Benutzer:Nabloodel/Isotherme Atmosphäre

Durchschnittlicher Druck und Dichte in Abhängkeit von der Höhe.

Die barometrische Höhenformel beschreibt die vertikale Verteilung der (Gas-)Teilchen in der Atmosphäre der Erde, also die Änderung des Luftdruckes mit der Höhe. Man spricht daher auch von einem vertikalen Druck-Gradienten, der jedoch aufgrund der hohen Dynamik innerhalb der Atmosphäre (Wetter) nur mit Näherungen auf mathematischem Wege beschrieben werden kann.

Ganz grob und vereinfacht kann angenommen werden, dass in der Nähe des Meeresspiegels der Luftdruck um ein hPa pro 8 m abnimmt.

Hydrostatische Grundgleichung

Die Änderung von Druck und Dichte der Atmosphäre mit der Höhe wird durch die hydrostatische Grundgleichung beschrieben. Zur Herleitung betrachte man ein quaderförmiges Volumenelement mit der Grundfläche $A$ und der kleinen Höhe $\mathrm {d} h$, welches Luft der Dichte $\rho$ enthält. Die von oben auf die Grundfläche wirkende Kraft setzt sich zusammen aus der vom Atmosphärendruck $p$ auf die Oberseite ausgeübten Kraft $p\cdot A$ und der Gewichtskraft $\mathrm {d} m\cdot g=\rho \,\mathrm {d} V\cdot g=\rho g\,\mathrm {d} h\cdot A$ der im Volumen $\mathrm {d} V=A\mathrm {d} h$ enthaltenen Luftmasse $\mathrm {d} m$. Von unten wirkt auf die Grundfläche nur die vom Atmosphärendruck ausgeübte Kraft. Der Atmosphärendruck ist in dieser Höhe um den Betrag $\mathrm {d} p$ größer als der auf die Oberseite wirkende Druck, die ausgeübte Kraft ist daher $(p+\mathrm {d} p)\cdot A$.

Im hydrostatischen Gleichgewicht sind alle Luftströmungen zur Ruhe gekommen. Damit das Gleichgewicht erhalten und das betrachtete Volumenelement auch weiterhin in Ruhe bleibt, muß die Summe aller darauf wirkenden Kräfte null sein:

$p\cdot A+\rho g\,\mathrm {d} h\cdot A+(p+\mathrm {d} p)\cdot A=0$

Kürzen und Umstellen liefert

${\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} h}}=-\rho g$.

Nach dem idealen Gasgesetz läßt sich die Dichte $\rho$ ausdrücken als $\rho ={\frac {pM}{RT}}$,

so dass sich schließlich ergibt:

${\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} h}}=-{\frac {pMg}{RT}}$

Dabei ist M die mittlere molare Masse der Atmosphärengase (0,02896 kg mol^-1), g die Schwerebeschleunigung (9,807 m s^-2), R die universelle Gaskonstante (8,314 J kg^-1 mol^-1) und T die absolute Temperatur.

Die hydrostatische Grundgleichung gibt an, um welchen Betrag $\mathrm {d} p$ sich der Atmosphärendruck ändert, wenn sich die Höhe um einen kleinen Betrag $\mathrm {d} h$ ändert. Wie das negative Vorzeichen zeigt, ist $\mathrm {d} p$ negativ, wenn $\mathrm {d} h$ positiv ist; der Druck wird mit zunehmender Höhe also geringer. So nimmt beispielsweise bei mittlerem Luftdruck auf Meereshöhe ($p$=1013 hPa) bei einer Temperatur von 288 K (=15 °C) der Druck auf einem Meter Höhenunterschied um 0,12 hPa beziehungsweise auf 8,3 Metern Höhenunterschied um 1 hPa ab. Der Höhenunterschied, der einem Druckunterschied von 1 hPa entspricht, ist die barometrische Höhenstufe. In größeren Höhen (kleineres $p$) und bei höheren Temperaturen $T$ verändert sich der Luftdruck langsamer, die barometrische Höhenstufe nimmt zu.

Benötigt werden in der Regel explizite Werte für Druck und Dichte auf vorgegebenen Höhen. Daraus lassen sich bei Bedarf auch die Druckunterschiede für größere Höhenunterschiede ablesen. Die gesuchte Lösung der Grundgleichung erhält man durch Trennung der Variablen

${\frac {\mathrm {d} p}{p}}=-{\frac {Mg}{RT}}\,\mathrm {d} h$

und anschließende Integration zwischen den gesuchten Höhen beziehungsweise den zugehörigen Drücken:

$\int _{p(h_{0})}^{p(h_{1})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}=-\int _{h_{0}}^{h_{1}}{\frac {Mg}{RT}}\,\mathrm {d} h$.

