Einheitswurzel

In der Algebra werden Zahlen, deren $n$-te Potenz die Zahl 1 ergibt, n-te Einheitswurzeln genannt.

Definition

Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit Einselement und $n\geq 1$ eine natürliche Zahl. Ein Element $\zeta \in R$ heißt eine $n$-te Einheitswurzel, wenn es eine der beiden gleichwertigen Bedingungen erfüllt:

• $\zeta ^{n}=1$;
• $\zeta$ ist Nullstelle des Polynoms $X^{n}-1$.

Die $n$-ten Einheitswurzeln in $R$ bilden eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe $R^{\times }$, die oft mit $\mu _{n}(R)$ bezeichnet wird.

Eine $n$-te Einheitswurzel $\zeta$ heißt primitiv, falls $\zeta ^{m}\neq 1$ für $m=1,\ldots ,n-1$ gilt.

Einheitswurzeln in den komplexen Zahlen

Im Körper ${\mathbb {C}}$ der komplexen Zahlen sind

$\exp \left({2\pi \mathrm {i} k \over n}\right),\quad k=0,1,\ldots ,n-1$

die $n$-ten Einheitswurzeln. Setzt man

$\zeta _{n}=\exp \left({2\pi \mathrm {i} \over n}\right)$,

so ist $\zeta _{n}$ primitiv, und diese Zahlen bekommen (in der gleichen Reihenfolge) die einfache Gestalt

$1,\zeta _{n},\zeta _{n}^{2},\dots ,\zeta _{n}^{n-1}$.

Ist klar, um welches n es sich handelt, lässt man den unteren Index häufig fallen. Die n-te Wurzel $\zeta ^{k}$ ist genau dann primitiv, wenn k und n teilerfremd sind.

Geometrischer Bezug

Die n-ten Einheitswurzeln lassen sich in der komplexen Zahlenebene geometrisch anschaulich interpretieren: Sie sind die auf dem Einheitskreis (mit Mittelpunkt 0 und Radius 1) liegenden Ecken eines regelmäßigen n-Ecks, wobei eine der Ecken die Zahl $1$ ist, denn diese ist für jedes $n\geq 1$ eine $n$-te Einheitswurzel.

Realteil und Imaginärteil der Einheitswurzeln $\zeta _{n}^{k}=x_{k}+\mathrm {i} \,y_{k}$ sind damit die Koordinaten der Ecken des n-Ecks auf dem Kreis, d.h. für $k=0,1,\dots ,n-1$ ist

$x_{k}=\cos(2\pi k/n)=\cos(360^{\circ }\cdot k/n)$    und   $y_{k}=\sin(2\pi k/n)=\sin(360^{\circ }\cdot k/n)$.

Summe der Einheitswurzeln

Ist $\zeta$ eine $n$-te Einheitswurzel, so gilt

$1+\zeta +\zeta ^{2}+\dots +\zeta ^{n-1}={\begin{cases}n&\mathrm {falls} \ \zeta =1\\0&\mathrm {sonst} .\end{cases}}$

Diese Aussage ist ein Spezialfall der analogen Aussage für Charaktere von Gruppen.

Beispiele

Die zweiten, dritten und vierten Einheitswurzeln

Die zweiten Einheitswurzeln sind

$\zeta =-1,\quad \zeta ^{2}=1$;

die dritten Einheitswurzeln sind

$\zeta =-{\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {3}},\quad \zeta ^{2}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {3}},\quad \zeta ^{3}=1$;

die vierten Einheitswurzeln sind wieder von einfacherer Form:

$\zeta =\mathrm {i} ,\quad \zeta ^{2}=-1,\quad \zeta ^{3}=-\mathrm {i} ,\quad \zeta ^{4}=1$,

wobei i die imaginäre Einheit ist.

Die fünften Einheitswurzeln

Aus $0=1+\zeta +\zeta ^{2}+\zeta ^{3}+\zeta ^{4}$ folgt

$0={\frac {1}{\zeta ^{2}}}+{\frac {1}{\zeta }}+1+\zeta +\zeta ^{2}=\left({\zeta }+{\frac {1}{\zeta }}\right)^{2}+\left({\zeta }+{\frac {1}{\zeta }}\right)-1=w^{2}+w-1$

für $w=\zeta +{\frac {1}{\zeta }}=\zeta +\zeta ^{4}=2\cos(72^{\circ })$. Lösen dieser quadratischen Gleichung liefert $w=-{\frac {1}{2}}\pm {\sqrt {\frac {5}{4}}}$. Da der Winkel $72^{\circ }$ im 1. Quadranten liegt, ist $w$ positiv, und damit ist $\cos(72^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}$. Der Realteil von $\zeta$ ist damit klar, der Imaginärteil ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras.

Eigenschaften der Einheitswurzeln

Einheitswurzeln in Körpern

In einem Körper $K$ bilden die $n$-ten Einheitswurzeln eine zyklische Untergruppe der multiplikativen Gruppe $K^{\times }$. Ihre Anzahl ist stets ein Teiler von $n$. Ist sie gleich $n$, so sagt man, $K$ „enthalte die $n$-ten Einheitswurzeln“.

Enthält $K$ die $n$-ten Einheitswurzeln, so ist eine Einheitswurzel genau dann primitiv, wenn sie die Gruppe der $n$-ten Einheitswurzeln erzeugt. Die primitiven $n$-ten Einheitswurzeln sind genau die Nullstellen des $n$-ten Kreisteilungspolynoms.

Erweiterungen von ${\mathbb {Q}}$, die durch Adjunktion von Einheitswurzeln entstehen, heißen Kreisteilungskörper.

Einheitswurzeln in Restklassenringen

• Im Ring $\mathbb {Z} _{2^{n}+1}=\mathbb {Z} /(2^{n}+1)\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen modulo $(2^{n}+1)$ ist die Zahl $2$ eine primitive $2n$-te Einheitswurzel, denn in diesem Ring gilt $2^{n}=-1$.
• Im Ring $\mathbb {Z} _{2^{n}-1}=\mathbb {Z} /(2^{n}-1)\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen modulo $(2^{n}-1)$ ist die Zahl $2$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel.

Diese beiden speziellen Restklassenringe sind für die Computeralgebra höchst bedeutsam, denn sie ermöglichen eine nochmals drastisch beschleunigte Variante der schnellen diskreten Fouriertransformation. Dies liegt darin begründet, dass Addition und Multiplikation dieser Restklassenringe durch entsprechende zyklische Addition und Multiplikation in einem unwesentlich größeren Restklassenring ersetzt werden können, und damit in binärer Zahlendarstellung die Multiplikation mit Potenzen der Zahl $2$ eine zyklische binäre Shift-Operationen bedeutet, was wesentlich schneller als eine allgemeine Multiplikation zweier Zahlen durchführbar ist. Die erhebliche Zeitersparnis für die diskrete Fourier-Transformation ergibt sich nun aus der Tatsache, dass während der FFT viele Multiplikationen mit der gewählten Einheitswurzel durchzuführen sind.