Ersatzschaltungen des Bipolartransistors

Um einen Bipolartransistor berechnen zu können, benötigt man ein vereinfachtes, abstraktes, Modell. Hierbei werden verschiedene Stufen der Abstraktion verwendet. Hierbei werden meist einfache Modelle zur Dimensionierung und komplexere Modelle zur Schaltungssimulation verwendet.

Weiters unterscheidet man zwischen Modellen für den statischen und den dynamischen Betrieb. Erstere dienen zur gleichstrommäßigen Dimensionierung, und damit vor allem zur Berechnung der korrekten Arbeitspunkteinstellung, sowie für niederfrequente Logikschaltungen (z. B. TTL). Modelle für den dynamischen Betrieb dienen der wechselstrommäßigen Dimensionierung und damit zur Berechnung von Schaltungen für die Signalübertragung und Signalverarbeitung.

Formelzeichen

Im Folgenden werden die hier verwendeten Formelzeichen aufgelistet. Für weitere Formelzeichen siehe auch die mathematische Beschreibung.

Zeichen	Beschreibung
$I_{B,N}$	Idealer Basisstrom der Emitter-Diode
$I_{B,I}$	Idealer Basisstrom der Kollektor-Diode
$I_{B,E}$	Basis-Leckstrom der Emitter-Diode
$I_{B,C}$	Basis-Leckstrom der Kollektor-Diode
$I_{T}$	Kollektor-Emitter Transportstrom
$I_{D,S}$	Strom der Substrat-Diode

$R_{B}$	Basiswiderstand
$R_{C}$	Kollektorbahnwiderstand
$R_{E}$	Emitterwiderstand

$C_{S,E}$	Sperrschichtkapazität der Emitter-Diode
$C_{S,Ci}$	Interne Sperrschichtkapazität der Kollektor-Diode
$C_{S,Ce}$	Externe Sperrschichtkapazität der Kollektor-Diode
$C_{S,S}$	Sperrschichtkapazität der Substrat-Diode
$C_{D,N}$	Diffusionskapazität der Emitter-Diode
$C_{D,I}$	Diffusionskapazität der Kollektor-Diode

Statisches Verhalten

Zeichen	Beschreibung
$I_{S}$	Sättigungssperrstrom
$I_{S,S}$	Sättigungssperrstrom der Substrat-Diode
$B_{N}$	Ideale Stromverstärkung im Normalbetrieb
$B_{N}$	Ideale Stromverstärkung im Inversbetrieb

$I_{S,E}$	Leck-Sättigungssperrstrom der Emitter-Diode
$I_{S,C}$	Leck-Sättigungssperrstrom der Kollektor-Diode
$n_{E}$	Emissionskoeffizient der Emitter-Diode
$n_{C}$	Emissionskoeffizient der Kollektor-Diode

$I_{K,N}$	Kniestrom zur starken Injektion im Normalbetrieb
$I_{K,I}$	Kniestrom zur starken Injektion im Inversbetrieb

$U_{A,N}$	Early-Spannung im Normalbetrieb
$U_{A,I}$	Early-Spannung im Inversbetrieb

$R_{Be}$	Externer Bahnwiderstand
$R_{Bi}$	Interner Bahnwiderstand¹⁾
1) wird in PSpice aus der Gleichung $R_{B}=R_{Be}+R_{Bi}$ berechnet.

Dynamisches Verhalten

Zeichen	Beschreibung
$C_{S0,E}$	Null-Kapazität der Emitter-Diode
$C_{S0,C}$	Null-Kapazität der Kollektor-Diode
$C_{S0,S}$	Null-Kapazität der Substrat-Diode
$U_{{\rm {diff}},E}$	Diffusionsspannung der Emitter-Diode
$U_{{\rm {diff}},C}$	Diffusionsspannung der Kollektor-Diode
$U_{{\rm {diff}},S}$	Diffusionsspannung der Substrat-Diode
$m_{S,E}$	Kapazitätskoeffizient der Emitter-Diode
$m_{S,C}$	Kapazitätskoeffizient der Kollektor-Diode
$m_{S,S}$	Kapazitätskoeffizient der Substrat-Diode

$x_{CSC}$	Aufteilungskoeffizient der Kapazität in der Kollektor-Diode
$f_{S}$	Koeffizient für den Kapazitätsverlauf

$\tau _{0,N}$	Ideale Transitzeit im Normalbetrieb
$\tau _{0,I}$	Ideale Transitzeit im Inversbetrieb
$x_{\tau ,N}$	Transitzeitkoeffizient im Normalbetrieb
$x_{\tau ,I}$	Transitzeitkoeffizient im Inversbetrieb
$U_{\tau ,N}$	Transitzeitspannung im Normalbetrieb
$U_{\tau ,I}$	Transitzeitspannung im Inversbetrieb
$U_{\tau ,N}$	Transitzeitstrom im Normalbetrieb
$U_{\tau ,I}$	Transitzeitstrom im Inversbetrieb