Integration der linken Seite ergibt $\ln({\frac {p(h_{1})}{p(h_{0})}})$. Zur Integration der rechten Seite muß die Höhenabhängigkeit von $g$ und $T$ bekannt sein. Die Schwerebeschleunigung $g$ kann für nicht zu große Höhen als konstant angesehen werden. Die Temperatur $T$ variiert in komplizierter und kaum vorhersagbarer Weise mit der Höhe. Es müssen daher vereinfachende Annahmen über den Temperaturverlauf $T(h)$ getroffen werden.

Isotherme Atmosphäre

Die in einführender Literatur und im Schulunterricht meist zitierte klassische barometrische Höhenformel gilt für den Spezialfall, dass die Temperatur $T$ in jeder Höhe gleich, die Atmosphäre also isotherm ist. Die Integration liefert bei konstantem $T$:

	$\int _{p(h_{0})}^{p(h_{1})}{\frac {\mathrm {d} p}{p}}=-{\frac {Mg}{RT}}\,\int _{h_{0}}^{h_{1}}\mathrm {d} h$
$\Leftrightarrow$	$\ln({\frac {p(h_{1})}{p(h_{0})}})=-{\frac {Mg}{RT}}(h_{1}-h_{0})=-{\frac {Mg}{RT}}\Delta h$
$\Leftrightarrow$	${\frac {p(h_{1})}{p(h_{0})}}=e^{-{\frac {Mg}{RT}}\Delta h}$
$\Leftrightarrow$	$p(h_{1})=p(h_{0})e^{-{\frac {Mg}{RT}}\Delta h}$

Durch Einführung der so genannten Skalenhöhe $h_{s}={\frac {RT}{Mg}}$ vereinfacht sich die Höhenformel zu

$p(h_{1})=p(h_{0})e^{-{\frac {\Delta h}{h_{s}}}}$

Mit jeder Höhenzunahme um $h_{s}$ nimmt der Luftdruck um den Faktor $e\approx 2{,}7$ ab. Die Skalenhöhe ist daher ein natürliches Maß für die Höhe der Atmosphäre und den Druckverlauf in ihr. Sie beträgt in der hier angenommenen Modellatmosphäre etwa 8,5 km.

Für die Dichte gilt entsprechend:

$\rho (h_{1})=\rho (h_{0})e^{-{\frac {\Delta h}{h_{s}}}}$

Für einen bergab wandernden Beobachter nimmt der Luftdruck ständig zu, da eine immer schwerere Luftsäule auf ihm lastet. Die Zunahme verläuft exponentiell, da die Luft kompressibel ist: für jeden Meter Höhenunterschied nimmt die Gewichtskraft der auf einer Meßfläche lastenden Luftsäule um das Gewicht des auf dieser Strecke hinzukommenden Säulenvolumens zu. Dieses Gewicht hängt aber von der Dichte der Luft und diese wiederum vom Luftdruck ab. Der Luftdruck wächst also um so schneller, je höher er bereits ist. Ändert sich eine Größe stets um einen Betrag, der der Größe selbst proportional ist, so geschieht die Änderung exponentiell.

Atmosphäre mit linearem Temperaturverlauf

Herleitung

Im Allgemeinen ist die Temperatur nicht konstant, sondern variiert mit der Höhe. Der einfachste Ansatz zur Berücksichtigung einer solchen Veränderlichkeit geht von einer linearen Abnahme mit der Höhe aus. Für die Temperatur $T(h)$ gilt also

$T(h)=T(h_{0})-a\cdot (h-h_{0})$,

wobei $a$ der (positiv zu nehmende) Betrag des vertikalen Temperaturgradienten ist, der angibt, um wieviele Kelvin die Lufttemperatur pro Meter Höhenunterschied abnimmt. Das Integral über die rechte Seite der Grundgleichung lautet damit

$-\int _{h_{0}}^{h_{1}}{\frac {Mg}{RT}}\,\mathrm {d} h=-\int _{h_{0}}^{h_{1}}{\frac {Mg}{R\,(T(h_{0})-a\cdot (h-h_{0}))}}\,\mathrm {d} h=-{\frac {Mg}{R}}\int _{h_{0}}^{h_{1}}{\frac {1}{(T(h_{0})+ah_{0})-ah}}\,\mathrm {d} h$.

