Corioliskraft

Corioliseffekt in der Meteorologie

Die Corioliskraft [kɔrjoˈliːskraft] ist eine Trägheitskraft. In einem rotierenden Bezugssystem – z. B. Karussell, Drehscheibe, Erde – kann festgestellt werden, dass sich ein Körper nicht entsprechend dem zweiten Newtonschen Gesetz bewegt, sondern senkrecht zur Bewegungsrichtung abgelenkt wird. Diese Ablenkung wird durch die Coriolisbeschleunigung verursacht und als Wirkung einer seitlich einwirkenden Kraft, der Corioliskraft gedeutet. Im Unterschied zu den beiden anderen Trägheitskräften in rotierenden Bezugssystemen, der Zentrifugalkraft und der Eulerkraft, wirkt die Corioliskraft nur auf Körper, die sich im rotierenden Bezugssystem bewegen.

Diese Trägheitskraft erschien erstmals 1775 in den von Pierre-Simon Laplace aufgestellten Formeln für die Bewegung der Ozeane, die er aus den Newton’schen Gesetzen der Mechanik hergeleitet hatte. Sie wird aber nach Gaspard Gustave de Coriolis benannt, der sie in einer 1835 erschienenen Publikation erstmals ausführlich behandelte.

Da die Coriolisbeschleunigung senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkt, ändert sich nicht der Betrag der Geschwindigkeit, sondern deren Richtung. Als Corioliseffekt wird jede Erscheinung bezeichnet, die durch die Corioliskraft entsteht.

Deutlich erkennbar wird der Einfluss der Corioliskraft bei großräumigen Phänomenen, wie z. B. in der Meteorologie bei der Drehrichtung der Windfelder um Hoch- und Tiefdruckgebiete und bei der Ausbildung erdumspannender Windsysteme wie der Passatwinde und des Jetstreams. In der Ozeanographie beeinflusst die Corioliskraft maßgeblich die Meeresströmungen. Die verbreitete These, dass sie auch für die Drehrichtung des Strudels in der Badewanne und im Spülbecken verantwortlich sei, trifft hingegen nicht zu.

Einführung

In einem bekannten Demonstrationsexperiment zum Corioliseffekt lässt man eine Kugel möglichst reibungsfrei vom Mittelpunkt aus über eine rotierende Scheibe rollen. Nach dem Anstoßen rollt die Kugel, wenn man sie von außerhalb der Scheibe beobachtet, im Idealfall vollständig reibungsfreier Bewegung geradlinig; sie bewegt sich gleichförmig. Im realen Experiment wird sie von der Scheibe etwas in Drehrichtung mitgenommen. Auf der Scheibe hingegen, also im rotierenden Bezugssystem, wird die Kugel im zur Scheibendrehung entgegengesetzten Sinn abgelenkt und beschreibt eine deutlich gekrümmte Bahn. Diese wird im rotierenden Bezugsystem zu Beginn mit der Coriolisbeschleunigung erklärt. Mit zunehmender Entfernung vom Mittelpunkt der Scheibe kommt noch die Zentrifugalbeschleunigung hinzu.

Bewegung eines Körpers vom Mittelpunkt einer rotierenden Scheibe ohne Reibung nach außen; oben: im ruhenden Bezugssystem bewegt sich der Körper gleichförmig geradlinig; unten: im mitrotierenden Bezugssystem (Scheibe) bewegt sich der Körper auf einer gekrümmten Bahn, und die Ablenkung auf die gekrümmte Bahn wird als Folge der Corioliskraft gedeutet

Die Coriolisbeschleunigung ${\vec {a}}_{C}$ lässt sich nach der Formel

${\vec {a}}_{\mathrm {C} }=-2\,({\vec {\omega }}\times {\vec {v}}')$

berechnen. In der Formel bezeichnen ${\vec {\omega }}$ die vektorielle Winkelgeschwindigkeit der Rotation des Bezugssystems, deren Betrag angibt, wie schnell das System rotiert, und deren Richtung die Drehachse ist. ${\vec {v}}'$ ist die Geschwindigkeit, mit der sich der Körper im rotierenden Bezugssystem bewegt. Die Richtung des resultierenden Vektors ${\vec {a}}_{\mathrm {C} }$ ist immer senkrecht zu den beiden Vektoren, weshalb man die Verknüpfung beider Größen durch das Kreuzprodukt mit dem Symbol $\times$ ausdrücken kann. Die Coriolisbeschleunigung steht daher sowohl senkrecht zur momentanen Bewegungsrichtung als auch zur Drehachse des Systems.

Der vorliegende Artikel folgt dieser heute in der Physik gebräuchlichen Definition des Vorzeichens. Abweichend davon wird in der Technischen Mechanik die Coriolisbeschleunigung mit entgegengesetztem Vorzeichen definiert: ${\vec {a}}_{\mathrm {C} }^{\mathrm {TM} }=-{\vec {a}}_{\mathrm {C} }^{\mathrm {Phys} }$. Dies ist diejenige Beschleunigung, die dem bewegten Körper senkrecht zu seiner Bewegungsrichtung erteilt werden muss, um seine Ablenkung gerade zu verhindern.

In der Physik wird analog zum zweiten Newtonschen Gesetz für die Beschleunigung eine dazu proportionale Kraft verantwortlich gemacht, die Corioliskraft:

${\vec {F}}_{\mathrm {C} }=m{\vec {a}}_{\mathrm {C} }=-2\,m\,({\vec {\omega }}\times {\vec {v}}')$

Da die Corioliskraft die Bedingung für actio und reactio nicht erfüllt und nur im rotierenden Bezugssytem angenommen werden muss, wird sie als eine Scheinkraft bezeichnet.

