Hall-Effekt

Der Hall-Effekt ['hɔːl-], 1879 von Edwin Hall entdeckt, ist das Auftreten einer elektrischen Spannung in einem stromdurchflossenen Leiter, welcher sich in einem stationären Magnetfeld befindet. Die Spannung fällt dabei senkrecht zur Stromfluss- als auch Magnetfeldrichtung am Leiter ab und wird Hallspannung $U_{\mathrm {H} }$ genannt.

Die Größe der Spannung kann mit Hilfe der weiter unten hergeleiteten Formel

U_{\mathrm {H} }=A_{\mathrm {H} }\,{\frac {IB}{d}}

aus Stromstärke $I$ , magnetischer Flussdichte $B$ , Dicke der Probe $d$ (parallel zu $B$ ) und einer Materialkonstanten – der so genannten Hallkonstanten (auch: Hallkoeffizient) $A_{\mathrm {H} }$ – berechnet werden.

Der Hall-Effekt trägt seinen Namen zu Ehren seines Entdeckers und hat nichts mit dem Nachhall in der Akustik zu tun.

Erklärung

Der Halleffekt tritt in einem stromdurchflossenen elektrischen Leiter auf, der sich in einem Magnetfeld befindet, wobei sich ein elektrisches Feld aufbaut, das zur Stromrichtung und zum Magnetfeld senkrecht steht und das die auf die Elektronen wirkende Lorentzkraft kompensiert.

Durch Anlegen einer Spannung an die Probe wird ein Strom angetrieben. Die Ladungsträger sind im allgemeinen Elektronen, es kann aber auch Löcherleitung in entsprechend dotierten Halbleitern vorherrschen. Die Elektronen bewegen sich entgegen der technischen Stromrichtung mit einer mittleren Geschwindigkeit $v$ (Driftgeschwindigkeit) durch den Leiter. Wegen der durch das Magnetfeld verursachten Lorentzkraft wird das Elektron senkrecht zu seiner Bewegungsrichtung abgelenkt. Hierdurch kommt es auf der entsprechenden Seite des Leiters zu einem Elektronenüberschuss (blau hervorgehoben), während die Elektronen auf der gegenüberliegenden Seite in dem selben Maße verarmen (rot hervorgehoben). Man hat es also mit einer Ladungstrennung vergleichbar mit der eines Kondensators zu tun. Die sich nun gegenüberstehenden negativen und positiven Ladungsüberschüsse verursachen ein elektrisches Feld, das eine Kraft auf die Elektronen ausübt, die der Lorentzkraft entgegengesetzt ist. Die Verstärkung der Ladungstrennung kommt zum Stillstand, wenn sich beide Kräfte gerade kompensieren. Wie bei dem Kondensator kann eine Spannung abgegriffen werden, die hier als Hallspannung bezeichnet wird. Die Hallspannung folgt Strom- und Magnetfeldänderungen in der Regel unmittelbar. Sie steigt mit dem Magnetfeld linear an und ist indirekt proportional zur (vorzeichenbehafteten) Ladungsträgerdichte. Die Hallspannung ist insbesondere unabhängig von dem spezifischen Widerstand der Probe. Der Hall-Effekt wird sowohl zum Messen von Magnetfeldern (mit Hallsonde) als auch zur Bestimmung der Ladungsträgerart (Elektronen oder Löcher) und deren Dichte eingesetzt.

Die spezifischen Eigenschaften des Leitungsvorganges werden durch die Hallkonstante $A_{\mathrm {H} }$ wiedergegeben.

Herleitung

Vorlage:Highlight1 colspan="2" \| Verwendete Größen
B	magnetische Flussdichte
E	Elektrische Feldstärke
F	Kraft auf die Ladungsträger
$U_{\mathrm {H} }$	Hallspannung
$I$	Elektrische Stromstärke
j	Stromdichte
v	Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger
$b$	Breite des Leiters
$d$	Dicke des Leiters
$n$	Ladungsträgerdichte
$q$	Ladung eines Ladungsträgers
$A_{\mathrm {H} }$	Hallkonstante

Zum Verständnis dieses Abschnitts sind Grundkenntnisse in der Vektorrechnung und Elektrodynamik hilfreich.

An dieser Stelle soll eine kurze Herleitung der Formel für die Hallspannung skizziert werden. Die Gültigkeit der Herleitung beschränkt sich dabei auf elektrische Leiter mit nur einer Sorte von Ladungsträgern, wie bei Metallen (Elektronen) oder stark dotierten Halbleitern (entweder überwiegend Löcher oder Elektronen).