Wegen

$\int {\frac {1}{b-ax}}\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{a}}\,\ln(b-ax)$

ist die Lösung des Integrals

$-{\frac {1}{a}}\ln(\,(T(h_{0})+ah_{0})-ah)\vert _{h_{0}}^{h_{1}}=-{\frac {1}{a}}\ln \left({\frac {T(h_{0})-a(h_{1}-h_{0})}{T(h_{0})}}\right)$,

so dass insgesamt aus dem Integral über die Grundgleichung

$\ln \left({\frac {p(h_{1})}{p(h_{0})}}\right)=-{\frac {1}{a}}\ln \left({\frac {T(h_{0})-a(h_{1}-h_{0})}{T(h_{0})}}\right)$

die barometrische Höhenformel für linearen Temperaturverlauf folgt:

$p(h_{1})=p(h_{0})e^{+{\frac {Mg}{R}}{\frac {1}{a}}\ln(1-{\frac {a\Delta h}{T(h_{0})}})}$,

oder wegen $e^{y\cdot \ln(x)}=x^{y}$:

$p(h_{1})=p(h_{0})\left(1-{\frac {a\Delta h}{T(h_{0})}}\right)^{\frac {Mg}{Ra}}$

Für die Dichte gilt entsprechend

$\rho (h_{1})=\rho (h_{0})\left(1-{\frac {a\Delta h}{T(h_{0})}}\right)^{{\frac {Mg}{Ra}}-1}$

Der Exponent ist hier um 1 vermindert, weil der Zusammenhang zwischen Dichte und Druck temperaturabhängig ist.

Diese erweiterte barometrische Höhenformel bildet die Grundlage für die barometrische Höhenfunktion der Standardatmosphäre in der Luftfahrt. Dabei wird zunächst die Atmosphäre in Teilschichten mit jeweils linear interpoliertem Temperaturverlauf unterteilt. Dann werden, mit der untersten Schicht beginnend, Temperatur und Druck an der Obergrenze der jeweiligen Teilschicht berechnet und für die Untergrenze der darüber liegenden Schicht eingesetzt. Auf diese Weise entsteht induktiv das Modell für die gesamte Atmosphäre.

Typische Temperaturgradienten

Wie Messungen der Temperaturprofile in der Atmosphäre zeigen, ist die Annahme einer linearen Temperaturabnahme im Mittel eine gute Näherung, wenn auch im Einzelfall deutliche Abweichungen auftreten können, zum Beispiel bei Inversionswetterlagen. Die Hauptursache für die Temperaturabnahme mit der Höhe ist die Erwärmung der unteren Luftschichten durch die von der Sonne aufgeheizte Erdoberfläche, während die oberen Luftschichten Wärme in den Weltraum abstrahlen. Dazu kommen trockenadiabatische oder feuchtadiabatische Temperaturänderungen einzelner aufsteigender oder absinkender Luftpakete und zusätzliche Modifikationen durch Vermischungsvorgänge zwischen Luftmassen unterschiedlicher Herkunft. In Warmluftmassen und bei Aufgleitvorgängen nimmt der Temperaturgradient Werte um 0,3 bis 0,5 K pro 100 m an, in einbrechender Kaltluft meist um 0,6 bis 0,8 K pro 100 m, im Mittel über alle Wetterlagen 0,65 K pro 100 m. In Tallagen können häufige Bodeninversionen den mittleren Temperaturgradienten auf 0,5 K pro 100 m senken, in den Wintermonaten sogar auf 0,4 K pro 100 m.

Die beschriebenen Verhältnisse sind auf die Troposphäre beschränkt. In der Stratosphäre nimmt die Temperatur deutlich langsamer ab, meist nimmt sie sogar wieder zu, vor allem wegen der Absorption von UV-Strahlung in der Ozonschicht.

Für einen Temperaturgradienten von 0,65 K pro 100 m nimmt der Exponent $Mg/Ra$ den Wert 5,255 an:

$p(h_{1})=p(h_{0})\left(1-{\frac {0{,}0065\cdot \Delta h}{T(h_{0})}}\right)^{5{,}255}$

In dieser Form bietet sich die Höhenformel für den häufigen Fall an, dass Temperatur und Luftdruck auf einer der beiden Höhen bekannt sind, nicht aber der zur Zeit bestehende Temperaturgradient.

Internationale Höhenformel

Setzt man die Referenzhöhe $h_{0}$ auf Meereshöhe und nimmt für die dortige Atmosphäre einen mittleren Zustand an, wie er durch die Internationale Standardatmosphäre beschrieben wird (Temperatur 15 °C = 288,15 K, Luftdruck 1013,25 hPa, Temperaturgradient 0,65 K pro 100 m), so erhält man die Internationale Höhenformel:

$p(h)=1013{,}25\left(1-{\frac {0{,}0065\cdot h}{288{,}15}}\right)^{5{,}255}hPa$

Diese Formel erlaubt die Berechung des Luftdrucks auf einer gegebenen Höhe, ohne dass Temperatur und Temperaturgradient bekannt sind. Die Genauigkeit im konkreten Anwendungsfall ist allerdings begrenzt, da der Berechnung statt des aktuellen Atmosphärenzustands eine mittlere Atmosphäre zugrunde gelegt wird.

Siehe auch

Barometrische Höhenmessung - Standardatmosphäre - Kinetische Gastheorie - Luft - Hochdruckgebiet - Tiefdruckgebiet - Wind - Formelsammlung Hydrostatik