Der Betrag dieses Vektors, gewissermaßen die „Stärke“ der Corioliskraft, berechnet sich durch:

$F_{\mathrm {C} }=2m\,\omega v'\sin \theta$

wobei $\theta$ der Winkel zwischen Geschwindigkeits- und Winkelgeschwindigkeitsvektor ist. Diese Formel ist hilfreich, wenn die Richtung der Corioliskraft durch vorherige Überlegungen bereits bekannt ist. Bewegt sich der Körper wie im angenommenen Beispiel in einer Ebene senkrecht zur Drehachse ($\theta =90^{\circ }$), liegt die Corioliskraft ebenfalls in dieser Ebene und der Körper verlässt die Ebene nicht; die Corioliskraft erreicht in diesem Fall wegen $\sin \theta =\sin 90^{\circ }=1$ ihren höchsten Wert. Schaut man im rotierenden Bezugssystem entgegen der Richtung der Winkelgeschwindigkeit, d. h. senkrecht, auf die Ebene, wird der Körper immer nach rechts abgelenkt.

Da die Corioliskraft immer senkrecht zur Bewegungsrichtung des Körpers steht, verrichtet sie an dem Körper keine Arbeit.

Anschauliche Herleitung

Beobachtungen auf einer rotierenden Scheibe

Fährt eine Person auf einer Drehscheibe (wie z. B. auf manchen Spielplätzen oder auf einem Karussell) einfach nur mit, so wirkt eine nach außen gerichtete Zentrifugalkraft auf sie. Bewegt sich die Person aber auch noch relativ zu der Scheibe, wird sie auf Grund der Coriolisbeschleunigung aus ihrer momentanen Bewegungsrichtung zur Seite ablenkt. Möchte man geradeaus laufen, so muss dafür eine Kraft senkrecht zur Bewegungsrichtung aufgebracht werden. Diese ist die Corioliskraft entgegengerichtet. Ohne einige Übung macht sie das einfache Geradeausgehen zunächst praktisch unmöglich, wenn das „Geradeausgehen“ in Bezug auf die rotierende Scheibe gemeint ist. Besonders deutlich bemerkt man diese Kraft, wenn man von der Drehachse weg oder zu ihr hin gehen will. In diesem Fall steht die Corioliskraft senkrecht auf der Zentrifugalkraft und ist leicht von ihr zu unterscheiden. Aber auch, wenn man sich auf der Scheibe in beliebiger anderer Richtung bewegt, zieht die Corioliskraft mit gleicher Stärke zur Seite. In diesem Fall hat sie eine Komponente in Richtung der Zentrifugalkraft und ist von dieser nicht mehr so einfach zu unterscheiden. Dreht sich die Scheibe von oben gesehen linksherum, zieht die Corioliskraft seitlich nach rechts, immer bezogen auf die augenblickliche Richtung der Bewegung relativ zur Scheibe. Die folgenden Überlegungen, die dieses Phänomen anhand endlicher Intervalle in Zeit und Raum näherungsweise verständlich machen, ergeben im Grenzfall infinitesimal kleiner Intervalle eine exakte Begründung der Corioliskraft.

Coriolisbeschleunigung bei radialer Bewegung von der Drehachse weg

Ablenkung durch die Corioliskraft bei radialer Bewegung

Wenn dem mit der Scheibe rotierenden Körper (roter Kreis in der nebenstehenden Abbildung) zusätzlich eine Radialgeschwindigkeit ${\vec {v}}$ erteilt wird, wächst sein Abstand zur Achse in der Zeit $\Delta t$ um $\Delta r=v\,\Delta t$. Im Bezugsystem der Scheibe würde er bei geradliniger Bewegung (also ohne Corioliskraft) am Ende des durchgezogenen roten Pfeils an der Position 1 ankommen. Im erdfesten Bezugssystem bewegt sich der Körper entlang des Pfeils, der die Vektorsumme der Radialbewegung und der Tangentialbewegung um die Strecken $v\,\Delta t$ (roter Pfeil) bzw. $\omega \,r\,\Delta t=r\,\,\Delta \varphi$ (blauer durchgezogener Pfeil) darstellt, zum blauroten Punkt mit der Markierung 2. Jedoch dreht sich in dieser Zeit die Scheibe um den Winkel $\Delta \varphi =\omega \,\Delta t$, und dabei hat der auf der Scheibe erwartete Endpunkt (Markierung 1) eine größere Strecke zurückgelegt, nämlich insgesamt $(r+\Delta r)\,\Delta \varphi$ bis zum roten Punkt mit der Markierung 3. Demnach ist der Körper in tangentialer Richtung von der geradlinigen radialen Bahn auf der Scheibe nach rechts abgewichen. Die mit $\Delta s$ bezeichnete Abweichung ergibt sich aus der Skizze zu $\Delta s=\Delta r\,\Delta \varphi$. Wegen

$\Delta s=\Delta r\,\Delta \varphi =v\Delta t\,\omega \Delta t={\frac {1}{2}}a\Delta t^{2}$

wächst $\Delta s$ quadratisch mit der Zeit $\Delta t$, was einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit der Coriolisbeschleunigung entspricht:

$a_{C}=2\,v\,\omega$.

Coriolisbeschleunigung bei Kreisbewegung um die Drehachse herum

Kreisbewegung, Zentripetalbeschleunigung geometrisch hergeleitet

Die nebenstehende Abbildung zeigt, dass ganz allgemein zur Beibehaltung einer Kreisbewegung (rot) mit der (beliebigen) Geschwindigkeit ${\tilde {v}}$ eine Beschleunigung $a_{\text{radial}}$ quer zur geradlinigen Trägheitsbewegung erfolgen muss. Während des Zeitintervalls $\Delta t$ muss sie eine radiale Bewegung um die Strecke $\Delta r$ bewirken (grün). Diese ergibt sich, wenn man die Strecke $r+\Delta r$ in dem gezeigten rechtwinkligen Dreieck nach dem Satz des Pythagoras berechnet und dabei im Grenzfall infinitesimaler Intervalle die Länge der kleinen Kathete mit der des roten Kreisbogens (${\tilde {v}}\Delta t$) gleichsetzt. Ergebnis:

$\Delta r={\frac {1}{2}}{\frac {{\tilde {v}}^{2}}{r}}\Delta t^{2}$.

