Dodekaeder

Der (auch: das) Dodekaeder (auch: Pentagondodekaeder) ist ein Polyeder, der aus 12 gleich großen gleichseitigen, gleichwinkligen Fünfecken besteht. Der Dodekaeder hat 20 Ecken, an denen jeweils drei Fünfecke zusammenstoßen, und 30 gleich lange Kanten. Er ist einer der fünf Platonischen Körper.

Maße

Wenn man die Kantenlänge des Dodekaeder mit a bezeichnet, findet man folgende Beziehungen:

• Volumen: $V={\frac {1}{4}}\cdot \left(15+7{\sqrt {5}}\right)\cdot a^{3}\approx 7.66311896\cdot a^{3}$

• Oberfläche: $A_{O}=3a^{2}\cdot {\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}\approx 20.6457288\cdot a^{2}$

• Umkreisradius: $r_{u}={\frac {\sqrt {6}}{4}}{\sqrt {3+{\sqrt {5}}}}\cdot a\approx 1.401258538\cdot a$

• Inkreisradius: $r_{i}={\frac {a}{4}}{\sqrt {\frac {50+22{\sqrt {5}}}{5}}}\approx 1.113516364\cdot a$

Herleitungen : http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/dodeka.html

Symmetrie

Wenn man die 12 Ecken eines Dodekaeders in geeigneter Weise durch Sechsecke ersetzt, erhält man einen fußballförmigen Körper aus 20 Sechsecken und 12 Fünfecken. Die Fünfecke können auch vollständig überlagert werden wobei man einen aus 20 Dreiecken bestehenden Ikosaeder erhält . Die Geodätische Kuppel ist ein Form die auf den selben Fünfecken beruht, diese aber weiter in Dreiecke unterteilt.

Dodekaeder, Fußball und Ikosaeder besitzen somit dieselbe hohe Symmetrie, die in der Punktgruppe des Ikosaeders, der Ikosaedergruppe, zum Ausdruck kommt.