Ersatzschaltungen des Bipolartransistors

Um einen Bipolartransistor berechnen zu können, benötigt man ein vereinfachtes, abstraktes, Modell. Hierbei werden verschiedene Stufen der Abstraktion verwendet. Hierbei werden meist einfache Modelle zur Dimensionierung und komplexere Modelle zur Schaltungssimulation verwendet.

Weiters unterscheidet man zwischen Modellen für den statischen und den dynamischen Betrieb. Erstere dienen zur gleichstrommäßigen Dimensionierung, und damit vor allem zur Berechnung der korrekten Arbeitspunkteinstellung, sowie für niederfrequente Logikschaltungen (z. B. TTL). Modelle für den dynamischen Betrieb dienen der wechselstrommäßigen Dimensionierung und damit zur Berechnung von Schaltungen für die Signalübertragung und Signalverarbeitung.

Formelzeichen

Im Folgenden werden die hier verwendeten Formelzeichen aufgelistet. Für weitere Formelzeichen siehe auch die mathematische Beschreibung.

Zeichen	Beschreibung
$I_{B,N}$	Idealer Basisstrom der Emitter-Diode
$I_{B,I}$	Idealer Basisstrom der Kollektor-Diode
$I_{B,E}$	Basis-Leckstrom der Emitter-Diode
$I_{B,C}$	Basis-Leckstrom der Kollektor-Diode
$I_{T}$	Kollektor-Emitter Transportstrom
$I_{D,S}$	Strom der Substrat-Diode
$R_{B}$	Basiswiderstand
$R_{C}$	Kollektorbahnwiderstand
$R_{E}$	Emitterwiderstand
$C_{S,E}$	Sperrschichtkapazität der Emitter-Diode
$C_{S,Ci}$	Interne Sperrschichtkapazität der Kollektor-Diode
$C_{S,Ce}$	Externe Sperrschichtkapazität der Kollektor-Diode
$C_{S,S}$	Sperrschichtkapazität der Substrat-Diode
$C_{D,N}$	Diffusionskapazität der Emitter-Diode
$C_{D,I}$	Diffusionskapazität der Kollektor-Diode

Statisches Verhalten

Zeichen	Beschreibung
$I_{S}$	Sättigungssperrstrom
$I_{S,S}$	Sättigungssperrstrom der Substrat-Diode
$B_{N}$	Ideale Stromverstärkung im Normalbetrieb
$B_{N}$	Ideale Stromverstärkung im Inversbetrieb
$I_{S,E}$	Leck-Sättigungssperrstrom der Emitter-Diode
$I_{S,C}$	Leck-Sättigungssperrstrom der Kollektor-Diode
$n_{E}$	Emissionskoeffizient der Emitter-Diode
$n_{C}$	Emissionskoeffizient der Kollektor-Diode
$I_{K,N}$	Kniestrom zur starken Injektion im Normalbetrieb
$I_{K,I}$	Kniestrom zur starken Injektion im Inversbetrieb
$U_{A,N}$	Early-Spannung im Normalbetrieb
$U_{A,I}$	Early-Spannung im Inversbetrieb
$R_{Be}$	Externer Bahnwiderstand
$R_{Bi}$	Interner Bahnwiderstand1)
1) wird in PSpice aus der Gleichung $R_{B}=R_{Be}+R_{Bi}$ berechnet.

Dynamisches Verhalten

Zeichen	Beschreibung
$C_{S0,E}$	Null-Kapazität der Emitter-Diode
$C_{S0,C}$	Null-Kapazität der Kollektor-Diode
$C_{S0,S}$	Null-Kapazität der Substrat-Diode
$U_{{\rm {diff}},E}$	Diffusionsspannung der Emitter-Diode
$U_{{\rm {diff}},C}$	Diffusionsspannung der Kollektor-Diode
$U_{{\rm {diff}},S}$	Diffusionsspannung der Substrat-Diode
$m_{S,E}$	Kapazitätskoeffizient der Emitter-Diode
$m_{S,C}$	Kapazitätskoeffizient der Kollektor-Diode
$m_{S,S}$	Kapazitätskoeffizient der Substrat-Diode
$x_{CSC}$	Aufteilungskoeffizient der Kapazität in der Kollektor-Diode
$f_{S}$	Koeffizient für den Kapazitätsverlauf
$\tau _{0,N}$	Ideale Transitzeit im Normalbetrieb
$\tau _{0,I}$	Ideale Transitzeit im Inversbetrieb
$x_{\tau ,N}$	Transitzeitkoeffizient im Normalbetrieb
$x_{\tau ,I}$	Transitzeitkoeffizient im Inversbetrieb
$U_{\tau ,N}$	Transitzeitspannung im Normalbetrieb
$U_{\tau ,I}$	Transitzeitspannung im Inversbetrieb
$U_{\tau ,N}$	Transitzeitstrom im Normalbetrieb
$U_{\tau ,I}$	Transitzeitstrom im Inversbetrieb