Die quadratische Abhängigkeit von der Zeitspanne zeigt (wie beim freien Fall), dass eine konstante Beschleunigung

$a_{\text{radial}}={\frac {{\tilde {v}}^{2}}{r}}$

vorliegt. Dies Ergebnis kann man auf verschiedene Weisen auswerten, je nach der Bedeutung, die man den Größen ${\tilde {v}}$ bzw. ${\tilde {\omega }}$ gibt:

Im ersten Fall sei $v={\tilde {v}}$ die Geschwindigkeit eines im Inertialsystem rotierenden Körpers. Es ergibt sich $a_{\text{radial}}=v^{2}/r$. Das ist die Zentripetalbeschleunigung, die bei allen Kreisbewegungen auftritt und die durch die Zentripetalkraft bewirkt wird.

Dieselbe Geschwindigkeit kann auch ein Körper haben, der sich auf einer rotierenden Scheibe mit der Relativgeschwindigkeit $v'$ im Kreis bewegt. Die Drehgeschwindigkeit der Scheibe sei $\omega$ und damit ist die Geschwindigkeit eines fest mit der Scheibe verbundenen Punkts $v_{\text{Umlauf}}=\omega \,r$. Die Geschwindigkeit im Inertialsystem ist die Summe aus Umlaufgeschwindigkeit und Relativgeschwindigkeit $v=v_{\text{Umlauf}}+v'$. Dann ergibt sich aus der obigen Formel für die Zentripetalbeschleunigung.

$a_{\text{radial}}={\frac {v_{\text{Umlauf}}^{2}}{r}}+{\frac {v{'}^{2}}{r}}+2{\frac {v_{\text{Umlauf}}\,v'}{r}}$,

bzw.

$a_{\text{radial}}=\omega ^{2}\,r+{\frac {v{'}^{2}}{r}}+2\,\omega \,v'$

Dies ist die Zentripetalbeschleunigung, die im ruhenden Bezugssystem zur betrachteten Bewegung gehört. Die Formel zeigt, dass diese radial gerichtete Beschleunigung nicht einfach die Summe aus den beiden Beschleunigungen der beiden Kreisbewegungen mit bzw. auf der Drehscheibe ist, sondern einen dritten Summanden hat. Dieser ist der Coriolisbeschleunigung wie sie in der Physik definiert ist entgegengesetzt.

Zusätzlich zeigt dies Beispiel, dass die Aufteilung der radialen Komponente einer Trägheitskraft in Zentrifugal- und Corioliskraft vom gewählten Bezugssystem abhängt, also willkürlich ist.

Keine Coriolisbeschleunigung bei Bewegung parallel zur Drehachse

Eine Bewegung parallel zur Rotationsachse, also senkrecht zur Drehscheibe, ruft keine Corioliskraft hervor. Beim senkrechten Hochhüpfen oder beim Hochschießen eines Gegenstandes parallel zur Drehachse ist jedoch zu beachten, dass er dann im Allgemeinen den mechanischen Kontakt zur Drehscheibe verliert, sodass diese keine Zentripetalkraft mehr auf ihn ausüben kann. Der Körper wird dann im Bezugssystem der Scheibe durch die horizontal wirkende Zentrifugalkraft beschleunigt und beginnt sich nach außen zu bewegen. Dadurch erhält er eine Geschwindigkeitskomponente senkrecht zur Drehachse und somit auch eine Corioliskraft. Der Körper wird dann (in Bezug auf die Drehscheibe) durch die vektorielle Summe aus Zentrifugalkraft und Corioliskraft weiter beschleunigt. Wenn der Körper wieder landet, z. B., weil eine Gravitationskraft (parallel zur Rotationsachse) ihn wieder herunter zieht, kommt er nicht mehr am Ausgangspunkt an.

Beobachtungen in einem Paraboloid

Die isolierte Wirkung der Corioliskraft lässt sich näherungsweise bei einer Kugel beobachten, die sich in einem mit konstanter Drehgeschwindigkeit rotierenden Paraboloid reibungsfrei bewegt. Für jede Drehzahl gibt es einen Betriebspunkt, bei dem die Resultierende aus Gewichtskraft und Zentrifugalkraft senkrecht zur Oberfläche steht. Eine Bewegung auf der Oberfläche des Paraboloids um diesen Betriebspunkt ist eine Folge der Corioliskraft im mitrotierenden Bezugssystem. Da diese Bedingungen nur in der Nähe des Betriebspunkts auftreten, sind nur kleine Kreise um diesen Betriebspunkt so erklärbar. Bei größeren Bewegungen müssen alle Kräfte berücksichtigt werden.

Herleitung aus den kinematischen Grundgleichungen

Herleitung durch Transformation aus einem Inertialsystem

Siehe auch: Beschleunigtes Bezugssystem#Kinematik

Für die Herleitung der Corioliskraft im Rahmen der Newtonschen Mechanik betrachte man ein Bezugssystem $K'$, das sich in einem Inertialsystem $K$ befindet und mit der Winkelgeschwindigkeit ${\vec {\omega }}$ rotiert. Der Koordinatenursprung des Systems $K'$ sei fest im Inertialsystem verankert, außer der Rotation trete also keine Relativbewegung auf.

Gemäß dem Zweiten Newtonschen Gesetz ist das Produkt aus Masse $m$ und Beschleunigung ${\vec {a}}$ im Inertialsystem gleich der äußeren Kraft ${\vec {F}}$ :

$m{\vec {a}}={\vec {F}}$

Möchte man eine analoge Gleichung in einem rotierenden Bezugssystem aufstellen, müssen die Bewegungsgrößen im Inertialsystem durch Größen, wie sie im rotierenden Bezugssystem $K'$ zu beobachten sind, ausgedrückt werden. Diese sind der Ortsvektor ${\vec {r}}'$, die Geschwindigkeit ${\vec {v}}'$ und die Beschleunigung ${\vec {a}}'$. Für die im Inertialsystem zu beobachtende Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ ist zu beachten, dass der Körper nicht nur die Geschwindigkeit ${\vec {v}}'$ hat, sondern zusätzlich mit der Bahngeschwindigkeit ${\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'$ umläuft. Daher gilt:

${\vec {v}}={\vec {v}}'+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'\,.$

Die Beschleunigung ${\vec {a}}$ erhält man in gleicher Weise durch Ableiten der Geschwindigkeit. Dabei ist die Produktregel zu beachten.

