Schrödingergleichung

Die Schrödingergleichung ist die Grundgleichung der nichtrelativistischen Quantenmechanik. Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung des Zustands eines unbeobachteten Quantensystems.

Die Schrödingergleichung lautet für ein einzelnes durch die Wellenfunktion ψ beschriebenes Teilchen (etwa ein Elemantarteilchen oder ein Atom) im Potential V:

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)$

Man erhält diese Gleichung aus der klassischen Energiegleichung

$E={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}+V(\mathrm {r} ,t)$

durch Ersetzung von Energie und Impuls durch die Operatoren

$E\rightarrow \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}$

$\mathrm {p} \rightarrow -\mathrm {i} \hbar \nabla$

und anschließendem Anwenden auf $\psi (\mathbf {r} ,t)$.

Den Operator auf der rechten Seite der Schrödingergleichung nennt man auch Hamilton-Operator, und bezeichnet ihn mit H. Mit diesem lautet die Schrödingergleichung einfach

$\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} ,t)=H\psi (\mathbf {r} ,t)$

Durch Separation der Variablen kann die so genannte zeitunabhängige Schrödingergleichung

$H\psi (\mathrm {r} )=E\psi (\mathrm {r} )$

hergeleitet werden. Entsprechend nennt man die volle Schrödingergleichung auch die zeitabhängige Schrödingergleichung.

siehe auch:

• Erwin Schrödinger