Dodekaeder

Regelmäßiges Pentagondodekaeder

Art der Seitenflächen	regelmäßige Fünfecke
Anzahl der Flächen	12
Anzahl der Ecken	20
Anzahl der Kanten	30
Schläfli-Symbol	{5,3}
dual zu	Ikosaeder
Körpernetz
Anzahl verschiedener Netze	43380
Anzahl Kanten in einer Ecke	3
Anzahl Ecken einer Fläche	5

Das Dodekaeder [ˌdodekaˈʔeːdɐ] (von griech. Zwölfflächner; dt. auch (das) Zwölfflach) ist ein Körper mit zwölf Flächen. In der Regel ist damit ein platonischer Körper gemeint, nämlich das regelmäßige Pentagondodekaeder, ein Körper mit

12 kongruenten regelmäßigen Fünfecken
30 gleich langen Kanten, von denen jede die Seite von zwei Fünfecken ist
20 Ecken, in denen jeweils drei dieser Fünfecke zusammentreffen

Es gibt aber auch andere Dodekaeder von hoher Symmetrie.

Das regelmäßige Pentagondodekaeder

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das Dodekaeder ein reguläres Polyeder. Es hat:

6 fünfzählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Flächen)
10 dreizählige Drehachsen (durch gegenüberliegende Ecken)
15 zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten)
15 Symmetrieebenen (durch einander gegenüberliegende und parallele Kanten)

und ist

punktsymmetrisch (Punktspiegelung bezüglich des Dodekaedermittelpunkts)

Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Dodekaeders – die Dodekaedergruppe oder Ikosaedergruppe – 120 Elemente. Die 60 orientierungserhaltenden Symmetrien entsprechen der alternierenden Gruppe $A_{5}$ . Manchmal wird auch diese Untergruppe Ikosaedergruppe genannt. Die volle Symmetriegruppe ist isomorph zu dem direkten Produkt $A_{5}\times C_{2}$ . Dass das Produkt direkt ist, sieht man daran, dass die Punktspiegelung am Mittelpunkt mit den Drehungen kommutiert.

Die Symmetrie des Dodekaeders ist durch die hier auftretenden fünfzähligen Symmetrieachsen mit einer periodischen Raumstruktur nicht verträglich (siehe Parkettierung). Es kann daher kein Kristallgitter mit Ikosaedersymmetrie geben (siehe Quasikristalle).

Struktur

Das Ikosaeder ist das zum Dodekaeder duale Polyeder und umgekehrt.

Mit Hilfe von Dodekaeder und Ikosaeder können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Dodekaedergruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

das abgestumpfte Dodekaeder mit 12 Zehnecken und 20 Dreiecken durch Abstumpfung der Ecken eines Dodekaeders
das Ikosidodekaeder mit 12 Fünfecken und 20 Dreiecken
das abgestumpfte Ikosaeder (Fußballkörper) mit 12 Fünfecken und 20 Sechsecken als Durchschnitt eines Dodekaeders mit einem Ikosaeder (siehe archimedische Körper, Fullerene)
und das Rhombentriakontaeder mit 12 + 20 = 32 Ecken und 30 Rauten als Flächen. Es entsteht durch das Aufsetzen gerader Pyramiden auf das Dodekaeder, von denen je zwei Seitenflächen einander ergänzen, d. h. in einer Ebene liegen und eine Kante gemein haben.

Aus den Kanten des Dodekaeders kann man 3 Paare gegenüberliegender Kanten so auswählen, dass diese Paare 3 kongruente, zueinander paarweise orthogonale Rechtecke aufspannen. Die restlichen 8 Ecken bilden dann die Ecken eines dem Dodekaeder einbeschriebenen Würfels. Insgesamt gibt es fünf derartige Positionen, wobei jede Kante des Dodekaeders zu genau einer solchen Position gehört, und jede Ecke Eckpunkt von zwei einbeschriebenen Würfeln ist. Die Symmetriegruppe des Dodekaeders bewirkt alle 5! = 120 Permutationen dieser fünf Positionen bzw. Würfel.

