Trigonometrische Funktion

Mit trigonometrischen Funktionen (Synonym: Winkelfunktionen) bezeichnet man rechnerische Zusammenhänge zwischen Winkel und Seitenverhältnissen (ursprünglich in rechtwinkligen Dreiecken). Tabellen mit Verhältniswerten für bestimmte Winkel ermöglichen Berechnungen bei Vermessungsaufgaben, die Winkel und Seitenlängen in Dreiecken nutzen.

Übersicht der trigonometrischen Funktionen

Die gebräuchlichsten trigonometrischen Funktionen sind

• die Sinusfunktion (abgekürzt sin),
• die Kosinusfunktion (abgekürzt cos) und
• die Tangensfunktion (abgekürzt tan oder tg).

Die Kehrwerte der obigen Funktionen sind ebenfalls trigonometrische Funktionen, sie werden aber seltener benutzt:

• Sekansfunktion (Kehrwert des Kosinus, sec x = 1/cos x)
• Kosekansfunktion (Kehrwert des Sinus, csc x = 1/sin x) und
• Kotangensfunktion (Kehrwert des Tangens, cot oder ctg = cos x/sin x; Verhältnis der An-Kathete zur Gegen-Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck).

Definition

Ursprünglich als Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken und daher nur für Winkel von 0 bis 90 Grad definiert (siehe Sinus, Kosinus, Tangens), können die Winkelfunktionen als Sekanten- und Tangentenabschnitte am Einheitskreis auch auf größere Winkel erweitert werden. Vom Schnittpunkt des einen Winkelschenkels mit dem Einheitskreis werden die Lote auf die beiden Koordinatenachsen gefällt und liefern Sinus und Kosinus des Winkels. Die Tangenten in den Punkten x=1 bzw. y=1 schneiden den Schenkel ebenfalls und liefern dann in der Projektion auf die Achsen den Tangens und den Kotangens. Dabei muss der Schenkel gegebenenfalls rückwärts verlängert werden, um einen Schnittpunkt zu erzielen. Auf diese Weise können jedem Winkel von 0 bis 360 Grad Werte der Winkelfunktionen zugeordnet werden, die nun freilich auch negativ werden können (siehe Abbildung).

Die Vorzeichen der Winkelfunktionen in Abhängigkeit vom Quadranten gibt die folgende Tabelle an:

Quadrant	sin	cos	tan	ctg
I	+	+	+	+
II	+	-	-	-
III	-	-	+	+
IV	-	+	-	-

Eine Tabelle spezieller Werte findet sich unter Reduktionsformeln.

Anwendung der trigonometrischen Funktionen

Hauptsächlich werden die trigonometrischen Funktionen im Vermessungswesen genutzt. Für eine Liste von Formeln zur Berechnung von Größen am Dreieck siehe den Artikel Dreieckstrigonometrie.

Weiterhin sind sie in der Analysis und bei vielen Anwendungen der Physik wichtig. Es besteht eine enge Beziehung zur Exponentialfunktion, die besonders bei Funktionen komplexer Zahlen und in der Taylorreihe der Funktionen sichtbar wird.

Umkehrung der trigonometrischen Funktionen

In manchen Situationen werden die trigonometrischen Winkelfunktionen benötigt, um aus Seitenverhältnissen Winkel zu berechnen. Dazu werden die Arcus-Funktionen oder inverse Winkelfunktionen arcsin, arccos, arctan und arccot- die Umkehrfunktionen zu den trigonometrischen Funktionen - verwendet. Auf Taschenrechnern sind sie häufig (irreführenderweise) mit sin^-1 usw. bezeichnet, was die Umkehrung zu sin andeuten solle.

Die Arcus-Funktionen werden verwendet, um zu einem Seitenverhältnis den Winkel zu berechnen. Wegen der Symmetrie der trigonometrischen Funktionen ist bei ihnen zu klären, in welchem Quadrant der gesuchte Winkel liegt.

• Siehe http://www.mathe-online.at/mathint/lexikon/i.html#inverseWinkelfunktionen

Funktionale Zusammenhänge

Gegenseitige Darstellung

Die Trigonometrischen Funktionen lassen sich ineinander umwandeln oder gegenseitig darstellen. Es gelten folgende Zusammenhänge:

$\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}$

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1$

$1+\tan ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x$

$1+\cot ^{2}x={\frac {1}{\sin ^{2}x}}=\csc ^{2}x$

Mittels dieser Gleichungen lassen sich die drei vorkommenden Funktionen durch eine der beiden anderen darstellen:

$\sin x={\sqrt {1-\cos ^{2}x}}$ für $x\in \left[0^{\circ };\;180^{\circ }\right]$

$\sin x=-{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}$ für $x\in \left[180^{\circ };\;360^{\circ }\right]$

$\sin x={\frac {\tan x}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}$ für $x\in \left[0^{\circ };\;90^{\circ }\right]\cup \left[270^{\circ };\;360^{\circ }\right]$

