Schwarzschild-Metrik

Die Vakuumlösung der Einstein-Gleichungen im statischen, sphärisch-symmetrischen Fall ist unter dem Namen Schwarzschild-Metrik (nach Karl Schwarzschild) bekannt. Das Linienelement beschreibt das äußere Gravitationsfeld eines nichtrotierenden, elektrisch neutralen Körpers. In Schwarzschild-Koordinaten hat es die Form:

${d}s^{2}=g_{ik}{d}x^{i}{d}x^{k}={\frac {1}{1-{\frac {2M}{r}}}}{d}r^{2}+r^{2}{d}\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {d}\phi ^{2}-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){d}t^{2}$ ,

wobei das natürliche Maßsystem (c=1) gewählt wurde. Die Ausdrücke vor den Koordinatendifferenzialen sind die Komponenten des zweistufigen metrischen Tensors $g_{ik}$ . M entspricht bis auf konstante Faktoren der gravitierenden Zentralmasse.

Das Linienelement kann auf zwei Arten interpretiert werden:

1. Deutet man die radiale Koordinatenlinie r als real begehbaren Weg, so stellt der im Linienelement enthaltene metrische Tensor ein Spin-2-Feld dar. Dass dieses Feld Gleichungen gehorcht, die sich aus der Theorie gekrümmter Räume herleiten lassen, wird in diesem Fall nur als beiläufig erachtet. Für $r_{s}=2M$ wird der radiale Teil der Metrik singulär. Man nennt $r_{s}$ den Schwarzschildradius oder Ereignishorizont. Für r < 2M schreibt man

${\sqrt {\frac {1}{1-{\frac {2M}{r}}}}}{d}r=i{\sqrt {\frac {1}{{\frac {2M}{r}}-1}}}{d}r,\quad i{\sqrt {1-{\frac {2M}{r}}}}{d}t={\sqrt {{\frac {2M}{r}}-1}}{d}t,\quad i={\sqrt {-1}}$

Innerhalb des Schwarzschildradius wird das radiale Linienelement zeitartig, das vormals zeitartige Linienelement raumartig. Ein stellares Objekt, das sich nach einem Gravitationskollaps auf einen Bereich innerhalb des Schwarzschildradius zusammengezogen hat, wird als Schwarzes Loch bezeichnet. Daran knüpfen sich weitere Spekulationen, wie die Einstein-Rosenbrücke und Wurmlöcher, über die man entfernte Regionen des Weltalls oder auch Paralleluniversen erreichen kann.

2. Die andere Interpretation lehnt sich an die ursprüngliche Konzeption Einsteins an, Gravitation als Krümmung des Raumes zu verstehen. Unsere Erfahrungswelt wäre dann eine vierdimensionalen Fläche, die in einen höherdimensionalen ebenen Raum eingebettet werden kann. Die Krümmungen dieser Fläche bestimmen die Gravitationswirkungen. Für den Raumteil des Schwarzschildmodells lässt sich die dahinterliegende Geometrie recht einfach offen legen. Das radiale Linienelement ist ein Element auf der (liegenden) Parabel $R^{2}=8M\left(r-2M\right)$ , wobei R der Bezeichner für die Extradimension ist. An r = 0 liegt die Leitlinie der Parabel und an r = 2M ihr Scheitel. Rotiert man den oberen Ast der Parabel (R > 0) um die Leitlinie durch den Winkel $\theta$ erhält man eine Fläche 4. Ordnung, das Flammsche Paraboloid.

Die Koordinate r ist im Rahmen dieser Betrachtung kein begehbarer Weg, sondern eine Hilfsvariable. An $r_{s}=2M$ befindet sich eine Scheinsingularität, die durch eine geeignete Wahl der Koordinaten behoben werden kann. Für r < 2M kann dieses Modell keine Aussagen machen, die Variable r hat den Gültigkeitsbereich $\left[{2M,\infty }\right]$ . Das am Flammschen Paraboloid entstehende 'Loch' wird mit einer weiteren Fläche überdeckt, die aus der Inneren Schwarzschildschen Lösung hergeleitet werden kann. Das vollständige Schwarzschildmodell beschreibt das Innere und Äußere eines nichtrotierenden stellaren Objekts.

Die Extradimension R wird aus Gründen der Nützlichkeit eingeführt und dient zur Veranschaulichung der geometrischen Verhältnisse. Ihr braucht keine physikalische Realität zugeordnet werden. Gekrümmte Räume können durch ihre inneren Eigenschaften ohne Zuhillfenahme eines Einbettungsraums beschrieben werden und unser Anschauungsvermögen lässt auch nicht mehr als vier Dimensionen zu.

Frei fallende Beobachter erreichen unabhängig von ihrer Ausgangsposition an $r_{s}=2M$ die Lichtgeschwindigkeit und die Schwerkraft $g=-{\frac {1}{\sqrt {1-{2M \over r}}}}{\frac {M}{r^{2}}}=-{\frac {1}{\rho }}\tan \epsilon$ wird dort unendlich groß. $\rho ={\sqrt {2r^{3} \over M}}$ ist der Krümmungsvektor der Schwarzschildparabel und $\epsilon$ ihr Anstiegswinkel. Eine geeignete Anpassung der Inneren Lösung mit $r_{i}>r_{s}$ umgeht diesen problematischen Sachverhalt.

Siehe auch

Literatur

M. v. Laue, Die Relativitätstheorie, Band II. Die allgemeine Relativitätstheorie. Vieweg, Braunschweig 1956
C. Møller, The theory of relativity. Oxford university press 1972
A. S. Eddington, The mathematical theory of relativity. Cambridge, University Press 1963
S. W. Hawking, G. F. R. Ellis, The large scale structure of space-time. Cambridge, University Press 1974
P. Jordan, Schwerkraft und Weltall. Vieweg, Braunschweig 1955