Da die Kanten des einbeschriebenen Würfels Diagonalen der Fünfecke sind, entspricht das Verhältnis der Längen der Kanten des Dodekaeders und jener eines eingeschriebenen Würfels dem Goldenen Schnitt.

Formeln

Größen eines Dodekaeders mit Kantenlänge a
Volumen	$V={\frac {a^{3}}{4}}\cdot \left(15+7\cdot {\sqrt {5}}\right)\approx 7{,}663\cdot a^{3}$
Oberflächeninhalt	$A_{O}=3\cdot a^{2}\cdot {\sqrt {25+10\cdot {\sqrt {5}}}}\approx 20{,}646\cdot a^{2}$
Umkugelradius	$R={\frac {a}{4}}\cdot {\sqrt {3}}\cdot \left(1+{\sqrt {5}}\right)\approx 1{,}401\cdot a$
Kantenkugelradius	$r={\frac {a}{4}}\cdot \left(3+{\sqrt {5}}\right)\approx 1{,}309\cdot a$
Inkugelradius	$\rho ={\frac {a}{20}}\cdot {\sqrt {250+110{\sqrt {5}}}}\approx 1{,}114\cdot a$
Verhältnis von Volumen zu Umkugelvolumen	${\frac {V}{V_{UK}}}={\frac {\sqrt {15}}{6\cdot \pi }}\cdot \left(1+{\sqrt {5}}\right)\approx 0{,}665$
Flächenwinkel ≈ 116° 33′ 54″	$\cos \alpha =-{\frac {\sqrt {5}}{5}}$
Flächen-Kanten-Winkel ≈ 121° 43′ 3″	$\cos \beta =-{\frac {1}{10}}\cdot {\sqrt {50-10\cdot {\sqrt {5}}}}$
Eckenraumwinkel ≈ 0,9428 π	$\cos \,\Omega =-{\frac {11}{25}}\cdot {\sqrt {5}}$

Anwendungen

Einige geodätische Kuppeln sind Polyeder, die vom Dodekaeder abgeleitet sind, indem die Fünfecke weiter in gleichschenkelige Dreiecke unterteilt werden.
Es gibt dodekaederförmige Spielwürfel.
Dodekaeder werden auch als originelle Wertstoff-Sammelbehälter eingesetzt, zum Beispiel in Paris.
In der Bauakustik werden dodekaederförmige Lautsprecher verwendet, um eine möglichst gute Kugelcharakteristik zu erhalten.
Statt einer Glaskugel werden kristallene Zwölfflächner zur Raumausleuchtung verwendet.
Der Verwendungszweck des römischen Pentagondodekaeders ist bis heute unklar.

Ein Dodekaeder kann auch als Jahres-Kalender verwendet werden: jeder Monat erhält ein eigenes Fünfeck.
Sowohl Megaminx als auch Alexander’s Star sind Varianten des Zauberwürfels in Form eines Dodekaeders als dreidimensionales Puzzle.
In Waldorfschulen ist der Grundstein, der traditionell am Eingangsportal einer jeden Schule platziert wird, ein kupfernes Pentagondodekaeder.^[1]

Sonstiges

Im Science-Fiction-Film Contact (1997) ist die Transportkugel in ein Gitter eingebettet, das die Form eines Dodekaeders hat.
In dem Computerspiel The Dig (1995) entspricht das außerirdische Raumschiff der Form eines Dodekaeders.
Ein Dodekaeder als Spielwürfel
Megaminx, eine Zauberwürfel-Variante
Ein Dodekaeder als Weihnachtsstern aus der Ausstellung "Sterne – nicht nur zur Weihnachtszeit" im Museum Europäischer Kulturen in Berlin
Römisches Dodekaeder im Landesmuseum Württemberg, Stuttgart