${\vec {a}}=({\vec {a}}'+{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}')+({\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'+{\vec {\omega }}\times ({\vec {v}}'+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}'))\,.$

Ausmultiplizieren, Zusammenfassen und Auflösen nach der Beschleunigung im rotierenden System ${\vec {a}}'$ ergibt:

${\vec {a}}'={\vec {a}}-{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'-{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')-2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'\,.$

Durch Multiplikation mit der Masse erhält man die Bewegungsgleichung im rotierenden Bezugssystem:

$m{\vec {a}}'=m{\vec {a}}-m{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'-m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')-2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'\,.$

Mit dem zweiten Newtonschen Gesetz ist $m{\vec {a}}$ gleich der äußeren Kraft ${\vec {F}}$. Es ergibt sich:

$m{\vec {a}}'={\vec {F}}-m{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'-m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')-2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'\,.$

In dieser Gleichung finden sich die äußere Kraft und alle Trägheitskräfte im rotierenden Bezugssystem wieder. Der letzte Term ist hierbei die Corioliskraft ${\vec {F}}_{\mathrm {C} }$:

${\vec {F}}_{\mathrm {C} }=-2m\left({\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'\right)$

Fasst man die äußere Kraft und die Trägheitskräfte zu der im rotierenden Bezugssystem wirkenden Kraft ${\vec {F}}\,'$ zusammen, erhält man die Newtonsche Bewegungsgleichung im rotierenden Bezugssystem:

$m{\vec {a}}'={\vec {F}}\,'$

Herleitung mit dem Lagrange-Formalismus

Im Lagrange-Formalismus ist die Lagrangefunktion $L$ die Differenz aus kinetischer Energie und potentieller Energie. Unter Vernachlässigung eines Potentials ist

$L={\tfrac {1}{2}}m{\vec {v}}^{2}={\tfrac {1}{2}}m({\vec {v}}'+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')^{2}\,.$

Nach den Euler-Lagrange-Gleichungen ist

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\vec {v}}}}-{\frac {\partial L}{\partial {\vec {r}}}}=0\,.$

Da die Euler-Lagrange-Gleichungen invariant unter einer Koordinatentransformation sind, ist irrelevant, ob nach den Größen im bewegten Bezugssystem $K'$ oder nach den Größen im Inertialsystem $K$ abgeleitet wird. Es folgt also im bewegten Bezugssystem für die beiden Terme

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\vec {v}}'}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}m({\vec {v}}'+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')=m{\vec {a}}'+m{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'+m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'$

und

${\frac {\partial L}{\partial {\vec {r}}'}}=m{\vec {v}}'\times {\vec {\omega }}+m({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')\times {\vec {\omega }}\,.$

In die Euler-Lagrange-Gleichung eingesetzt und umgestellt nach $m{\vec {a}}'$ ist

$m{\vec {a}}'=-m{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}'-m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}')-2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'$

die Auflistung aller Kräfte im rotierenden Bezugssystem, die zusätzlich zu den durch das Potential bereits im Inertialsystem bewirkten Kräften auftreten. Wie in der kinematischen Herleitung ist der erste Term die Eulerkraft, der zweite die Zentrifugalkraft und der letzte Term die Corioliskraft, ${\vec {F}}_{\mathrm {C} }=-2m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}'$.

Formal gilt die Newtonsche Bewegungsgleichung $m{\vec {a}}={\vec {F}}$ also auch im rotierenden Bezugssystem, wenn Scheinkräfte berücksichtigt werden.

Corioliskraft aufgrund der Erdrotation

Bewegung auf der Erdoberfläche und Coriolisparameter

Kartesisches Koordinatensystem mit dem Ursprung auf der geographischen Breite $\varphi$ eines rotierenden Himmelskörpers von Westen aus gesehen

Corioliskraft bei Bewegungen horizontal zur Erdoberfläche (Vorzeichen beachten)

Der Coriolisparameter in Abhängigkeit vom Breitengrad

Auf jedes Objekt, das sich auf der Erde bewegt, wirkt die Corioliskraft, da die Erde ein rotierendes System darstellt. Ausgenommen sind lediglich Bewegungen parallel zur Erdachse, z. B. an den Polen die vertikalen Bewegungen nach oben oder nach unten, am Äquator die horizontalen Bewegungen genau nach Norden oder nach Süden.

Für die Betrachtung von Bewegungen in beliebiger geographischer Breite $\varphi$ ist es sinnvoll, den Vektor der Winkelgeschwindigkeit der Erde ${\vec {\omega }}$ in eine horizontale Komponente ${\vec {j}}$ und eine vertikale Komponente ${\vec {k}}$ zu zerlegen. Es gilt dann:

$\ j=\omega \cos \varphi$ und $\ k=\omega \sin \varphi$

Die horizontale Komponente führt zu einer Komponente der Coriolisbeschleunigung ${\vec {a}}_{v}$ , die eine vertikale Ablenkung bewirkt; die vertikale Komponente k führt zu einer Komponente der Coriolisbeschleunigung ${\vec {a}}_{h}$ , die eine horizontale Ablenkung bewirkt:

${\vec {a}}_{v}=-2\,({\vec {j}}\times {\vec {v}}')$

${\vec {a}}_{h}=-2\,({\vec {k}}\times {\vec {v}}')$

Wegen

$\ j=\omega \cos \varphi$ und $\ k=\omega \sin \varphi$

spielt die horizontale Komponente ${\vec {a}}_{h}$ in den höheren geographischen Breite eine wichtigere Rolle, während äquatornah hauptsächlich nur die vertikale Komponente ${\vec {a}}_{v}$ wirksam ist.

Mit dem Coriolisparameter

$\textstyle f_{\mathrm {C} }=2\,\omega \,\sin \varphi$

ergibt sich für horizontale Bewegungen der Betrag der horizontalen Komponente der Coriolisbeschleunigung

${\vec {a}}_{\mathrm {C} ,||}={\frac {{\vec {a}}_{\mathrm {C} }({\vec {r}}\times {\vec {v}}')}{|{\vec {r}}\times {\vec {v}}'|^{2}}}{\vec {r}}\times {\vec {v}}'$ als ${\vec {a}}_{\mathrm {C} ,||}=f_{\mathrm {C} }\,v'$

und die Richtung so, dass $\textstyle (\operatorname {sgn}({\vec {\omega }}{\vec {r}}){\vec {r}},{\vec {v}}',{\vec {a}}_{\mathrm {C} ,||})$ ein Rechtssystem bildet.

