Implizite Differentiation

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Die Implizite Differentiation gehört zu den weniger bekannten Ableitungsregeln in der mehrdimensionalen Analysis.

Formal lautet sie: Ist eine Funktion F der Form $F\left(x,y\left(x\right)\right)=0$ gegeben, so lautet die Ableitungsfunktion: $F_{x}+F_{y}y'=0{\mathsf {}}$ oder $y'=-{\frac {F_{x}}{F_{y}}}$ mit $F_{x}={\frac {\partial F}{\partial x}},F_{y}={\frac {\partial F}{\partial y}};F_{y}\neq 0$.

Beispiel

Bilde die erste Ableitung der Funktion $f\left(x\right)=y=x^{x}$. Da sowohl der Exponent als auch die Basis variabel ist, kann keine der üblichen Ableitungsregeln für Potenzen genutzt werden. Implizit leiten wir nun auf folgende Weise ab:

$y=x^{x}{\mathsf {}}$ Um den Exponenten zu eliminieren, machen wir uns eines der Logarithmengesetze zunutze und logarithmieren beide Seiten. $\ln y=x\ln x{\mathsf {}}$ Nun leiten wir ab: $y'{\frac {1}{y}}=\ln x+x{\frac {1}{x}}$ und fassen zusammen: $y'=y(\ln x+1)=x^{x}\left(\ln x+1\right)$.