Das kubische Pentagondodekaeder

Das kubische Pentagondodekaeder kann äußerlich leicht mit dem regelmäßigen Pentagondodekaeder verwechselt werden. Es hat ebenfalls 12 Flächen, 20 Ecken und 30 Kanten. Die Flächen sind aber nicht gleichseitig. Jede der 12 Flächen hat vier kürzere und eine längere Kante. Insgesamt besitzt das Polyeder 24 kürzere und 6 längere Kanten. Es besitzt dabei kubische Symmetrie. In der Natur kommt Pyrit (FeS₂) manchmal in der Gestalt von kubischen Pentagondodekaedern vor. Deshalb wird das kubische Pentagondodekaeder auch Pyrit-Dodekaeder oder Pyritoeder genannt. Bei Kristallen sind fünfzählige Achsen unmöglich, wie das reguläre Pentagondodekaeder sie besitzt, weil es keine lückenlose periodische Flächenfüllung mit fünfzähliger Symmetrie gibt. Nur bei nicht streng periodischen „Kristallen“, also Quasikristallen, ist ein reguläres Pentagondodekaeder denkbar.

Netze des Dodekaeders

Das Dodekaeder hat 43380 Netze.^[2] Das heißt, es gibt 43380 Möglichkeiten, ein hohles Dodekaeder durch Aufschneiden von 19 Kanten aufzuklappen und in der Ebene auszubreiten. Die anderen 11 Kanten verbinden jeweils die 12 regelmäßigen Fünfecke des Netzes. Um ein Dodekaeder so zu färben, dass keine benachbarten Flächen dieselbe Farbe haben, braucht man mindestens 4 Farben.

Graphen, duale Graphen, Zyklen, Färbungen

Das Dodekaeder hat einen ihm zugeordneten ungerichteten planaren Graphen mit 20 Knoten, 30 Kanten und 12 Gebieten, der 3-regulär ist, d. h. von jedem Knoten gehen 3 Kanten aus, sodass der Grad für alle Knoten gleich 3 ist. Bei planaren Graphen ist die genaue geometrische Anordnung der Knoten unwesentlich. Wichtig ist allerdings, dass sich die Kanten nicht schneiden müssen. Die Knoten dieses Dodekaedergraphen entsprechen den Ecken des Dodekaeders.

Die Knoten des Dodekaedergraphen können mit 3 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind. Dies bedeutet, dass die chromatische Zahl dieses Graphen gleich 3 ist (siehe Knotenfärbung). Außerdem können die Kanten mit 3 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Kanten immer unterschiedlich gefärbt sind. Mit 2 Farben ist das nicht möglich, sodass der chromatische Index für die Kantenfärbung gleich 3 ist.

Um die entsprechende nötige Anzahl der Farben für die Flächen oder Gebiete zu bestimmen, ist der duale Graph (Ikosaedergraph) mit 12 Knoten, 30 Kanten und 20 Gebieten hilfreich. Die Knoten dieses Graphen werden dabei den Gebieten des Dodekaedergraphen eineindeutig (bijektiv) zugeordnet und umgekehrt (siehe bijektive Funktion und Abbildung). Die Knoten des Ikosaedergraphen können mit 4 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind, aber nicht mit 3 Farben, sodass die chromatische Zahl des Ikosaedergraphen gleich 4 ist. Daraus lässt sich indirekt schließen: Weil die chromatische Zahl gleich 4 ist, sind 4 Farben für eine solche Flächenfärbung des Dodekaeders oder eine Färbung der Gebiete des Dodekaedergraphen nötig.^[3]

Die 19 aufgeschnittenen Kanten jedes Netzes (siehe oben) bilden zusammen mit den Ecken (Knoten) einen Spannbaum des Dodekaedergraphen. Jedes Netz entspricht genau einem Spannbaum und umgekehrt, sodass hier eine eineindeutige (bijektive) Zuordnung zwischen Netzen und Spannbäumen besteht. Wenn man ein Dodekaedernetz ohne das äußere Gebiet als Graphen betrachtet, erhält man als dualen Graphen jeweils einem Baum mit 12 Knoten und 11 Kanten und dem maximalen Knotengrad 3. Jede Fläche des Dodekaeders wird dabei einem Knoten des Baums zugeordnet. Dabei kommt nicht jede graphentheoretische Konstellation (siehe Isomorphie von Graphen) solcher Bäume vor, aber einige mehrfach.

Der Dodekaedergraph besitzt 60 Hamiltonkreise, aber keine Eulerkreise.^[4]