Thermisches Verhalten

Zeichen	Beschreibung
$x_{T,I}$	Temperaturkoeffizient der Sperrströme
$x_{T.B}$	Temperaturkoeffizient der Stromverstärkung

Englische Bezeichnung

Da Datenblätter meist in englisch verfasst sind, muss man auch die verwendeten Formelzeichen übersetzen können. Im Wesentlichen sind dies:

Deutsch		Englisch
Bezeichnung	Zeichen	Bezeichnung	Zeichen
Spannung	U	voltage	V
Normalbetrieb	N	forward region	F
Inversbetrieb	I	inverse region	R
Sperrschicht	S	junction	J

Die anderen Bezeichnungen können beibehalten werden.

Modelle für das statische Verhalten

Ebers-Moll Modell

Ebers-Moll Modell eines npn-Transistors

Das Ebers-Moll Modell ist das einfachste Modell für den Bipolartransistor. Es hat nur drei Parameter und beschreibt damit die wichtigsten Effekte. Das Ebers-Moll Modell wird mit Hilfe eines Dioden-Ersatzschaltbildes dargestellt.

Ein npn-Transistor besteht aus zwei antisereiellen pn-Übergängen (Dioden) mit gemeinsamer p-Zone. Diese Übergänge werden als Emitter-Diode (Basis-Emitter-Diode; BE-Diode) und Kollektor-Diode (Basis-Kollektor-Diode; BC-Diode) bezeichnet. Durch die dünne Basis (p-Zone) im Bipolartransistor fließt der Großteil des Stromes über den Emitter ab. Daher besteht das Ebers-Moll Modell zusätzlich zu den beiden Dioden aus zwei Stromquellen, die den Stromfluss durch die Basis beschreiben. Für den pnp-Transistor werden einfach die Vorzeichen umgedreht.

Zusätzlich wird noch ein Steuerfaktor für den Normalbetrieb $A_{N}\approx 0{,}98\dots 0{,}998$ sowie den Inversbetrieb $A_{I}\approx 0{,}5\dots 0{,}9$ verwendet, um den unsymmetrischen Aufbau in eines praktischen npn-Transistors zu berücksichtigen.

$I_{D,N}=I_{S,N}\,\left(e^{{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}-1}\right)$

$I_{D,I}=I_{S,I}\,\left(e^{{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}-1}\right)$

$I_{C}=A_{N}\,I_{S,N}\,\left(e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}-1\right)-I_{S,I}\,\left(e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}-1\right)$

$I_{E}=-I_{S,N}\,\left(e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}-1\right)+A_{I}\,I_{S,I}\,\left(e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}-1\right)$

$I_{B}=\left(1-A_{N}\right)\,I_{S,N}\,\left(e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}-1\right)+\left(1-A_{I}\right)\,I_{S,I}\,\left(e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}-1\right)$

Im Normalbetrieb sperrt die BC-Diode da $U_{BC}<0$ und kann deshalb vernachlässigt werden. Zusätzlich kann die zugehörige Exponentialfunktion durch -1 ersetzt werden, da $U_{BE}\gg U_{T}$ ist. Umgekehrt sperrt im Inversbetrieb die BE-Diode, wodurch man auch in diesem Fall eine Vereinfachung der Geichung auf die selbe Weise erhält.

Reduzierte Ebers-Moll Modelle für den npn-Transistor

Normalbetrieb	Inversbetrieb
$I_{C}=I_{S}\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}$ $I_{E}=-{\frac {1}{A_{N}}}\,I_{S}\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}$ $I_{B}=-{\frac {1-A_{N}}{A_{N}}}\,I_{S}\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}={\frac {1}{B_{N}}}\,I_{S}\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}$ mit $A_{N}=-{\frac {I_{C}}{I_{E}}}\approx 0{,}98\dots 0{,}998$ $B_{N}={\frac {A_{N}}{1-A_{N}}}=-{\frac {I_{C}}{I_{B}}}\approx 50\dots 500$	$I_{C}=I_{S}\,e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}$ $I_{E}=-{\frac {1}{A_{I}}}\,I_{S}\,e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}$ $I_{B}=-{\frac {1-A_{I}}{A_{I}}}\,I_{S}\,e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}={\frac {1}{B_{I}}}\,I_{S}\,e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}$ mit $A_{I}=-{\frac {I_{E}}{I_{C}}}\approx 0{,}5\dots 0{,}9$ $B_{I}={\frac {A_{I}}{1-A_{I}}}=-{\frac {I_{E}}{I_{B}}}\approx 1\dots 10$

