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Alternierende Reihe

Alternierende Reihen sind unendliche Reihen und gehören als solche in das mathematische Teilgebiet der Analysis.

Definition

Eine alternierende Reihe (englisch englisch alternating series) ist eine unendliche Reihe, deren Reihenglieder aus reellen Zahlen bestehen, die abwechselndes Vorzeichen haben.

Es handelt sich also um eine Reihe, die in der Form

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}a_{k}$   oder   $\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}a_{k}$

dargestellt werden kann, wobei die $a_{k}\geq 0$ sind. Oft wird zusätzlich gefordert, dass die Folge $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ bzw. $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$monoton fallend sein soll.

Darstellung von Konstanten mittels alternierender Reihen

Viele Konstanten in der Analysis haben aussagekräftige Reihendarstellungen und gewinnen ihr Interesse nicht zuletzt aus Darstellungen mittels alternierender Reihen. Im Folgenden werden einige herausragende Beispiele aufgeführt.

Zum natürlichen Logarithmus von 2

Zu den immer wieder genannten Standardbeispielen für alternierende Reihen gehört die alternierende harmonische Reihe

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+-\ldots =\ln 2$,

die im Gegensatz zur (divergenten!) harmonische Reihe nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert.

Zur eulerschen Zahl

Ein anderes gängiges Beispiel ist die alternierende Reihe für den Kehrwert der eulerschen Zahl. Man hat nämlich:

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+-\ldots ={\frac {1}{e}}$.

Zur Kreiszahl

Ein weiteres Standardbeispiel ist auch die Leibnizsche Reihe, welche eine Reihenentwicklung der Kreiszahl beinhaltet:

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+-\ldots ={\frac {\pi }{4}}$.

Zur Kreiszahl gibt es eine ganze Anzahl weiterer alternierender Reihen wie etwa

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k^{2}}}=1-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+-\ldots ={\frac {{\pi }^{2}}{12}}$

und

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k^{4}}}=1-{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}-{\frac {1}{4^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+-\ldots ={\frac {{7\cdot \pi }^{4}}{720}}$

und

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{(2k-1)^{3}}}=1-{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}-{\frac {1}{7^{3}}}+{\frac {1}{9^{3}}}+-\ldots ={\frac {{\pi }^{3}}{32}}$ .

Zur Wurzel von 2

Zwei Beispiele gibt es zur Wurzel der natürlichen Zahl $2$, die sich aus der Binomialreihe ergeben:

$\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {\binom {2k}{k}}{2^{2k}(2k-1)}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 4}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}+-\ldots ={\sqrt {2}}-1$

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\binom {2k}{k}}{2^{2k}}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}+-\ldots ={\frac {1}{\sqrt {2}}}$

Zum goldenen Schnitt

Die goldene Zahl $\Phi$ liefert folgendes Beispiel:

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k^{2}{\binom {2k}{k}}}}={\frac {1}{1\cdot 2}}-{\frac {1}{4\cdot 6}}+{\frac {1}{9\cdot 20}}-{\frac {1}{16\cdot 70}}+-\ldots =2\cdot {\ln(\Phi )}^{2}$

Den engen Zusammenhang mit den Fibonacci-Zahlen $\left(f_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} _{0}}=(1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,\ldots )$ belegt auch die Gleichung

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{f_{k}}}=3{,}3598856662\ldots ={\sqrt {5}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{{\Phi }^{2n+1}-(-1)^{n}}}$.

Zur Apéry-Konstante

Die Apéry-Konstante, also der Funktionswert der riemannschen Zetafunktion für das Argument $x=3$, liefert ebenfalls Beispiele:

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k^{3}{\binom {2k}{k}}}}={\frac {1}{1\cdot 2}}-{\frac {1}{8\cdot 6}}+{\frac {1}{27\cdot 20}}-{\frac {1}{64\cdot 70}}+-\ldots ={\frac {2}{5}}\cdot \zeta (3)$

Weiterhin gilt die folgende Reihendarstellung:

$\sum _{k=1}^{\infty }\left((-1)^{k-1}\cdot {\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{km(k+m)}}}\right)=\sum _{k,m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{km(k+m)}}={\frac {5}{8}}\cdot \zeta (3)$.

