Lagrange-Formalismus

Der Lagrange-Formalismus ist eine 1788 von Joseph Louis Lagrange eingeführte Umformulierung der klassischen Mechanik. Die Trajektorie eines Objektes wird im Lagrange-Formalismus bestimmt, indem der Pfad mit einer stationären Wirkung berechnet wird (Hamiltonsches Prinzip), d.h. der Pfad, für den das Integral der Lagrangefunktion L über die Zeit stationär ist.

Diese Betrachtungsweise vereinfacht viele physikalische Probleme, denn im Gegensatz zur Newtonschen Formulierung der Bewegungsgesetze lassen sich im Lagrange-Formalismus Zwangsbedingungen relativ einfach durch Wahl geeigneter Koordinaten q_i (generalisierte Koordinaten) berücksichtigen.

Lagrangesche Bewegungsgleichungen

Mit Hilfe der Variationsrechnung folgen aus dem Hamiltonschen Prinzip die Bewegungsgleichungen des Lagrange-Formalismus, die (Euler-)Lagrange-Gleichungen:

{\partial {L} \over \partial q_{i}}={d \over dt}{\partial {L} \over \partial {{\dot {q}}_{i}}}

Für jede generalisierte Koordinate q_i (und die zugehörige generalisierte Geschwindigkeit ${\dot {q}}_{i}$ ) gibt es eine solche Gleichung. Die Lagrange-Gleichungen bilden ein System partieller Differenzialgleichungen zweiter Ordnung.

Richard Feynmann (zusammen mit [Hibbs]]) hat, im Gegensatz zu vielen anderen Physikern, diese Herangehensweise auch für die Herleitung der Gleichungen der Quantenmechanik verwendet. In der klassischen Physik ergeben sich die oben beschriebenen Lagrange Gleichungen aus der Forderung, dass das Wirkungsintergral (bei dem über die Lagrange Funktion integriert wird) extremal wird (durch die Variation des Integrals erhält man die DGL's). Feynmann hat einen mathematischen Formalismus entwickelt in dem der Betrag des Wirkungsintegral als Mass für die Wahrscheinlichkeit eingeht, dass ein System einen bestimmten zeitlichen Verlauf erfährt. Hieraus ergibt sich dann (in einer mathematisch anspruchsvollen Herleitung) z.B. die Schrödinger Gleichung. Mit dieser Theorie sind klassische Systeme der Grenzfall bei dem ausser der Systemtrajektorie, die sich aus den Lagrange Gleichung ergibt, alle anderen eine verschwindend geringe Wahrscheinlichkeit haben (s. Quantum Mechanics and Path Integrals, McGRAW-HILL Book Company, 1965).

Siehe auch: Hamilton-Formalismus