Die Erdrotation (eine Umdrehung in 23 Stunden 56 Minuten 4,09 Sekunden = 1 Sterntag = 86164,09 s) erfolgt mit einer Winkelgeschwindigkeit von $\textstyle \omega ={\frac {2\pi }{86164,09\,\mathrm {s} }}=7{,}2921\cdot 10^{-5}\,{\frac {\mathrm {1} }{\mathrm {s} }}.$ Damit nimmt der Coriolisparameter in mittleren Breiten eine typische Größenordnung von $\textstyle f_{\mathrm {c} }\approx \,10^{-4}\,{\mathrm {s} }^{-1}$ an.

Corioliskraft und Druckgradienten am Beispiel eines Tiefdruckgebietes auf der Nordhalbkugel.
Rot – horizontale Komponente der Corioliskraft
Blau – Druckgradientkraft

Horizontale Bewegungen

Bei einer horizontalen Bewegung auf der Erdoberfläche hat die Corioliskraft im Allgemeinen eine Horizontal- und eine Vertikalkomponente. Die Horizontalkomponente zieht einen horizontal bewegten Körper auf der Nordhalbkugel aus der Bewegungsrichtung nach rechts, auf der Südhalbkugel nach links, und verschwindet am Äquator. Sie wirkt umso stärker, je schneller der Körper sich bewegt, und je näher er dem Nord- oder Südpol ist. Ihre Stärke ist aber unabhängig von der Richtung, in der der Körper sich horizontal bewegt. Daher werden geradlinige Bewegungen auf der Erdoberfläche zu Kreisen, und die Drehung des Foucaultschen Pendels erfolgt mit konstanter Winkelgeschwindigkeit.

Die horizontale Corioliskraft hat wesentlichen Einfluss auf die Formen der großräumigen Bewegungen in der Atmosphäre und im Ozean. Theoretisch berücksichtigt wurde dies erstmals in der von Laplace (1775/76) aufgestellten Gezeitentheorie. Des Weiteren modifiziert die Corioliskraft den Wind und seinen Einfluss auf die Meeresströmungen, wie um 1905 von Vagn Walfrid Ekman erklärt wurde (siehe Ekman-Transport und Korkenzieherströmung). Allgemein wird der Einfluss der Corioliskraft auf bestimmte Bewegungen im Meer und in der Atmosphäre durch die dimensionslose Rossby-Zahl charakterisiert. Je kleiner diese ist, umso stärker ist die Bewegung durch Corioliskraft geprägt.

Die Vertikalkomponente der Corioliskraft ist neben der Schwerkraft, die parallel zu ihr wirkt, meist vernachlässigbar schwach und spielt in der Praxis nur als Korrekturglied bei Präzisionsmessungen des Erdschwerefeldes eine Rolle. Sie verschwindet an den Polen und ist maximal am Äquator. Sie macht z. B. ein Flugzeug, das dort mit Schallgeschwindigkeit nach Osten fliegt, um annähernd ein Tausendstel seines Gewichts leichter – fliegt es nach Westen, wird es entsprechend schwerer. In der Geophysik bezeichnet man daher bei der Beschreibung der rein horizontalen Ozean- oder Luftströmungen die horizontale Komponente der vollen Corioliskraft meist allein schon als „die Corioliskraft“. Für sie gilt, wie für das oben erläuterte Beispiel der horizontalen Drehscheibe, dass die Corioliskraft stets quer zur Bewegungsrichtung wirkt und dass ihre Stärke nicht von der Bewegungsrichtung abhängt. Die vertikale Komponente wird als Eötvös-Effekt bezeichnet.

Einfluss der Corioliskraft auf die Luftströmungen

Auswirkung der Corioliskraft auf ein großskaliges Windsystem, hier Tiefdruckgebiet bei Island (Nordhalbkugel)

Die Corioliskraft ist dafür verantwortlich, dass großräumig betrachtet die Luftmassen von Hochdruckgebieten nicht einfach zu Tiefdruckgebieten strömen, wie es das Druckgefälle nahelegt, sondern Spiralbahnen beschreiben.

Allgemein dreht sich die Luft auf der Nordhalbkugel um Hochdruckgebiete im Uhrzeigersinn, um Tiefdruckgebiete gegen den Uhrzeigersinn. Auf der Südhalbkugel ist dies genau umgekehrt. Diese Wirbel entstehen dadurch, dass die vom Druckgefälle vom Hochdruckgebiet zum Tiefdruckgebiet hin beschleunigte Luft durch die Corioliskraft abgelenkt wird, auf der Nordhalbkugel nach rechts. Die Luft verlässt das Hochdruckgebiet daher in Form eines rechts drehenden Wirbels, also im Uhrzeigersinn. Um das Tiefdruckgebiet entsteht aus dem gleichen Grund ein linksdrehender Wirbel. Die dort hineinströmende Luft wird nach rechts abgelenkt und kann sich dem Zentrum nur in dem Maß nähern, in dem das Druckgefälle eine Linkskurve verursacht. Das sich ergebende Strömungsbild lässt sich durch das geostrophische Gleichgewicht zwischen dem horizontalen Druckgefälle und der Corioliskraft erklären: In einem Wirbel, der sich um ein Tiefdruckgebiet gegen den Uhrzeigersinn dreht, wirkt die Corioliskraft nach außen und kompensiert die nach innen gerichtete Kraft, die vom Druckgefälle verursacht ist. Da am Äquator die Winkelgeschwindigkeit parallel zur Erdoberfläche ist, ist dort die horizontale Komponente der Corioliskraft nicht wirksam, dynamische Hoch- und Tiefdruckgebiete können in Äquatornähe nicht existieren.