Sättigungsbetrieb

Wenn man den Bipolartransistor als Schalter einsetzt, kommt dieser vom Normalbetrieb in den Sättigungsbetrieb. Hierbei ist vor allem die minimal erreichbare Kollektor-Emitter-Spannung $U_{CE,sat}(I_{B},\,I_{C})$ interessant. Aufgelöst für diese Spannung erhält man die Gleichung

$U_{CE,sat}(I_{B},\,I_{C})=U_{T}\,\ln {\frac {B_{N}\,\left(1+B_{I}\right)\,\left(B_{I}\,I_{B}+I_{C}\right)}{B_{I}^{2}\,\left(B_{N}\,I_{B}-I_{C}\right)}}$

Bei $0<I_{C}<B_{N}\,I_{B}$ gilt $U_{CE,sat}\approx 20\dots 200\,\mathrm {mV}$. Das Minimum erhält man bei $I_{C}=0$:

$U_{CE,sat}\left(I_{C}=0\right)=U_{T}\,\ln \left(1+{\frac {1}{B_{I}}}\right)=-U_{T}\,\ln A_{I}$

Für den Inversbetrieb vertauscht man Emitter und Kollektor. Dadurch erhält man für die Sättigung mit $I_{E}=0$:

$U_{EC,sat}\left(I_{E}=0\right)=U_{T}\,\ln \left(1+{\frac {1}{B_{N}}}\right)=-U_{T}\,\ln A_{N}$

Da $A_{I}<A_{N}<1$ gilt $U_{EC,sat}(I_{E}=0)<U_{CE,sat}(I_{C}=0)$. Dabei gilt üblicherweise $U_{CE,sat}(IC=0)\approx 2\dots 20\,\mathrm {mV}$ und $U_{EC,sat}(I_{E}=0)\approx 0{,}05\dots 0{,}5\,\mathrm {mV}$.

Transportmodell

Transportmodell

Durch die Umformung der beiden Stromquellen des Ebers-Moll Modells in eine einzige gesteuerte Stromquelle erhält man das Transportmodell des Bipolartransistors. Das Transportmodell beschreibt das Gleichstromverhalten. Die Emitter und Kollektor-Diode wird dabei als ideal angenommen und der durch die Basis fließende Strom wird als Transportstrom $I_{T}$ getrennt berechnet. Für das Transportmodell gelten die folgenden Gleichungen:

$I_{B,N}={\frac {I_{S}}{B_{N}}}\,\left(e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}-1\right)$

$I_{B,I}={\frac {I_{S}}{B_{I}}}\,\left(e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}-1\right)$

$I_{B}=I_{B,N}+I_{B,I}={\frac {I_{S}}{B_{N}}}\,\left(e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}-1\right)+{\frac {I_{S}}{B_{I}}}\,\left(e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}-1\right)$

$I_{T}=B_{N}\,I_{B,N}-B_{I}\,I_{B,I}=I_{S}\,\left(e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}\right)$

$I_{C}=I_{S}\,\left[e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}-\left(1+{\frac {1}{B_{I}}}\right)\,e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}+{\frac {1}{B_{I}}}\right]$

$I_{E}=I_{S}\,\left[e^{\frac {U_{BC}}{U_{T}}}-\left(1+{\frac {1}{B_{I}}}\right)\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}+{\frac {1}{B_{N}}}\right]$

Vereinfachtes Transportmodell für den Normalbetrieb

Da für den Normalbetrieb die Sperrströme vernachlässigt werden können, erhält man das reduzierte Transportmodell mit:

$I_{C}=I_{S}\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}$

$I_{B}={\frac {I_{C}}{B_{N}}}={\frac {I_{S}}{B_{N}}}\,e^{\frac {U_{BE}}{U_{T}}}$

Literatur

• Ulrich Tietze, Christoph Schenk, Eberhard Gamm, Halbleiter-Schaltungstechnik, Springer 2002, 12. Auflage, ISBN 3540428496

Siehe auch

• Bipolartransistor