Minimalpolynom (Körpertheorie)

Der Begriff Minimalpolynom hat in der Mathematik zwei Bedeutungen: eine in der linearen Algebra und eine in der Körpertheorie.

lineare Algebra

Das Minimalpolynom p einer quadratischen n×n-Matrix A über einem Körper K ist das normierte Polynom kleinsten Grades mit Koeffizienten in K, so dass p(A) = 0 (die Nullmatrix) ist.

Folgende Aussagen für λ aus K sind äquivalent:

• λ ist Nullstelle von p, d.h. p(λ) = 0,
• λ ist Nullstelle des charakteristischen Polynoms von A,
• λ ist ein Eigenwert von A.

Die Vielfachheit einer Nullstelle λ von p ist gleich der geometrischen Vielfachheit des Eigenwerts λ von A und ist die Größe des größten zu λ gehörenden Jordanblocks der Jordanschen Normalform von A.

== Körpertheorie ==Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle Formel hier einfügen}

In der Körpertheorie ist das Minimalpolynom ein Begriff, der bei einerKörpererweiterung auftritt.

Sei L/K eine Körpererweiterung und x ein Element von L. Ein Minimalpolynom m = minpol_K(x) von x über K ist definiert als normiertes Polynom kleinsten Grades mit Koeffizienten in K, das x als Nullstelle hat.

Falls ein Minimalpolynom von x existiert, ist es eindeutig bestimmt, und das Element x heißt algebraisches Element der Erweiterung L/K oder algebraisch über K. Dies erlaubt es, von dem Minimalpolynom zu sprechen.

Fall kein Minimalpolynom von x existiert, dann heißt x transzendent über K.

Beispiel

Betrachte die Körpererweiterung Q(i)/Q mit der imaginären Einheit i. Das Minimalpolynom von i ist $x^{2}+1$, denn es hat i als Nullstelle, ist normiert und jedes Polynom kleineren Grades wäre linear und hätte nur eine Nullstelle in Q.

Das Polynom $x^{3}+x$ ist kein Minimalpolynom irgendeines Elementes irgendeiner Erweiterung, da es sich als $(x^{2}+1)\cdot x$ darstellen lässt, und für keine seiner Nullstellen ein Polynom kleinsten Grades ist.

Eigenschaften

Minimalpolynome sind irreduzibel über dem Grundkörper.

Jedes Polynom mit Koeffizienten im Grundkörper, das ein algebraisches Element x als Nullstelle hat, ist ein (Polynom-)Vielfaches des Minimalpolynoms von x.

Der Grad des Minimalpolynoms von x ist gleich dem Grad der einfachen Erweiterung K(x)/K.

Siehe auch: Zerfällungskörper