Legendre-Polynom

Die Legendre-Polynome sind die partikulären Lösungen der Legendre'schen Differentialgleichung. Sie sind spezielle reelle oder komplexe Polynome, die ein orthogonales Funktionensystem bilden. Benannt sind sie nach dem Mathematiker Adrien-Marie Legendre. Eine wichtige Rolle spielen die Legendre-Polynome in der theoretischen Physik, insbesondere in der Elektrodynamik und in der Quantenmechanik.

Herkunft

Die Legendre'schen Differentialgleichung

(1-x^{2})\,f''-2x\,f'+n(n+1)\,f=0,\quad n\in \mathbb {N} _{0}

hat die allgemeine Lösung

f(x)=A\,P_{n}(x)+B\,Q_{n}(x)

,

wobei $P_{n}(x)$ und $Q_{n}(x)$ Polynome $n$ -ten Grades sind. Man bezeichnet $P_{n}(x)$ als $n$ -tes Legendre-Polynom 1. Art und $Q_{n}(x)$ als $n$ -tes Legendre-Polynom 2. Art.

Legendre-Polynome 1. Art

Darstellungen

Das $n$ -te Legendre-Polynom hat den Grad $n$ und ist aus ${\mathbb {Q} }[x]$ , d.h. es hat rationale Koeffizienten.

Rodiguez-Formel

P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}\,n!}}\cdot {\mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right]

Alternative Darstellung

P_{n}(x)={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}\left[x^{n}-{\frac {n(n-1)}{2\cdot (2n-1)}}x^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4\cdot (2n-1)(2n-3)}}x^{n-4}\mp \ldots \right]

Integraldarstellung

Für $x\in \mathbb {C} \setminus \{+1;-1\}$ gilt:

P_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\left[x+{\sqrt {x^{2}-1}}\cos \varphi \right]^{n}\,\mathrm {d} \varphi

Eigenschaften

Rekursionsformeln

Für die Legendre-Polynome gelten folgende Rekursionsformeln:

(n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)\,\,\,\,\,\quad \quad (n=1,2,\ldots )

(x^{2}-1){\mathrm {d}  \over \mathrm {d} x}P_{n}(x)=nxP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)

Orthogonalität

Für die Legendre-Polynome gilt die Orthogonalitätsrelation

\int _{-1}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,\mathrm {d} x\,=\,{\frac {2}{2n+1}}\delta _{nm}

,

wobei $\delta _{nm}$ das Kronecker-Delta bezeichnet. Aufgefasst als Funktionen $P_{n}:[-1,1]\to \mathbb {R}$ sind sie also bezüglich des Skalarprodukts $\langle f,g\rangle :=\int _{-1}^{1}f(x)g(x)\,\mathrm {d} x$ orthogonal.