Zur catalanschen Konstante

Die catalansche Konstante ist sogar als alternierende Reihe definiert, und zwar als die folgende :

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)^{2}}}=1-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+-\ldots =G$

Zur Cahen-Konstante

Als weiteres Beispiel ist die Cahen-Konstante

$c=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{s_{k}-1}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{1806}}-{\frac {1}{3263442}}+-\ldots =0{,}6434105462\ldots$

zu erwähnen, wobei die Folge $\left(s_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} _{0}}$ per Rekursion definiert ist:

$s_{0}=2$

$s_{k+1}={s_{k}}^{2}-s_{k}+1\;(k\in \mathbb {N} _{0})$.

Eng verwandt mit der Cahen'schen Konstante ist die ebenfalls durch eine alternierende Reihe gegebene Konstante

$c^{'}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{s_{k}}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{43}}+{\frac {1}{1807}}-{\frac {1}{3263443}}+-\ldots =2\cdot c-1=0{,}28682109258\ldots$.

Zur Euler-Mascheroni-Konstante

Ein besonders bemerkenswertes Beispiel liefert die Euler-Mascheroni-Konstante $\gamma$ durch eine Darstellung als alternierende Reihe unter Verwendung der Funktionswerte der riemannschen Zetafunktion:

$\gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k}}$.

Zu einer Primzahlkonstanten

Bildet man aus den Kehrwerten der Primzahlen $\left(p_{k}\right)_{k\in \mathbb {N} }=\left(2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,\ldots \right)$ die zugehörige alternierende Reihe, so erhält man:

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{p_{k}}}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-+\ldots =-0{,}2696063519\ldots$.

Zum Integral von x hoch x

Das Integral

$\int _{0}^{1}{x^{x}}\mathrm {d} x=\lim _{t\searrow 0}\int _{t}^{1}{x^{x}}\mathrm {d} x=0{,}7834305107\ldots$

besitzt die Darstellung

$\int _{0}^{1}{x^{x}}\mathrm {d} x=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k^{k}}}=1-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{27}}-{\frac {1}{256}}+{\frac {1}{3125}}+-\ldots$.

Darstellungen von Funktionen mittels alternierender Reihen

Neben den oben schon genannten funktionalen Beispielen gibt es auch weitere, die in der Analysis immer wieder auftreten.

Zur Logarithmusfunktion

Das obige Beispiel zum Logarithmus von $2$ lässt sich verallgemeinern. Hier ergibt sich nämlich für reelle Zahlen $x$ mit $-1<x\leq 1$ die Reihenentwicklung

$\ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {x^{k}}{k}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+-\ldots$,

aus der für nichtnegative $x$ (offenbar) alternierende Reihen hervorgehen.

Zur Kehrwertfunktion

Ein interessantes Beispiel liefert die für reelle $x$ mit $|x|<1$ gebildete geometrische Reihe

$\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}=1-x+x^{2}-x^{3}+-\ldots ={\frac {1}{1+x}}$.

Diese bildet für den Fall $x\geq 0$ eine alternierende Reihe, die jedoch zusätzlich absolut konvergent ist. Hier ist dann die Situation gegeben, dass man die Reihensumme einfach als Summe der nur aus den positiven und der nur aus den negativen Gliedern gebildeten Teilreihen ermittelt, also als Differenz zweier Reihen aus lauter positiven Gliedern.

Zur Arkustangensfunktion

Das obige Beispiel zur Leibnizschen Reihe lässt sich verallgemeinern vermöge der (alternierenden!) Arkustangensreihe für reelle Zahlen $x$ mit $-1\leq x\leq 1$. Hier gilt nämlich:

$\arctan x=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\ldots$.