Thermisches Verhalten

Zeichen	Beschreibung
$x_{T,I}$	Temperaturkoeffizient der Sperrströme
$x_{T.B}$	Temperaturkoeffizient der Stromverstärkung

Englische Bezeichnung

Da Datenblätter meist in englisch verfasst sind, muss man auch die verwendeten Formelzeichen übersetzen können. Im Wesentlichen sind dies:

Deutsch		Englisch
Bezeichnung	Zeichen	Bezeichnung	Zeichen
Spannung	U	voltage	V
Normalbetrieb	N	forward region	F
Inversbetrieb	I	inverse region	R
Sperrschicht	S	junction	J

Die anderen Bezeichnungen können beibehalten werden.

Modelle für das statische Verhalten

Ebers-Moll Modell

Das Ebers-Moll Modell ist das einfachste Modell für den Bipolartransistor. Es hat nur drei Parameter und beschreibt damit die wichtigsten Effekte. Das Ebers-Moll Modell wird mit Hilfe eines Dioden-Ersatzschaltbildes dargestellt.

Ein npn-Transistor besteht aus zwei antisereiellen pn-Übergängen (Dioden) mit gemeinsamer p-Zone. Diese Übergänge werden als Emitter-Diode (Basis-Emitter-Diode; BE-Diode) und Kollektor-Diode (Basis-Kollektor-Diode; BC-Diode) bezeichnet. Durch die dünne Basis (p-Zone) im Bipolartransistor fließt der Großteil des Stromes über den Emitter ab. Daher besteht das Ebers-Moll Modell zusätzlich zu den beiden Dioden aus zwei Stromquellen, die den Stromfluss durch die Basis beschreiben. Für den pnp-Transistor werden einfach die Vorzeichen umgedreht.

Zusätzlich wird noch ein Steuerfaktor für den Normalbetrieb $A_{N}\approx 0{,}98\dots 0{,}998$ sowie den Inversbetrieb $A_{I}\approx 0{,}5\dots 0{,}9$ verwendet, um den unsymmetrischen Aufbau in eines praktischen npn-Transistors zu berücksichtigen.

I_{D,N}=I_{S,N}\,\left(e^{{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}-1}\right)

I_{D,I}=I_{S,I}\,\left(e^{{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}-1}\right)

I_{C}=A_{N}\,I_{S,N}\,\left(e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}-1\right)-I_{S,I}\,\left(e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}-1\right)

I_{E}=-I_{S,N}\,\left(e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}-1\right)+A_{I}\,I_{S,I}\,\left(e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}-1\right)

I_{B}=\left(1-A_{N}\right)\,I_{S,N}\,\left(e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}-1\right)+\left(1-A_{I}\right)\,I_{S,I}\,\left(e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}-1\right)

Im Normalbetrieb sperrt die BC-Diode da $U_{BC}<0$ und kann deshalb vernachlässigt werden. Zusätzlich kann die zugehörige Exponentialfunktion durch -1 ersetzt werden, da $U_{BE}\gg U_{T}$ ist. Umgekehrt sperrt im Inversbetrieb die BE-Diode, wodurch man auch in diesem Fall eine Vereinfachung der Geichung auf die selbe Weise erhält.

Reduzierte Ebers-Moll Modelle für den npn-Transistor
Normalbetrieb	Inversbetrieb

$I_{C}=I_{S}\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}$ $I_{E}=-{\frac {1}{A_{N}}}\,I_{S}\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}$ $I_{B}=-{\frac {1-A_{N}}{A_{N}}}\,I_{S}\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}={\frac {1}{B_{N}}}\,I_{S}\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}$ mit $A_{N}=-{\frac {I_{C}}{I_{E}}}\approx 0{,}98\dots 0{,}998$ $B_{N}={\frac {A_{N}}{1-A_{N}}}=-{\frac {I_{C}}{I_{B}}}\approx 50\dots 500$	$I_{C}=I_{S}\,e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}$ $I_{E}=-{\frac {1}{A_{I}}}\,I_{S}\,e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}$ $I_{B}=-{\frac {1-A_{I}}{A_{I}}}\,I_{S}\,e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}={\frac {1}{B_{I}}}\,I_{S}\,e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}$ mit $A_{I}=-{\frac {I_{E}}{I_{C}}}\approx 0{,}5\dots 0{,}9$ $B_{I}={\frac {A_{I}}{1-A_{I}}}=-{\frac {I_{E}}{I_{B}}}\approx 1\dots 10$