Das geostrophische Gleichgewicht formt nur die großskaligen Wettermuster. Auf die Drehrichtung im kleinräumigen Bereich, beispielsweise von Tornados hat die Corioliskraft keinen wesentlichen Einfluss, da in diesen die Trägheitskräfte größenmäßig die Corioliskraft weit überwiegen. Weiterhin spielt die Corioliskraft auch bei der Bildung der Rossbywellen und der verschiedenen äquatorialen Wellen eine wichtige Rolle.

Corioliskraft und Eisenbahn

Im Schienenverkehr führt die Corioliskraft dazu, dass bei gerader Strecke die in Fahrtrichtung rechts liegende Schiene auf der Nordhalbkugel geringfügig stärker belastet wird als die linke. Der Effekt ist jedoch so klein, dass er gegenüber geringfügigen Krümmungen und Höhenunterschieden beider Schienen, die ebenfalls eine ungleichmäßige Belastung zur Folge haben, keine technische Relevanz hat.

Ein Zug (z. B. ein ICE 3 mit 400 t Masse), der bei einer geografischen Breite von 51 Grad (Köln) mit einer Geschwindigkeit von 250 km/h fährt, erfährt eine Corioliskraft von 3.200 N nach rechts. Dies ist weniger als ein Promille der Gewichtskraft. Hat der Zug acht Wagen mit je vier Achsen, wird jedes rechte Rad mit einer Corioliskraft von ca. 100 N nach rechts gegen die Schiene gedrückt. Im Vergleich dazu ergibt sich bei dieser Geschwindigkeit und bei einem Kurvenradius von 3.000 m die zur Kurvenfahrt erforderliche Zentripetalkraft auf jedes Rad zu 20.000 N, also 200-mal so viel wie die Corioliskraft.

Einfluss der Corioliskraft auf die Wasserströmungen

Da die horizontale Corioliskraft von der Himmelsrichtung einer horizontalen Bewegung unabhängig ist, beschreibt eine Luft- oder Wassermasse, die sich in einem mitrotierenden Bezugssystem mit der horizontalen Geschwindigkeit $v$ bewegt, ohne Einfluss anderer Kräfte „Trägheitskreise“ mit Radien von $R={\tfrac {v}{f_{C}}}.$ In mittleren Breiten mit Werten des Coriolisparameters von $f_{C}=10^{-4}\,\mathrm {s} ^{-1}$ und einer typischen Meeres-Strömungsgeschwindigkeit von $10^{-1}{\tfrac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$ ergibt sich ein Radius von $R=1\,\mathrm {km} .$ Die Bewegung erfolgt auf der Nordhalbkugel im Uhrzeigersinn, auf der Südhalbkugel entgegen dem Uhrzeigersinn. Die Periode der Umlaufbewegung ist $T={\tfrac {2\pi }{f_{C}}},$ z. B. bei 60 Grad geographischer Breite rund 15 Stunden. Sie wurden z. B. bei frei schwimmenden Bojen in der Ostsee beobachtet, die zunächst einer durch starke Winde angefachten Oberflächenströmung folgten, nach dem Abflauen des Windes aber Kreisbahnen bzw. Zykloiden (da eine Strömung der Kreisbewegung überlagert war) beschrieben. Die Corioliskraft bestimmt auch den Umlaufsinn der Gezeitenwelle im tiefen Ozean, was entlang einer Küste zu unterschiedlichen Hoch- und Niedrigwasserzeiten führt.

Corioliskraft und Foucaultsches Pendel

→ Hauptartikel: Foucaultsches Pendel

Die Corioliskraft bewirkt auf der Nordhalbkugel die Drehung des Schwingungsebene des Foucaultschen Pendels im Uhrzeigersinn, da das Pendel durch die Corioliskraft ständig nach rechts gezogen wird. Am Pol dreht sich die Schwingungsebene pro Tag einmal um 360 Grad und nimmt mit dem Sinus der geografischen Breite zum Äquator hin auf Null ab. Auf der Südhalbkugel ändert sich das Vorzeichen des Sinus und das Pendel dreht sich gegen den Uhrzeigersinn.

Erosion von Flussufern

Die Corioliskraft führt auch dazu, dass auf der Nordhalbkugel diejenigen Flussufer, die in Fließrichtung rechts liegen, im Mittel stärker erodiert werden als die linken. Dieses Phänomen wurde erstmals im Jahre 1763 von Michail Wassiljewitsch Lomonossow beschrieben. Erste Erklärungen stammten von Pjotr Andrejewitsch Slowzow (1827) und Karl Ernst von Baer (1856). Obwohl diese Forscher glaubten, der Effekt trete nur bei Flüssen auf, die von Süden nach Norden fließen, wird der Effekt bis heute als Baersches Gesetz bezeichnet. Dass der Effekt tatsächlich von der Fließrichtung unabhängig ist, formulierte 1859 erstmals Jacques Babinet und später Albert Einstein (1926).

Vertikale Bewegungen

Außer an den Polen haben vertikale Bewegungen auf der Erdoberfläche einen senkrecht zur Erdachse gerichteten Anteil. Dieser erzeugt eine Corioliskraft, die bei einer Abwärtsbewegung nach Osten, bei einer Aufwärtsbewegung nach Westen gerichtet ist.

Lässt man einen Gegenstand fallen, wird er auf der gesamten Erde aufgrund der Corioliskraft nach Osten, d. h. in Drehrichtung der Erde, abgelenkt. Frühe Messungen dieses Effektes stammen von Giovanni Battista Guglielmini (1791) in Bologna, Johann Friedrich Benzenberg (1802) in der Hamburger Michaeliskirche und Ferdinand Reich (1832) in Freiberg. Die Resultate von Benzenbergs Versuchen stimmten mit den Werten, die Laplace und Gauß berechnet hatten, in etwa überein.