Zu Sinus und Kosinus

Zu den bedeutenden alternierenden Reihen zählen ebenfalls die Taylorreihen für die reelle Sinus- und Kosinusfunktion:

$\sin(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{(2k+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+-\ldots \;(x\in \mathbb {R} )$

$\cos(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+-\ldots \;(x\in \mathbb {R} )$

Zur riemannschen Zetafunktion und zur dirichletschen Etafunktion

In den Zusammenhang mit der oben genannten alternierenden harmonischen Reihe gehört als weiteres Beispiel die folgende alternierende Reihe, die eng mit der (schon erwähnten) riemannschen Zetafunktion verbunden ist und die als eines von vielen Beispielen einer Dirichletreihe gelten kann. Hier gewinnt man nämlich, wie G. M. Fichtenholz in seiner Differential- und Integralrechnung II darlegt, für reelle Zahlen $x\in \mathbb {R} ^{>1}$ die Darstellung:

$\eta (x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k^{x}}}=1-{\frac {1}{2^{x}}}+{\frac {1}{3^{x}}}-{\frac {1}{4^{x}}}+-\ldots =\left(\ 1-{\frac {1}{2^{x-1}}}\right)\cdot \zeta (x)$.

In ähnlicher Weise hat man für reelle Zahlen $x$ mit $0<x<1$ die Darstellung

$\zeta (x)={\frac {-1}{2^{1-x}-1}}\cdot \eta (x)$

und dann sogar

$\zeta (x)=\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{x}}}-{\frac {n^{1-x}}{1-x}}\right)$.

Zur dirichletschen Betafunktion

Die oben genannten catalansche Konstante $G$ gehört ebenfalls zu einem funktionalen Beispiel. Es handelt sich um die dirichletsche Betafunktion, welche für reelle Zahlen $x\in \mathbb {R} ^{>0}$ als alternierende Reihe

$\beta (x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)^{x}}}=1-{\frac {1}{3^{x}}}+{\frac {1}{5^{x}}}-{\frac {1}{7^{x}}}+{\frac {1}{9^{x}}}+-\ldots$

dargestellt werden kann.

Beispiel einer divergenten alternierende Reihe

Ein Beispiel für eine divergente alternierende Reihen ist

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}\cdot (k+1)}{k}}=2-{\frac {3}{2}}+{\frac {4}{3}}-{\frac {5}{4}}+-\ldots$,

bei dem zu beachten ist, dass die Folge $\left({\frac {k+1}{k}}\right)_{k=1,2,3,\dots ,\infty }$ zwar monoton fallend ist, jedoch den Grenzwert $1$ hat.

Literatur

• Martin Barner, Friedrich Flohr: Analysis I (= de Gruyter Lehrbuch). 5., durchgesehene Auflage. Walter de Gruyter & Co., Berlin, New York 2000, ISBN 3-11-016778-6. 
• I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, Gerhard Musiol, Heiner Mühlig (Hrsg.): Taschenbuch der Mathematik. 10., überarbeitete Auflage. Europa-Lehrmittel, Haan-Gruiten 2016, ISBN 978-3-8085-5790-7. 
• Claudio Canuto, Anita Tabacco: Mathematical Analysis I (= UNITEXT – La Matematica per il 3+2. Band 84). 2. Auflage. Springer International Publishing Switzerland, Cham, Heidelberg, New York, Dordrecht, London 2015, ISBN 978-3-319-12771-2, doi:10.1007/978-3-319-12772-9. }
• Richard Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Erster Band. Funktionen einer Veränderlichen. Neudruck 1948 (der 2. Auflage von 1930). 2. verbesserte Auflage. Springer Verlag, Berlin 1948. 
• G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II. Übersetzung aus dem Russischen und wissenschaftliche Redaktion: Dipl.-Math. Brigitte Mai, Dipl.-Math. Walter Mai (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 62). 6. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1974. 
• Steven R. Finch: Mathematical Constants (= Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Band 94). Cambridge University Press, Cambridge [u. a.] 2003, ISBN 0-521-81805-2 (MR2003519). 
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• Hans Grauert, Ingo Lieb: Differential- und Integralrechnung I. Funktionen einer reellen Veränderlichen (= Heidelberger Taschenbücher. Band 26). 4. verbesserte Auflage. Springer Verlag, Berlin, New York 1976 (MR0430171). }
• H. Jerome Keisler: Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach. 3. Auflage. Dover Publications, Mineola, NY 2012, ISBN 978-0-486-48452-5. 
• Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 2). 5., berichtigte Auflage. Springer Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg, New York 1964, ISBN 3-540-03138-3 (MR0183997). 
• Herbert Meschkowski: Unendliche Reihen. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1982, ISBN 3-411-01613-2 (MR0671586). 

Einzelnachweise

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Anmerkungen

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