Konvexe und konkave Funktionen

Analysis: Konvexe Funktion

In der Analysis heißt eine Funktion f von einem Intervall I nach R konvex, wenn für alle x,y aus I gilt:

f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\leq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}

Anschaulich bedeutet die Definition: Der Funktionswert in der Mitte zwischen zwei Werten x,y liegt unterhalb der Mitte der Verbindungsgerade der beiden Funktionswerte an x und y.

Äquivalent dazu ist die Bedingung, dass für alle x, y aus I und t zwischen 0 und 1 gilt:

f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)

Eine Funktion heißt streng konvex, wenn für alle x,y aus I gilt:

f\left({\frac {x+y}{2}}\right)<{\frac {f(x)+f(y)}{2}}

Eigenschaften

Der Graph einer konvexen Funktion ist so gewölbt, dass die Menge der Punkte oberhalb des Graphen eine konvexe Menge ist. Zu beachten ist, dass eine nicht-konvexe Funktion nicht automatisch konkav sein muss, d.h. konvex und konkav sind hier nicht das exakte Gegenteil voneinander. Jede lineare Funktion ist sowohl konkav als auch konvex, und die Sinusfunktion ist keins von beiden (weder die Menge der Punkte oberhalb des Graphen noch die der Punkte unterhalb des Graphen ist eine konvexe Menge).

Jedoch ist eine Funktion f konvex genau dann, wenn die Funktion -f konkav ist. Ist f differenzierbar, dann ist f konvex genau dann, wenn ihre Ableitung $f'$ wachsend ist und streng konvex genau dann, wenn $f'$ streng monoton wachsend ist. Ist f zweimal differenzierbar, dann ist f konvex genau dann, wenn $f''$ nichtnegativ ist, und streng konvex genau dann, wenn $f''$ positiv ist.

Beispiele

Die Funktion f(x) = x² ist auf ganz R streng konvex, denn f '(x) = 2x ist steng monoton wachsend.
Die Exponentialfunktion ist streng konvex auf ganz R.
Die Betragsfunktion f(x) = |x| ist auf ganz R konvex, aber nicht streng konvex.
Die Funktion f(x) = x³ ist konkav für x ≤ 0 und konvex für x ≥ 0.
Die Funktion f(x) = 1/x ist streng konvex auf dem Intervall (0, ∞) der positiven reellen Zahlen und streng konkav auf dem Intervall (-∞, 0) der negativen reellen Zahlen.

Siehe auch

konvexe_Teilmenge