x=-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(x^{2}-2\mu x+\mu ^{2}-2\sigma ^{2}x\right)=-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(x-(\mu +\sigma ^{2})\right)^{2}+\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}$

ist

$\int _{-\infty }^{\xi }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(x-\mu \right)^{2}+x}\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{\xi }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(x-(\mu +\sigma ^{2})\right)^{2}}e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}\mathrm {d} x=\Phi \left({\frac {\xi -\mu }{\sigma }}-\sigma \right)e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}$.

Somit gilt

$P_{Top~a\%}=1-{\frac {\Phi \left({\frac {\mu +h\sigma -\mu }{\sigma }}-\sigma \right)e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}}{e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}}}=1-\Phi \left(h-\sigma \right)=\Phi \left(\sigma -h\right)$.

Alternative Darstellung:

Der Vermögensanteil der reichsten $a$ Prozent der Population berechnet sich deshalb durch den Quotienten zweier Integrale wie folgt:

$P_{Top~a\%}={\frac {\int _{\mu +h\sigma }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}e^{x}\mathrm {d} x}{\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}e^{x}\mathrm {d} x}}=1-{\frac {\int _{-\infty }^{\mu +h\sigma }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}+x}\mathrm {d} x}{\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}+x}\mathrm {d} x}}\quad {\text{mit}}\quad h=\Phi ^{-1}\left(1-{\frac {a}{100}}\right)$

Wegen

$-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}+x=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x^{2}-2\mu x+\mu ^{2}-2\sigma ^{2}x}{\sigma ^{2}}}\right)=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}-\sigma \right)^{2}+\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}$

ist

$\int _{-\infty }^{\xi }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}+x}\mathrm {d} x=\left(\int _{-\infty }^{\xi }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}-\sigma \right)^{2}}\mathrm {d} x\right)e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}$.

Mit einer Substitution erhält man

$\int _{-\infty }^{\xi }{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}+x}\mathrm {d} x=\left(\int _{-\infty }^{{\frac {\xi -\mu }{\sigma }}-\sigma }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}z^{2}}\mathrm {d} z\right)e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}=\Phi \left({\frac {\xi -\mu }{\sigma }}-\sigma \right)e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}$,

und somit gilt

$P_{Top~a\%}=1-{\frac {\Phi \left({\frac {\mu +h\sigma -\mu }{\sigma }}-\sigma \right)e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}}{e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}}}=1-\Phi \left(h-\sigma \right)=\Phi \left(\sigma -h\right)$.

--94.31.101.229 19:14, 8. Okt. 2020 (CEST)