Bewegte Ladungsträger in einem magnetischen Feld erfahren die Lorentzkraft:

\mathbf {F} =q\,\mathbf {v} \times \mathbf {B}

Beim Hall-Effekt baut sich ein kompensierendes elektrisches Feld auf, welches die ablenkende Wirkung des Magnetfeldes neutralisiert. Für die resultierende Kraft auf die Ladungsträger muss folglich gelten:

q\,(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )=0

Der Einfachheit halber wird das Koordinatensystem so gelegt, dass sich die Ladungsträger in x-Richtung bewegen und das Magnetfeld in z-Richtung wirkt. Es ist also $\mathbf {v} =(v_{x},0,0)$ und $\mathbf {B} =(0,0,B_{z})$ . Damit wird die y-Komponente der obigen Gleichung nach Kürzen von $q$ zu:

\left.E_{y}-v_{x}B_{z}=0\right.

Die Stromdichte $\mathbf {j}$ im Leiter lässt sich allgemein durch $\mathbf {j} =nq\mathbf {v}$ ausdrücken. Löst man diese Beziehung nach $v_{x}$ auf und setzt sie in obige Gleichung, so erhält man

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle E_y = \frac{1}{nq}\,j_xB_z = A_\mathrm{H}\,j_xB_z}

Über diese Beziehung wird die Hallkonstante $A_{\mathrm {H} }$ definiert, welche die Stärke des Hall-Effektes charakterisiert.

Um die Gleichung etwas handlicher zu machen, kann man den Leiter, in dem ja eine Ladungstrennung stattgefunden hat, als Plattenkondensator auffassen. Für diesen gilt die Beziehung

E_{y}={\frac {U_{\mathrm {H} }}{b}}

.

Außerdem kann die Stromdichte $j_{x}$ im vorliegenden Fall durch $j_{x}=I/bd$ ausdrückt werden. Setzt man diese beiden Schreibweisen ein, so erhält man für die Hallspannung $U_{\mathrm {H} }$ einen nur noch von einfach messbaren Größen abhängenden Ausdruck:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle U_\mathrm{H} = A_\mathrm{H}\,\frac{IB_z}{d}} .

Diese Formel ist auch für Leiter mit verschiedenen Sorten von Ladungsträgern korrekt, jedoch lässt sich dann die Hallkonstante nicht mehr durch $A_{\mathrm {H} }=1/nq$ berechnen (siehe Artikel zur Hallkonstanten).

Aus der Gleichung lässt sich ebenfalls der Hall-Widerstand direkt angeben:

R_{\mathrm {H} }=A_{\mathrm {H} }\,{\frac {B_{z}}{d}}

.

Anwendung

In der Elektronik wird der Hall-Effekt in sogenannten Hallsonden zur Messung der magnetischen Flussdichte benutzt. Fließt ein Strom durch den Leiter, so kann durch das Messen der erzeugten Hallspannung nach obiger Formel $B$ berechnet werden. Materialien mit großer Hallkonstante zeichnen sich dabei mit einer hohen Empfindlichkeit aus. Aus diesem Grund werden meist Halbleitermaterialien verwendet. Die Massenfertigung zum breiten Einsatz in der Industrie wurde erst durch die Integration von Hallplatten in CMOS-Technologie möglich. Erst damit können Temperaturabhängigkeiten und andere Effekte kompensiert und die Hallspannung entsprechend ausgewertet und digital aufbereitet werden. Heute finden wir immer komplexere Hallsensoren auf CMOS-Basis in Anwendungen zur Winkel-, Positions-, Geschwindigkeits- und Strommessung.

Ein weiteres Anwendungsgebiet ist die Bestimmung von Ladungsträgerdichten durch Messen der Hallkonstanten. Durch eine zusätzliche Messung der elektrischen Leitfähigkeit (oder des spezifischen Widerstands) ist es zudem möglich, die Beweglichkeit der Ladungsträger im Material zu ermitteln.

Quanten-Hall-Effekt

Der Quanten-Hall-Effekt bewirkt, dass bei starken Magnetfeldern und tiefen Temperaturen um einige Kelvin die Hallspannung $U_{\mathrm {H} }$ geteilt durch den Strom $I$ nicht beliebig variieren kann, wenn die Magnetfeldstärke variiert wird, sondern immer ein ganzzahliger Bruchteil der von-Klitzing-Konstanten

R_{\mathrm {K} }={\frac {h}{e^{2}}}\approx 25{,}8\,\mathrm {k} \Omega

(in der Einheit kOhm, $h$ ist die Plancksche Konstante, $e$ die Elementarladung) ist, also $R_{\mathrm {K} }$ , $R_{\mathrm {K} }/2$ , $R_{\mathrm {K} }/3$ und so weiter. Die Genauigkeit, mit der diese Plateaus reproduziert werden können, ist so extrem gut, dass $R_{\mathrm {K} }$ durch internationale Verträge als Standard für den elektrischen Widerstand festgelegt worden ist. Der Quanten-Hall-Effekt ist weitgehend verstanden. Klaus von Klitzing bekam für diese Entdeckung 1985 den Nobelpreis.