Harmonischer Oszillator

Allgemeines

Ein harmonischer Oszillator ist ein physikalisches Modellsystem mit parabolischem Potential, dessen rücktreibende Kraft also harmonisch ist. Bei einer Auslenkung $x$ aus der Ruhelage wirkt folglich eine rücktreibende Kraft, die linear in $x$ ist. Das Potential des harmonischen Oszillators wird meist harmonisches Potential genannt.

Datei:HO-Potetialkurve.png

Potentialkurve eines harmonischen Oszillators

In vielen Bereichen der theoretischen Physik nimmt der harmonische Oszillator einen paradigmatischen Stellenwert ein, da er eines der wenigen nichttrivialen exakt lösbaren Modelle darstellt und zudem fast alle schwingenden Systeme in niedrigster, d.h. quadratischer Näherung des Potentials um den Gleichgewichtspunkt einem harmonischen Oszillator entsprechen.

klassische Mechanik

Die zeitliche Bewegungsdynamik eines harmonischen Oszillators bezeichnet man als harmonische Schwingung. Man erhält sie mathematisch als Lösung der zugehörigen Newton'schen Bewegungsgleichung.

Beispiele sind

• das Federpendel
• das Fadenpendel bei kleiner Auslenkung

statistische Physik

In der statistischen Physik führen harmonische Potentiale auch zu exakt lösbaren Modellen. Beispiele hierfür sind

• das Einsteinmodell und das Debeye-Modell fuer Phononen in Kristalle
• das Gauß'sche Polymermodell

Quantenmechanik

Das Einsetzen des harmonischen Potentials in die Schrödingergleichung führt zu diskreten Energieeigenwerten:

$E_{n}=\hbar \omega (n+{\frac {1}{2}}).$

Dabei ist $\hbar$ das Plancksche Wirkungsquantum, $\qquad \omega$ die Eigenfrequenz des Oszillators und n eine natürliche Zahl, also n = 0 , 1 , 2 , ....

Dies hat zwei fundamentale Folgen:

1. Der harmonische Oszillator kann nicht mehr beliebige Energiemengen aufnehmen, sondern nur noch ganzzahlige Vielfache von $\hbar \omega$.
2. Der niedrigste Energiezustand (n = 0) hat nicht die Energie Null, sondern

$E_{0}={\frac {1}{2}}\hbar \omega .$

Da die Wellenfunktion bei dieser Energie bereits eine gewisse Breite hat, ist der Ort nicht genau bestimmt (siehe dazu auch Unschärferelation bzw. Nullpunktsschwingung). Die allgemeinen Lösungsfunktionen sind die entsprechend normierten Hermite'schen Funktionen.

Anwendungsbeispiele:

• in der Molekülphysik: Bindungen, Schwingungsspektren
• in der Festkörperphysik: Phononen