Siehe auch: Fallexperimente zum Nachweis der Erdrotation

Das Gedankenexperiment von Mersenne

Eine alte Frage, über die schon im 17. Jhdt. Marin Mersenne spekulierte, ist die, wo eine senkrecht nach oben geschossene Kanonenkugel wieder am Boden ankommt – ohne Berücksichtigung von Luftbewegung und Luftwiderstand. Durch die Corioliskraft wird die Kugel während der Aufwärtsbewegung nach Westen und während der Abwärtsbewegung nach Osten beschleunigt. Dadurch entsteht beim Aufstieg eine westliche Geschwindigkeitskomponente, die im Umkehrpunkt ihr Maximum erreicht, und beim Abstieg wegen der ostwärts gerichteten Corioliskraft gleichermaßen wieder abnimmt. Unten erreicht sie wieder den Wert Null. So hat während des gesamten Fluges die Geschwindigkeit eine nach Westen gerichtete Komponente. Im Ergebnis wird die Kugel daher nach Westen abgelenkt. Bei 50° geographischer Breite beträgt bei einer Anfangsgeschwindigkeit von 100 m/s (Steighöhe ca. 500 m) die Westablenkung theoretisch 65 cm.

Bei reinen Aufwärtsbewegungen auf der rotierenden Erde wirkt die Corioliskraft nach Westen, beim senkrechten freien Fall wirkt sie nach Osten. Ihr Betrag ist:

$F_{\mathrm {C} }=2\cdot m\cdot \omega \cdot v'\cdot \cos B.$

Ein über die Länge $L$ frei fallender Körper erfährt aufgrund der Corioliskraft eine Ostablenkung von:

$D_{\text{Ost}}={\frac {2}{3}}\,\omega \cdot {\sqrt {\frac {2\cdot L}{g}}}\cdot L\cdot \cos B.$

Eine mit der Anfangsgeschwindigkeit $v_{0}$ senkrecht nach oben geschossene Kugel wird zunächst nach Westen abgelenkt um den Betrag:

$D_{\text{West}}={\frac {2}{3}}\,\omega \cdot {\frac {v_{0}^{3}}{g^{2}}}\cos B.$

Hat sie die Steighöhe $h_{\text{Steig}}={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}$ erreicht, so besitzt sie eine Westgeschwindigkeit von $v_{\text{West}}=\omega {\frac {v_{0}^{2}}{g}}\cos B.$ Beim Herunterfallen der Kugel muss man deshalb zusätzlich zur obigen Formel noch den Beitrag $-v_{\text{West}}\cdot {\frac {v_{0}}{g}}$ zur Ostablenkung berücksichtigen:

$D_{\text{Ost}}=\left({\frac {2}{3}}\,\omega \cdot {\sqrt {\frac {2\cdot h_{\text{Steig}}}{g}}}\cdot h_{\text{Steig}}-\omega {\frac {v_{0}^{3}}{g^{2}}}\right)\cdot \cos B.$

Der gesamte Versatz ergibt sich aus der Differenz der beiden Ausdrücke nach Vereinfachungen zufolge der Gesetze für die Steig- und Fallzeiten zu einer effektiven Abweichung nach Westen um

$D_{\text{West}}={\frac {4}{3}}\,\omega \cdot {\frac {v_{0}^{3}}{g^{2}}}\cos B.$

g ist dabei jeweils die Erdbeschleunigung.

Am Äquator ist der Versatz am größten ($\cos B=1$). Wegen $\cos(-B)=\cos(B)$ ergibt sich kein Unterschied zwischen Nord- und Südhalbkugel.

Berechnung und Spezialfälle

Rotationsebene, Winkelgeschwindigkeit und Geschwindigkeit

Die Coriolisbeschleunigung ${\vec {a}}_{\mathrm {C} }$ erfährt ein Körper, der sich in einem rotierenden Bezugssystem bewegt. Dafür gilt allgemein die Formel: ${\vec {a}}_{\mathrm {C} }=-2\,({\vec {\omega }}\times {\vec {v}}')$ . In den typischen Koordinatendarstellungen bei rotierenden Systemen stellen sich die Formeln so dar:

Zylinderkoordinaten	Kugelkoordinaten	geografische Koordinaten
${\begin{pmatrix}a_{\mathrm {C} ,\rho }\\a_{\mathrm {C} ,\phi }\\a_{\mathrm {C} ,z}\end{pmatrix}}=-2\,\omega {\begin{pmatrix}-\,v_{\phi }\\v_{\rho }\\0\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}a_{\mathrm {C} ,r}\\a_{\mathrm {C} ,\theta }\\a_{\mathrm {C} ,\varphi }\end{pmatrix}}=-2\,\omega {\begin{pmatrix}-\,v_{\varphi }\sin \theta \\-v_{\varphi }\cos \theta \\v_{r}\sin \theta +v_{\theta }\cos \theta \end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}a_{\mathrm {C} ,h}\\a_{\mathrm {C} ,B}\\a_{\mathrm {C} ,\lambda }\end{pmatrix}}=-2\,\omega {\begin{pmatrix}-\,v_{\lambda }\cos B\\-v_{\lambda }\sin B\\v_{h}\cos B-v_{B}\sin B\end{pmatrix}}$

Dabei ist

• $\omega$ der Betrag der Winkelgeschwindigkeit des Bezugssystems und
• ${\vec {v}}'$ der Geschwindigkeitsvektor der Bewegung des Körpers, relativ zum rotierenden Bezugssystem, und dabei bezeichnen
  • bei den Zylinderkoordinaten der Index $z$ die Komponente parallel zur Rotationsachse ${\vec {\omega }}$ und die Indizes $\rho$ und $\phi$ die radiale und tangentiale Komponenten senkrecht zur Rotationsachse,
  • bei den Kugelkoordinaten der Index $r$ den Abstand zum Ursprung und die Indizes $\varphi$ und $\theta$ den Azimut- und Polarwinkel,
  • bei den geografischen Koordinaten der Index $h$ den Abstand zur Kugeloberfläche und die Indizes $B$ und $\lambda$ die geografische Breite und Länge.

