Erste Fundamentalform

Die erste Fundamentalform oder metrische Grundform ist ein Rechenausdruck aus der Theorie der Flächen im dreidimensionalen Raum $(\mathbb {R} ^{3})$, einem Teilgebiet der klassischen Differentialgeometrie. Die erste Fundamentalform ermöglicht unter anderem die Lösung folgender Probleme:

• Berechnung der Länge einer Kurve auf der gegebenen Fläche
• Berechnung des Winkels, unter dem sich zwei Kurven auf der gegebenen Fläche schneiden
• Berechnung des Flächeninhalts eines Flächenstücks der gegebenen Fläche

Definition der Koeffizienten

Eine Fläche sei durch $\mathbf {a} (u,v)$ gegeben, also durch $u$ und $v$ parametrisiert. Für den durch die Parameterwerte $u$ und $v$ bestimmten Punkt der Fläche sind die Koeffizienten der ersten Fundamentalform folgendermaßen definiert:

$E(u,v)=\mathbf {a} _{u}(u,v)\cdot \mathbf {a} _{u}(u,v)=(\mathbf {a} _{u}(u,v))^{2}$

$F(u,v)=\mathbf {a} _{u}(u,v)\cdot \mathbf {a} _{v}(u,v)$

$G(u,v)=\mathbf {a} _{v}(u,v)\cdot \mathbf {a} _{v}(u,v)=(\mathbf {a} _{v}(u,v))^{2}$

Dabei sind $\mathbf {a} _{u}(u,v)$ und $\mathbf {a} _{v}(u,v)$ die beiden ersten partiellen Ableitungen nach den Parametern. Die Malpunkte drücken Skalarprodukte von Vektoren aus.

Zur Vereinfachung lässt man häufig die Argumente weg und schreibt nur $E$, $F$ und $G$ für die Koeffizienten. Eine weitere (modernere) Schreibweise ist:

$g_{11}=E;\quad g_{12}=g_{21}=F;\quad g_{22}=G$

Die Zahlen $g_{ij}$ sind die Koeffizienten des kovarianten metrischen Tensors.

Länge einer Flächenkurve

Eine Kurve auf der gegebenen Fläche lässt sich ausdrücken durch zwei reelle Funktionen $\varphi _{1}$ und $\varphi _{2}$: Jedem möglichen Wert des Parameters $t$ wird der auf der Fläche gelegene Punkt $\mathbf {a} (\varphi _{1}(t),\varphi _{2}(t))$ zugeordnet. Sind alle beteiligten Funktionen stetig differenzierbar, so gilt für die Länge des durch $t\in [a,b]$ festgelegten Kurvenstücks:

$l=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {E\cdot ({\dot {\varphi }}_{1}(t))^{2}+2F\cdot {\dot {\varphi }}_{1}(t){\dot {\varphi }}_{2}(t)+G\cdot ({\dot {\varphi }}_{2}(t))^{2}}}\,dt$

Den Integranden in dieser Formel bezeichnet man als erste Fundamentalform.

Gelegentlich wird auch die Schreibweise mit Differentialen verwendet:

$ds^{2}=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}$