Ebers-Moll Modell im Sättigungsbetrieb

Wenn man den Bipolartransistor als Schalter einsetzt, kommt dieser vom Normalbetrieb in den Sättigungsbetrieb. Hierbei ist vor allem die minimal erreichbare Kollektor-Emitter-Spannung $U_{CE,sat}(I_{B},\,I_{C})$ interessant. Aufgelöst für diese Spannung erhält man die Gleichung

U_{CE,sat}(I_{B},\,I_{C})=U_{T}\,\ln {\frac {B_{N}\,\left(1+B_{I}\right)\,\left(B_{I}\,I_{B}+I_{C}\right)}{B_{I}^{2}\,\left(B_{N}\,I_{B}-I_{C}\right)}}

Bei $0<I_{C}<B_{N}\,I_{B}$ gilt $U_{CE,sat}\approx 20\dots 200\,\mathrm {mV}$ . Das Minimum erhält man bei $I_{C}=0$ :

U_{CE,sat}\left(I_{C}=0\right)=U_{T}\,\ln \left(1+{\frac {1}{B_{I}}}\right)=-U_{T}\,\ln A_{I}

Für den Inversbetrieb vertauscht man Emitter und Kollektor. Dadurch erhält man für die Sättigung mit $I_{E}=0$ :

U_{EC,sat}\left(I_{E}=0\right)=U_{T}\,\ln \left(1+{\frac {1}{B_{N}}}\right)=-U_{T}\,\ln A_{N}

Da $A_{I}<A_{N}<1$ gilt $U_{EC,sat}(I_{E}=0)<U_{CE,sat}(I_{C}=0)$ . Dabei gilt üblicherweise $U_{CE,sat}(IC=0)\approx 2\dots 20\,\mathrm {mV}$ und $U_{EC,sat}(I_{E}=0)\approx 0{,}05\dots 0{,}5\,\mathrm {mV}$ .

Transportmodell

Durch die Umformung der beiden Stromquellen des Ebers-Moll Modells in eine einzige gesteuerte Stromquelle erhält man das Transportmodell des Bipolartransistors. Das Transportmodell beschreibt das Gleichstromverhalten. Die Emitter und Kollektor-Diode wird dabei als ideal angenommen und der durch die Basis fließende Strom wird als Transportstrom $I_{T}$ getrennt berechnet. Für das Transportmodell gelten die folgenden Gleichungen:

I_{B,N}={\frac {I_{S}}{B_{N}}}\,\left(e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}-1\right)

I_{B,I}={\frac {I_{S}}{B_{I}}}\,\left(e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}-1\right)

I_{B}=I_{B,N}+I_{B,I}={\frac {I_{S}}{B_{N}}}\,\left(e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}-1\right)+{\frac {I_{S}}{B_{I}}}\,\left(e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}-1\right)

I_{T}=B_{N}\,I_{B,N}-B_{I}\,I_{B,I}=I_{S}\,\left(e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}-e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}\right)

I_{C}=I_{S}\,\left[e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}-\left(1+{\frac {1}{B_{I}}}\right)\,e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}+{\frac {1}{B_{I}}}\right]

I_{E}=I_{S}\,\left[e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}-\left(1+{\frac {1}{B_{I}}}\right)\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}+{\frac {1}{B_{N}}}\right]

Da für den Normalbetrieb die Sperrströme vernachlässigt werden können, erhält man das reduzierte Transportmodell mit:

I_{C}=B_{N}\,I_{B}=I_{S}\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}

I_{B}={\frac {I_{C}}{B_{N}}}={\frac {I_{S}}{B_{N}}}\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}

I_{E}=-\left(I_{C}+I_{B}\right)=-\left(1+B_{N}\right)\,I_{B}

Modellierung weiterer Effekte im Transportmodell

Um das statische Verhalten des Bipolartransistors besser modellieren zu können, muss das Transportmodell entsprechend erweitert werden. Hierbei sind vor allem die folgenden Effekte zu berücksichtigen:

Leckströme
Hochstromeffekt
Early-Effekt

Für das um diese Effekte erweiterte Transportmodell gelten im Allgemeinen die Zusammenänge:

I_{B}=I_{B,N}+I_{B,I}+I_{B,E}+I_{B,C}

I_{C}={\frac {B_{N}}{q_{B}}}\,I_{B,N}-\left({\frac {B_{I}}{q_{B}}}+1\right)\,I_{B,I}-I_{B,C}

I_{E}=-\left({\frac {B_{N}}{q_{B}}}+1\right)\,I_{B},N+{\frac {B_{I}}{q_{B}}}\,I_{B,I}-I_{BE}

was sich aus den im Weiteren erläuterten Formeln ergibt.

