Sehnenviereck

Sehnenviereck
Ein Sehnenviereck ABCD mit Umkreis k

Ein Sehnenviereck ist ein Viereck, dessen Eckpunkte alle auf ein- und demselben Kreis liegen, dem Umkreis des Vierecks. Folglich sind alle Seiten des Sehnenvierecks Sehnen des Umkreises.

Meist meint man mit Sehnenviereck ein nicht überschlagenes Sehnenviereck. Ein solches ist notwendig konvex.

Sätze über Sehnenvierecke (Auswahl)

Das Sehnenviereck wird mit ABCD bezeichnet.

1. Die Produkte je zweier gegenüberliegender Diagonalenabschnitte sind gleich groß. Das heißt, wenn P der Schnittpunkt von AC und BD (Diagonalenschnittpunkt) ist, so gilt ${\overline {AP}}\cdot {\overline {CP}}={\overline {BP}}\cdot {\overline {DP}}$.

Die folgenden Sätze gelten nur für konvexe Sehnenvierecke ABCD:

1. $\alpha +\gamma =\beta +\delta =180$°. Das heißt, gegenüberliegende Winkel ergänzen sich zu 180°.
2. Satz von Ptolemäus: Die Summe der Produkte gegenüberliegender Seiten des Sehnenvierecks ist gleich dem Produkt der Diagonalen: ${\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}$.

Fläche des Sehnenvierecks

Sind die Seitenlängen $a={\overline {AB}}$, $b={\overline {BC}}$, Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle c = \overline{CD}} und $d={\overline {DA}}$ gegeben, so ergibt sich der Flächeninhalt aus:

$A_{SV}={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

Dabei steht s für den halben Umfang des Vierecks:

$s={\frac {a+b+c+d}{2}}$

Verwandte Vierecke

Ein Sehnenviereck, das gleichzeitig Trapez ist, heißt gleichschenkliges Trapez. Jedes Rechteck ist ein gleichschenkliges Trapez und damit ein Sehnenviereck.

Ein Viereck, das einen Inkreis hat, heißt Tangentenviereck.