Wenn die Bewegung in einer Ebene senkrecht zur Drehachse stattfindet, liegt die Corioliskraft ebenfalls in dieser Ebene und der Winkel zwischen dem Geschwindigkeitsvektor und der Drehachse bleibt konstant bei 90°. Anstatt einer Berechnung des Kreuzprodukts der Geschwindigkeits- und Winkelgeschwindigkeitsvektoren kann zur Bestimmung der Stärke der Corioliskraft mit deren Beträgen gerechnet werden und es gilt:

$F_{\mathrm {C} }=2m\omega \,v'$

Corioliskraft in der Technik

Bei einer rotierten Stimmgabel bewegen sich die Zinken zusätzlich zur normalen Bewegung seitlich aneinander vorbei. Diese Bewegung beruht auf der Corioliskraft.

Corioliskräfte sind in der Technik dann von Bedeutung, wenn eine Drehbewegung von einer zweiten Bewegung „überlagert“ wird. Dies ist beispielsweise bei einem Roboter der Fall, der sich dreht und gleichzeitig seinen Greifarm ausfährt.

• Wenn eine Last am Ausleger eines Krans nach innen oder außen fährt, während der Kran sich dreht, hängt sie aufgrund der Corioliskraft nicht senkrecht nach unten, sondern wird seitlich ausgelenkt. Wird die Last längs des Auslegers nach innen eingefahren, eilt sie der Drehung des Krans voraus.

• In der Getriebetechnik (Koppelgetriebe) und in der Robotik spielen die Corioliskräfte eine Rolle, da auch hier gleichzeitige Bewegungen entlang mehrerer Freiheitsgrade erfolgen. Benutzt man zur Vereinfachung der Beschreibung rotierende Bezugssysteme, treten für Bewegungen in diesen Bezugssystemen Corioliskräfte auf.

• Zur Messung des Massenstromes durchströmender Flüssigkeiten oder Gase verwendet man den Coriolis-Massendurchflussmesser. Das Messrohr wird in Schwingungen versetzt. Diese werden im Ein- und Auslauf gemessen und verglichen. Bei der Corioliswaage wird vor allem Schüttgut durch die Messung der Änderung des benötigten Drehmoments eines Rotortellers vermessen.

• Bei Kreiselpumpen wird das Medium vom meist axial gelegenen Ansaugkanal durch das Pumpenrad in Rotation versetzt und durch die Zentrifugalkraft nach außen zum Ausgang geschleudert. Dabei übt das Medium Corioliskräfte auf das Pumpenrad aus, wodurch sich ein Bremsmoment für den Antrieb ergibt. Die effektiv aufgewendete Energie der Pumpe ist also etwa proportional zum radial verlaufenden Massenstrom, dem Radius des Pumpenrades und der Drehzahl (Verwirbelungen, Rückströmungen und Reibung außer Acht gelassen).

• Einige Drehratensensoren zur Messung von Drehgeschwindigkeiten nutzen die Corioliskraft in Form des sogenannten „Stimmgabelprinzips“, das im nebenstehenden Bild erläutert wird. Aufgrund der Drehbewegung bewegen sich die Zinken der Stimmgabel nicht nur aufeinander zu, sondern sie führen zusätzlich seitliche Bewegungen zueinander aus, die durch die Corioliskraft verursacht werden. Die seitliche Auslenkung ist näherungsweise proportional zur Drehgeschwindigkeit und kann beispielsweise durch eine kapazitive oder induktive Messung erfasst werden.

Experimenteller Zugang

Am Teufelsrad, das als Fahrgeschäft um 1910 aufkam und nur mehr an wenigen Orten betrieben wird, kann an der eigenen Körperbewegung die Corioliskraft erfahren werden. Ebenso am Drehhocker, wenn durch Heranziehen der Arme der Pirouetteneffekt ausgelöst wird. Hierbei wirkt die mit der Erhöhung der Winkelgeschwindigkeit verbundene Trägheitskraft allerdings der Corioliskraft entgegen und hebt sie im Extremfall eines kreisenden Massenpunktes sogar ganz auf.

Historische Aufsätze

• Karl Ernst von Baer: Über ein allgemeines Gesetz in der Gestaltung der Flußbetten. In: Kaspische Studien. Nr. VIII, 1860, S. 1–6.
• Johann Friedrich Benzenberg: Versuche über das Gesetz des Falles, den Widerstand der Luft und die Umdrehung der Erde. Dortmund 1804, 2. Auflage, Hamburg 1824.
• Gaspare Coriolis: Memoire sur les équations du mouvement relatif des systèmes de corps. In: Journal de l’École polytechnique. Nr. 15, 1835, S. 142–154 (online [PDF]). 
• Adrian Gill: Atmosphere-Ocean Dynamics (International Geophysics). Academic Pr Inc, 1982, ISBN 0-12-283522-0. 
• Pierre Simon Laplace: Recherches sur plusieurs points du système du monde. In: Mémoires de l’Académie Royale des Sciences. Band 88, 1775, S. 75–182 (online). 
  Zu dieser Quelle sollte man die Fußnote 12 in „The Coriolis Effect: Four centuries of conflict between common sense and mathematics“
• Ferdinand Reich: Fallversuche über die Umdrehung der Erde: angestellt in dem Brüderschachte bei Freiberge. Freiberg 1832.

Literatur

• A. O. Persson: The Coriolis Effect: Four centuries of conflict between common sense and mathematics. Part I: A history to 1885. In: History of Meteorology. Band 2, 2005, S. 1–24.
• Henry M. Stommel, Dennis W. Moore: An introduction to the Coriolis force. Columbia University Press, New York 1989, ISBN 0-231-06637-6.
• Halliday-Resnick-Walker: Halliday Physik. 2. Auflage. Wiley-VCH, 2009, S. 154 ff.

Weblinks

Wiktionary: Corioliskraft – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wikibooks: Corioliskraft – Lern- und Lehrmaterialien

• Seltsamer Strudel. Mythos der Drehrichtung von Wasserstrudeln auf der nördlichen und südlichen Hemisphäre; zeit.de, 12. Mai 1997.
• Was ist die Coriolis-Kraft? aus der Fernseh-Sendereihe alpha-Centauri (ca. 15 Minuten). Erstmals ausgestrahlt am 11. Mai 2005.
• Video: Coriolis- und Zentrifugalkraft im rotierenden Bezugssystem. Institut für den Wissenschaftlichen Film (IWF) 2007, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.3203/IWF/C-13095.