Diskussion:Definitheit

Definitheit hat zuallererst etwas mit Skalarprodukten zu tun, die Beziehung zu Eigenwerten ist sekundär und ist aus Ko-/Kontravarianzgründen irreführend. Vgl. auch Skalarprodukt und Prähilbertraum.--Gunther 13:48, 20. Mär 2005 (CET)

Habe dazu mal was geschrieben - ist das ungefähr das, was du meintest? --Glotzfrosch 22:32, 31. Mär 2005 (CEST)

Ja, ich meinte aber vor allem, dass man zuerst erklärt, was Definitheit für eine Bilinearform bedeutet, und erst später als "Eigenschaft" dieses Begriffes die Beziehung zu den Eigenwerten nennt. Außerdem sollte man die Seite noch an den o.a. Stellen verlinken bzw. sich überlegen, inwieweit man dort Definitionsteile streichen kann. Man kann übrigens überall voraussetzen, dass die Matrix symmetrisch ist, zumindest ist die Behauptung der aktuellen Fassung, dass das Hurwitz-Kriterium auch für nicht symmetrische Matrizen etwas über die Eigenwerte aussagt, falsch.--Gunther 22:48, 31. Mär 2005 (CEST)

Okay, nächster Versuch! Allerdings habe ich jetzt das Gefühl, dass der Artikel etwas unübersichtlich ist... ich weiß aber gerade nicht, wie ich's besser machen könnte. --Glotzfrosch 20:42, 1. Apr 2005 (CEST)

Habe mich mal um eine Gliederung bemüht. Einen guten Einleitungssatz sollten wir noch finden...--Gunther 00:45, 3. Apr 2005 (CEST)

Gaußsches Eliminationsverfahren als Definitheitskriterium?

Diesen Ansatz habe ich sonst nirgends gesehen, finde Ihn aber sinnvoll im Zusammenhang einer Minimasuche mittels Newtonverfahren. Allerdings finde ich den Teil mit Diagonalstrategie mit n positiven Pivotelementen verwirrend, vielleicht wäre eine etwas ausführlichere Erläuterung schön oder vielleicht einen passender Link? Auf welcher Grundlage lässt sich diese Aussage denn treffen? --Odysseus76 15:32, 21. Jan 2006 (CET)

Definitheit von Matrizen

In der aktuellen Version steht:

Da sich jede Bilinearform (bzw. Sesquilinearform) auf einem endlichdimensionalen Vektorraum durch eine quadratische Matrix beschreiben lässt, ...

Stimmt das wirklich so formuliert? ...jede Bilinearform ... durch eine quadratische Matrix... Nach meinem bisherigen Verständnis (bin aber noch nicht völlig durchgestiegen ;) sollte sich die Dimension der Matrix aus der Dimension der beiden beteiligten Vektorräume bilden. ( $\langle v,w\rangle \mapsto v^{T}Aw$ ) Wenn von "jeder Bilinearform" die Rede ist, dann ist die Dimension der Matrix nicht einschränkbar. Positiv bzw. negativ definite Matrizen, um die es dann eigentlich geht, müssten allerdings symmetrisch (nicht nur quadratisch) sein, da die Definitheit einer Bilinearform auch ihre Symmetrie impliziert - und damit auch die Symmetrie der zugehörigen Matrix.

Außerdem könnte für Laien (wie mich) an dieser Stelle auch ein Link auf den folgenden Abschnitt im Matrix-Artikel hilfreich sein: Eigenschaften von Matrizen bzgl. ihrer Linearformen --(Tobi)134.109.148.27 17:17, 19. Mär 2006 (CET)

Bei Bilinearformen ist nur ein Vektorraum beteiligt, daher ist die darstellende Matrix quadratisch. Ein Beispiel für eine positiv definite Bilinearform, die nicht symmetrisch ist, ist die durch

A=\left({\begin{matrix}1&1\\0&1\end{matrix}}\right)

beschriebene auf dem R². Den Link darfst du gerne einfügen, wenn du ihn für hilfreich hältst. --Glotzfrosch 22:34, 19. Mär 2006 (CET)

symmetrie

ist in "Eine symmetrische Bilinearform [...]" das "symmetrische" nicht verzichtbar? -- 141.3.74.114 18:03, 9. Aug 2006 (CEST)

Nein, ist es nicht. Ein Gegenbeispiel ist die Matrix [1, -1; 2, -1]. --Glotzfrosch 19:18, 9. Aug 2006 (CEST)