Leckströme

Die Leckströme, die durch die Ladungsträgerrekombination in den pn-Übergängen erzeugt wird werden zu den jeweiligen Strömen der Kollektor- und der Emitter-Diode hinzuaddiert. Dies wird erreicht, indem man den Dioden im Transportmodell jeweils eine weitere Diode parallelschaltet. Diese zusätzlichen Dioden werden über die Leck-Sättigungs-Sperrströme $I_{S,E}$ und $I_{S,C}$ , sowie über die Emmissionskoeffizienten $n_{E}\approx 1,5$ und $n_{C}\approx 2$ beschrieben.

I_{B,E}=I_{S,E}\,\left(e^{\frac {U_{BE}}{n_{E}\,U_{T}}}-1\right)

I_{B,E}=I_{S,C}\,\left(e^{\frac {U_{BC}}{n_{C}\,U_{T}}}-1\right)

Hochstrom- und Early-Effekt

Wenn der Strom duch den Transistor sehr stark ist, ist der Transportstrom eines realen Transistors, durch die hohe Ladungsträgerkonzentration in der Basis, kleiner als durch das Grundmodell dargestellt. Dieser Effekt wird auch als Hochstromeffekt bzw. als starke Injektion bezeichnet.

Zusätzlich beeinflussen die Spannungen $U_{BE}$ und $U_{BC}$ die effektive Dicke der Basiszone und wirken sich somit auf den Transportstrom $I_{T}$ aus. Dieser Effekt ist als Early-Effekt bekannt.

Der Hochstrom- und der Early-Effekt wird duch die dimensionsloße Größe $q_{B}$ dargestellt.

I_{T}={\frac {B_{N}\,I_{B,N}-B_{I}\,I_{B,I}}{q_{B}}}={\frac {I_{S}}{q_{B}}}\,\left(e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}-e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}\right)

$q_{B}$ ist hierbei die relative Majoritätsträgerladung und setzt sich aus der Größe des Early-Effekts $q_{\rm {Early}}$ und der Größe des Hochstromeffektes $q_{\rm {Hoch}}$ zusammen:

q_{B}={\frac {q_{\rm {Early}}}{2}}\,\left(1+{\sqrt {1+4\,q_{\rm {Hoch}}}}\right)

q_{\rm {Early}}={\frac {1}{1-{\frac {U_{BE}}{U_{A,I}}}-{\frac {U_{BC}}{U_{A,N}}}}}

q_{\rm {Hoch}}={\frac {I_{S}}{I_{K,N}}}\left(e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}-1\right)+{\frac {I_{S}}{I_{K,I}}}\left(e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}-1\right)

Hierbei sind $U_{A,N}$ und $U_{A,I}$ die Early-Spannungen mit $U_{A}\approx 30\dots 150\,\mathrm {V}$ . $I_{K,N}$ und $I_{K,I}$ sind die Knieströme der starken Injektion. Die Größe der Knieströme ist von der Größe und damit der Bauform des Transistors abhängig und liegen im Milliampere- (Kleinleistungtransitor) bis Amperebereich (Leistungstransistor).

Hochstrom- und Early-Effekt im Normalbetrieb

Bei der Betrachtung des Kollektorstromes kommt die Auswirkung des Faktors $q_{B}$ besonders zur Geltung. Unter Vernachlässigung der Sperrströme erhält man:

I_{C}={\frac {B_{N}\,I_{B,N}}{q_{B}}}={\frac {I_{S}\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}}{q_{B}}}

Bei kleinen bis mittleren Stromgrößen $I_{C}<I_{K,N}$ gilt $q_{\rm {Hoch}}\ll 1$ und somit $q_{B}\approx q_{Early}$ . Zusätzlich gilt

U_{BC}=U_{BE}-U_{CS}\approx -U_{CE}

da $U_{BE}\approx 0{,}6\dots 0{,}8\,\mathrm {V}$ . Somit erhält man eine Näherungsgleichung für den Early-Effekt:

q_{\rm {Early}}\approx {\frac {1}{1+{\frac {U_{CE}}{U_{A,N}}}}}

und durch Einsetzen in $I_{C}$ erhält man:

I_{C}\approx I_{S}\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}\,\left(1+{\frac {U_{CE}}{U_{A,N}}}\right)

Bei großen Strömen $I_{C}\to \infty$ ist $q_{\rm {Hoch}}\gg 1$ und somit $q_{B}\approx q_{\rm {Early}}\,{\sqrt {q_{\rm {Hoch}}}}$ . Durch Einetzen erhält man: