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Geschichte der Mathematik

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Allgemeine Entwicklung der Mathematik

Mathematik der Ägypter und Babylonier

Ägypten

Die wichtigsten erhaltenen Quellen, die uns Auskunft über die mathematischen Fähigkeiten der Ägypter geben, sind der Papyrus Rhind, der Papyrus Moskau und die so genannte Lederrolle.

Die Ägypter verwendeten die Mathematik hauptsächlich für praktische Aufgaben wie die Lohnberechnung, die Berechnung von Getreidemengen zum Brotbacken oder Flächenberechnungen. Sie kannten die vier Grundrechenarten durch Rückführung auf Addition, Stammbrüche und das Lösen von Gleichungen mit einer Variablen.

In der Geometrie waren ihnen die Berechnung der Flächen von Dreiecken, Rechtecken und Trapezen, (16/9)² als Näherung der Kreiszahl π (pi) und die Berechnung des Volumens eines quadratischen Pyramidenstumpfs durch V=(a²+a*b+b²)*(h/3) bekannt.

Sie besaßen allerdings keine Mathematik im eigentlichen Sinn, die eine strikte Beweisführung vorschreibt.

Babylon

Die Babylonier verwendeten ein Sexagesimal-Stellenwertsystem (60er System) für die Darstellung von Zahlen.

Sie benutzten Addition, Subtraktion und Multiplikation ähnlich wie heute, und führten die Division auf Multiplikation mit dem Kehrwert zurück.

Neben der Erfindung eins Algorithmus für die Berechnung von Quadratwurzeln legten sie Zahlentabellen (z.B. für Quadrate, Kuben, Quadratwurzeln, Kubikwurzeln und Logarithmen) an. Sie berechneten Zwischenwerte durch lineare Interpolation und konnten einfache Gleichungssysteme lösen. Als Näherung für π benutzten die Babylonier 3+1/8.

Auch sie führten keine Beweise, besaßen aber größere Kenntnisse als die Ägypter.

Mathematik der klassischen Antike

Die Mathematik der klassischen Antike teilt sich in vier große Perioden:

Die Geschichte der Mathematik als Wissenschaft beginnt mit Pythagoras. Sein programmatischer Ausspruch in dieser Hinsicht war "Alles ist Zahl". Das kann so interpretiert werden, dass die ganze Wirklichkeit mit mathematischen Formeln beschrieben werden kann. Er gründete eine eigene sektenähnliche Vereinigung, deren Mitglieder nach strengen Regeln lebten und sich der Mathematik widmeten. Mit Pythagoras hält auch die Methodik des Beweisen Einzug in die Mathematik. Die wichtigesten Erkenntnisse der Pythagoraner waren u.a. der Satz des Pythagoras und der Beweis der Irrationalität von . Letztere war von besonderer Brisanz und wurde geheimgehalten, da die Griechen keine irrationalen Zahlen kannten und diese Aussage damit der Idee, dass alles Zahl ist, doch sehr widerspricht.

Bei den Athenern stand die Mathematik hoch im Kurs, auch wenn es keine Beiträge von Platon gab, so war seine Ideenlehre sehr einflussreich für die Philosophie der Mathematik. Platons Ideenhimmel passte sehr gut zu den abstrakten Objekten der Mathematik. Aristoteles formulierte die Grundlagen der Aussagenlogik. Eudoxos schuf mit der Exhaustionsmethode zum ersten Mal eine rudimentäre Form der Infinitesimalrechnung. Wegen des Fehlens von reellen Zahlen und Grenzwert war diese Methode allerdings recht unhandlich. Archimedes erweiterte dies und berechnete damit unter anderem eine Näherung für Pi.

Euklid schrieb das erste Lehrbuch der Mathematik. In seinen "Elementen" fasste er einen Großteil der damals bekannten Mathematik (Geometrie und Zahlentheorie) zusammen. Unter anderem wird darin bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Diese Werk gilt als Musterbeispiel für die axiomatische Methode und folgerichtiges Beweisen: Aus wenigen Axiomen werden alle Ergebnisse streng hergeleitet. Euklids Elemente wird auch noch heute nach über 2000 Jahren als Lehrbuch verwendet.

Im Unterschied zu Griechenland spielte im antiken Rom die Mathematik kaum eine Rolle und galt als minder bedeutend. Auch die Mathematiker der Spätzeit waren ausschließlich von den Griechen beeinflusst.

Chinesische und indische Mathematik

China

siehe auch: chinesische Mathematik

Das erste noch erhaltene Lehrbuch chinesischer Mathematik ist "Chou Pei Suan Sing". Es entstand zwischen 1200 v. Chr. und 100 v. Chr. und enthält einen Dialog zwischen einem Prinzen und einem Minister über den Kalender. Fast genauso alt ist "Chiu Chang Suan Shu" ("Neun Kapitel über mathematische Kunst"), welches 246 Aufgaben über verschiedene Bereiche enthält.

Dezimalzahlen wurden mit "Bambusziffern" geschrieben; um 300 n. Chr. errechnete Liu Hui über ein 3072-Eck die Zahl 3,14159 als Näherung für π.

Den Höhepunkt erreichte die chinesische Mathematik im 13. Jahrhundert. Der bedeutendste Mathematiker dieser Zeit war Chu Shi-Kie mit seinem Lehrbuch "Szu-yuem Yü-kien" ("Kostbarer Spiegel der vier Elemente"), das algebraische Gleichungssysteme und algebraische Gleichungen vierzehnten Grades behandelte und diese durch eine Art Hornerverfahren löste. Nach dieser Periode kam es zu einem jähen Abbruch der Mathematik in China. Um 1600 griffen Japaner die Kenntnisse auf. Ihr bedeutendster Mathematiker war Seki Kowa (um 1700). Mathematik wird als geheime Tempelwissenschaft betrieben.

Indien

Erste erhaltene Quellen wurden auf ca. 800 v. Chr. datiert, beispielsweise "Sulvasutras" ("Seilregeln", geometrische Methoden zur Konstruktion von Opferaltären), um 500 v. Chr. das Aryabhatiya und um 400 v. Chr. "Siddhantas" ("Systeme", hauptsächlich astronomische Aufgaben).

Die Inder verwenden ab 595 n. Chr. ein dezimales Positionssystem, die Ziffer 0 wurde aber erst etwa 200 Jahre später eingeführt.

Mit der Ausbreitung des Islams nach Osten übernimmt um 800 n. Chr. die arabische Welt viele der indischen Erkenntnisse, arabische Wissenschaftler übersetzen indische Werke ins Arabische, die über diesen Weg auch nach Europa gelangen. Ein Buch von Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi wird 12. Jahrhundert in Spanien ins Lateinische übersetzt; erste Verwendung der "figurae Indorum" von italienischen Kaufleuten; um 1500 bekannt in Deutschland; andere bedeutenden Mathematiker: Brahmagupta (um 600), Bhaskara (um 1150, Buch "Lilavati"); ab 1200 n. Chr. Niedergang;

Mathematik der Araber

In der arabischen Welt bildete für die Mathematik die Hauptstadt Baghdad das Zentrum der Wissenschaft. Die arabischen Mathematiker übernahmen die indische Positionsarithmetik und den Sinus und entwickelten die griechische und indische Trigonometrie weiter, ergänzten die griechische Geometrie und übersetzten und kommentierten die mathematischen Werke der Griechen. Die bedeutendste mathematische Leistung der Araber ist die Begründung der heutigen Algebra.

Diese Kenntnisse gelangten über Spanien und den italienischen Seehandel nach Europa, dort (z.B. in Toledo) wurden viele der arabischen Schriften ins Lateinische übertragen;

Mathematik der Maya

Die einzige schriftliche Überlieferung der Mathematik der Maya stammt aus dem Dresden Kodex. Das Zahlensystem der Mayas beruht auf der Basis 20. Als Grund dafür wird vermutet, dass die Vorfahren der Mayas mit Fingern und Zehen zählten. Die Mayas kannten die Zahl 0 aber verwendeten keine Brüche. Für die Darstellung von Zahlen verwendeten sie Punkte, Striche und Kreise, die für die Ziffern 1, 5 und 0 standen. Die Mathematik der Mayas war hochentwickelt, vergleichbar mit den Hochkulturen im Orient. Sie verwendeten sie zur Kalenderberechnung und für die Astronomie. Der Maya-Kalender war der genaueste seiner Zeit.

Mathematik in Europa

Mathematik des Mittelalters

Das Mittelalter war für die Mathematik ein wahrhaft dunkles Zeitalter. Es gab kaum neue Erkenntnisse; vor allem das unhandliche römische Zahlensystem stand einer Weiterentwicklung im Weg. Ausserdem beschäftigten sich die Geistesgrößen der Zeit lieber mit überirdischen Überlegungen wie Gottesbeweisen und der Frage, wieviele Engel auf einer Nadelspitze Platz haben.

Mathematik der Renaissance

Im Zuge der Reconquista werden die Mauren aus Europa vertrieben. Ihre Mathematik lassen sie zurück und sie beeinflusst in der Folge die europäische Mathematik grundlegend. Begriff wie Algebra, Algorithmus sowie die arabischen Ziffern gehen darauf zurück.

In Deutschland erklärt der sprichwörtliche Adam Riese seinen Landsleuten in der Landessprache das Rechnen, und die Verwendung der arabischen Ziffern statt den römischen wird populär.

In Frankreich entdeckt Rene Descartes, dass man Geometrie, die bis dahin nach Euklid gelehrt wurde, auch mit Zahlen beschreiben kann. Alles was dazu nötig ist, sind zwei senkrechte Linien und eine Längeneinteilung darauf. Damit war das kartesische Koordinatensystem geboren. Vieta verwendet als erster Mathematiker Variablen. Damit wird die Algebra weiter formalisiert. Pierre de Fermat findet neben seinem Beruf als Richter wichtige Resultate in der Zahlentheorie. Er behauptet, dass die Gleichung keine ganzahligen Lösungen hat falls . Am Rand seiner Ausgabe von Diophantes "Arithmetica" schreibt er dazu den Satz, der für Generationen von Mathematikern zum Albtraum wurde: "Ich habe einen wunderbaren Beweis gefunden, doch leider ist dafür der Rand zu schmal". 400 Jahren lang beißen sich die besten Köpfe die Zähne daran aus, diesen angeblichen Beweis zu finden. Erst im Jahre 1995 gelang dem britischen Mathematiker Andrew Wiles nach jahrelanger geheimer Arbeit der Beweis für das Fermat-Problem (Fermats letzter Satz).

In Italien finden Cardano und Tartaglia die Formel für die Lösungen der kubischen algebraischen Gleichung. Galileo Galilei entdeckt, dass sich Kräfte wie Vektoren verhalten, damit wird die Vektorrechnung zusammen mit den kartesischen Koordinaten ein wichtiger Teil der Physik.

Mathematik des Barock

Eine der weitreichensten Entdeckungen der Mathematik wird geboren, die Infinitesimalrechnung. Unabhängig voneinander entwickeln Isaac Newton und Leibniz den Begriff der Ableitung. Newton beschreibt damit in seinem Hauptwerk "Principia naturalis" seine grundlegenden Gleichungen der Physik. Um der Problematik der unendlich kleinen Größen beizukommen argumentiert er dabei hautsächlich über Geschwindigkeiten. Leibniz geht den philosophischeren Weg, er postuliert seine Monaden und kommt damit zur Differentialrechnung. Er erfindet auch die Bezeichnungen d/dx und das Zeichen für das Integral. Zwischen den beiden kommt es später zu einem langwierigen gerichtlichen Urheberrechtsstreit. Letztendlich erweist sich die Leibnizsche Symbolik als dauerhafter.

Mit der Infinitesimalrechung ist die Analysis begründet. Zusammen mit den Newtonschen Gleichungen kann bald die gesamte Mechanik und Astronomie mit mathematischen Mitteln behandelt werden.

Mathematik der Aufklärung

Die Methoden der Infinitesimalrechung werden weiter entwickelt, auch wenn ihre Grundlagen auf tönernen Füßen stehen, wie einige Philosophen, zum Beispiel George Berkeley, scharf kritisieren.

Einer der produktivsten Mathematiker der Zeit ist der Schweizer Leonhard Euler. Neben seinen Beiträgen zur Analysis, führt er als erster das Symbol i für ein. Auch wenn sich keiner eine Zahl deren Quadrat negativ ist, vorstellen kann, wird die Verwendung dieser Größe recht populär und damit werden die komplexen Zahlen in die Mathematik eingeführt. Außerdem spekuliert Euler wie eine "Analysis situ" aussehen kann, also die Beschreibung von Objekten ohne Verwendung von genauen Längen. Diese Idee wird schließlich zum Theoriegebäude der Topologie ausgebaut. Eulers erster Beitrag dazu war die Lösung des "Königsberger Brückenproblems" und sein Polyedersatz. Ein weiterer fudamentalen Zusammenhang zwischen zwei entfernten Gebieten der Mathematik, der Analysis und der Zahlentheorie geht ebenfalls auf ihn zurück. Die Verbindung von bestimmten Potenzreihen und Primzahlen, die Bernhard Riemann in der Riemannschen Vermutung verwendet, entdeckt Euler als Erster.

Weitere Beträge zur Analysis der Zeit stammen von den Bernoullis, auf französischer Seite von Blaise Pascal, Fourier, Laplace, Lagrange, d_Alembert, wo viele bedeutende Mathematiker von der Pariser Universität angezogen werden.

In England werden von Bayes wichtige Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie gelegt.

Ab dem 19. Jahrhundert werden die Grundlagen der mathematischen Begriffe hinterfragt und fundiert. Cauchy begründet die Definition des Grenzwertes. Damit hat der skrupellose Umgang mit Unendlichkeiten nach 2000 Jahren endlich ein Ende. Außerdem legt er den Grundlage der Funktionentheorie. Die Verwendung komplexen Zahlen wird von Dedekind und Kronecker algebraisch fundiert.

Der Legende nach schreibt der Franzose Evariste Galois am Vorabend eines für ihn tödlich verlaufenden Duells seine Galoistheorie nieder. Zu seiner Zeit von wenigen verstanden, wird diese ein mächtiges Hilfsmittel in der Algebra. Mit Hilfe der Galoistheorie werden die 3 klassischen Problem der Antike als nicht lösbar erkannt.

Die Algebraiker erkennen, dass man nicht nur mit Zahlen rechnen kann. Alles was man braucht sind Verknüpfungen. Diese Idee wird in Gruppen, Ringen und Körpern formalisiert. Der Norweger Sophus Lie untersucht die Eigenschaften von Symmetrien. Durch seiner Theorie werden algebraische Ideen in die Analysis und Physik eingeführt. Die moderne Quantentheorie beruht im wesentlichen auf Symmetriegruppen.

In Göttingen wirken zwei der einflussreichsten Mathematiker der Zeit, Carl Friedrich Gauß und Bernhard Riemann. Neben fundamentalen Erkenntnissen in der Analysis, Zahlentheorie, Funktionentheorie schaffen sie und Andere die Differentialgeometrie - Geometrie wird mit analytischen Methoden beschrieben. Auch wird dank ihres Mitwirkens zum ersten Mal Euklids Geometrie neu überarbeitet: die Nichteuklidische_Geometrie entsteht.

Georg Cantor überrascht mit der Erkenntnis, dass es mehr als eine "Unendlichkeit" geben kann. Er definiert zum ersten Mal was eine Menge ist, und er wird somit der Gründer der Mengenlehre.

Nach tausenden von Jahren erfährt die Logik eine Runderneuerung. Gottlob Frege erfindet die Prädikatenlogik, die erste Neuerung auf diesem Gebiet seit Aristoteles. Zugleich bedeuten seine Arbeiten den Anfang der Grundlagenkrise in der Mathematik.

Moderne Mathematik

Die moderne Mathematik entsteht aus dem Bedürfnis, die Grundlagen dieser Wissenschaft ein für allemal zu festigen. Allerdings beginnt alles mit einer Krise anfangs des 20. Jahrhunderts: Bertrand Russell erkennt die Bedeutung von Freges Arbeiten. Gleichzeitig entdeckt er allerdings auch unlösbare Widersprüche darin (Russellsche_Antinomie). Diese Erkenntnis erschüttert die gesamte Mathematik. Falls es nur einen einzigen widersprüchlichen Satz in der Mathematik gibt, fällt die ganze Wissenschaft wie ein Kartenhaus zusammen. Sollte der Packesel Mathematik, der so viele gute Dienste geleistet hat, unter Cantors Unendlichkeiten erdrückt werden? Mehrere Versuche zur Rettung werden gemacht: Russel und Alfred North Whitehead versuchen in ihrem mehrtausendseitigen Werk, "Principia Mathematica" mit Hilfe der Typentheorie ein Fundament aufzubauen. Alternativ dazu begründen Ernst Zermelo und Adolf Fraenel die Mengenlehre axiomatisch (Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre). Letztere setzt sich durch, weil ihre wenigen Axiome wesentlich handlicher sind als die schwere "Principia Mathematica".

Der Zweifel an den Grundlagen bleibt aber bestehen. Es bedurfte eines Geistesriesen, um den (scheinbaren) Ausweg aus der Situation zu finden. Dieser kam in Form von David Hilbert, von dem gesagt wird, dass er der Letzte war, der die gesamte Mathematik überblicken konnte. Seine Idee, um die Mathematik wasserdicht zu machen, war, das mathematische Beweisen selbst mit Hilfe der Mathematik zu untersuchen. Schließlich waren Beweise nur eine Folge von Symbolen mit vorgegebenen Verknüpfungen, und Symbole und Verknüpfungen kann man mit mathematischen Methoden behandeln. Es konnte wieder Hoffnung aufkommen.

Diese wurde jedoch jäh von Kurt Gödel zerstört. Sein Unvollständigkeitssatz zeigt, dass nicht jeder wahre Satz beweisen werden kann. Dies war wahrscheinlich eine der wichtigsten Erkentnisse in der Mathematik. Damit war der Traum, eine umfassende Widerspruchsfreiheit zu finden, ausgeträumt. Für die Philosophen war diese Erkenntis ein gefundenes Fressen, viele sehen damit den Rationalismus als gescheitert an. Andererseits kann man sich fragen, ob eine Theorie, die ihre eigenen Grenzen erkennt, nicht mächtiger ist als eine, die das nicht kann.

Neben der Logik wird die Mathematik zunehmend abstrahiert. Die polnische Schule mit deren Leitfigur Stefan Banach begründet die Funktionalanalysis. Mit Hilfe der Banachräume und ihren Dualitäten können viele Probleme sehr elegant gelöst werden.

Kolmogorow liefert eine axiomatische Begründung der Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit ist für ihn ähnlich dem Flächeninhalt und kann mit Methoden der Maßtheorie behandelt werden. Damit ist auch dieses Feld logisch einwandfrei.

In der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts werden alle Teilgebiete der Mathematik in mengentheoretischer Sprache formuliert und auf axiomatische Grundlagen gestellt. Einen Höhepunkt erreichen Abstraktion und Formalisierung im Schaffen des kollektiven Autors Nicolas Bourbaki.

Im zweiten Weltkrieg entsteht großer Bedarf an der Lösung konkreter mathematischer Probleme, beispielsweise bei der Entwicklung der Atombombe oder der Entschlüsselung von Codes. John von Neumann, Alan Turing und andere entwickeln deshalb ein abstraktes Konzept einer universalen Rechenmaschine. Zuerst nur auf dem Papier werden diese Ideen bald in Hardware gegossen und der Computer hält Einzug in die Mathematik. Dies führt zu einer dramatischen Weiterentwicklung der numerischen Mathematik. Mit Hilfe des Computers können nun komplexe Problem, die per Hand nicht zu lösen waren, relativ schnell berechnet werden.

1995 kann schließlich Andrew Wiles den Satz von Fermat beweisen. Fermats Aussage, dass der Beweis nicht auf die Seite seines Buches passt, bewahrheitet sich: Wiles' Beweis ist über 100 Seiten lang.

Problemgeschichte von math. Teilgebieten

Weiterführende Informationen

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