$\sin x=-{\frac {\tan x}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}$ für $x\in \left[90^{\circ };\;270^{\circ }\right]$

$\cos x={\sqrt {1-\sin ^{2}x}}$ für $x\in \left[0^{\circ };\;90^{\circ }\right]\cup \left[270^{\circ };\;360^{\circ }\right]$

$\cos x=-{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}$ für $x\in \left[90^{\circ };\;270^{\circ }\right]$

$\cos x={\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}$ für $x\in \left[0^{\circ };\;90^{\circ }\right]\cup \left[270^{\circ };\;360^{\circ }\right]$

$\cos x=-{\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}$ für $x\in \left[90^{\circ };\;270^{\circ }\right]$

$\tan x={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}{\cos x}}$ für $x\in \left[0^{\circ };\;180^{\circ }\right]$

$\tan x=-{\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}{\cos x}}$ für $x\in \left[180^{\circ };\;360^{\circ }\right]$

$\tan x={\frac {\sin x}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}$ für $x\in \left[0^{\circ };\;90^{\circ }\right]\cup \left[270^{\circ };\;360^{\circ }\right]$

$\tan x=-{\frac {\sin x}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}$ für $x\in \left[90^{\circ };\;270^{\circ }\right]$

Vorzeichen der Winkelfunktionen

sin x > 0 für $x\in \left]0^{\circ };\;180^{\circ }\right[$

sin x < 0 für $x\in \left]180^{\circ };\;360^{\circ }\right[$

cos x > 0 für $x\in \left]0^{\circ };\;90^{\circ }\right[\cup \left]270^{\circ };\;360^{\circ }\right[$

cos x < 0 für $x\in \left]90^{\circ };\;270^{\circ }\right[$

tan x > 0 für $x\in \left]0^{\circ };\;90^{\circ }\right]\cup \left[180^{\circ };\;270^{\circ }\right[$

tan x < 0 für $x\in \left]90^{\circ };\;180^{\circ }\right]\cup \left[270^{\circ };\;360^{\circ }\right[$

Die Vorzeichen von cot, sec und csc stimmen überein mit denen ihrer Kehrwertfunktionen tan, cos bzw. sin.

Symmetrien

Die trigonometrischen Funktionen haben einfache Symmetrien:

$\sin(-x)=-\sin x$

$\cos(-x)=\cos x$

$\tan(-x)=-\tan x$

$\cot(-x)=-\cot x$

$\sec(-x)=\sec x$

$\csc(-x)=-\csc x$

Additionstheoreme

Weiterhin sind die Additionstheoreme nützlich:

$\sin(x+y)=\sin x\;\cos y+\sin y\;\cos x$

$\sin(x-y)=\sin x\;\cos y-\sin y\;\cos x$

$\cos(x+y)=\cos y\;\cos x-\sin x\;\sin y$

$\cos(x-y)=\cos y\;\cos x+\sin x\;\sin y$

$\tan(x+y)={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\;\tan y}}$

$\tan(x-y)={\frac {\tan x-\tan y}{1+\tan x\;\tan y}}$

$\cot \left(x+y\right)={\frac {\cot x\cot y-1}{\cot x+\cot y}}$

$\cot \left(x-y\right)={\frac {-\left(\cot x\cot y+1\right)}{\cot x-\cot y}}$

Für x=y folgen hieraus die

Doppelwinkelfunktionen

$\sin(2\;x)=2\sin x\;\cos x$

$\cos(2\;x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=1-2\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1$

$\tan(2\;x)={\frac {2\tan x}{1-\tan ^{2}x}}$

Halbwinkelformeln

Zur Berechnung des Funktionswertes des halben Arguments dienen die Halbwinkelformeln:

$\sin(x/2)={\sqrt {\frac {1-\cos(x)}{2}}}\quad fuer\quad x\in \left[0^{\circ };\;360^{\circ }\right]$

$\cos(x/2)={\sqrt {\frac {1+\cos(x)}{2}}}\quad fuer\quad x\in \left[-180^{\circ };\;180^{\circ }\right]$

$\tan(x/2)={\sqrt {\frac {1-\cos(x)}{1+\cos(x)}}}={\frac {1-\cos(x)}{\sin(x)}}={\frac {\sin(x)}{1+\cos(x)}}\quad fuer\quad x\in \left(-180^{\circ };\;180^{\circ }\right)$

Identitäten

Aus den Additionstheoremen lassen sich Identitäten ableiten, mit denen die Summe zweier trigonometrischer Funktionen als Produkt aufgefasst werden kann:

$\sin x+\sin y=2\sin {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}$

$\sin x-\sin y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}$

$\cos x+\cos y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\cos {\frac {x-y}{2}}$

$\cos x-\cos y=-2\sin {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}$

$\tan x+\tan y={\frac {\sin \left(x+y\right)}{\cos x\cos y}}$

$\tan x-\tan y={\frac {\sin \left(x-y\right)}{\cos x\cos y}}$

$\cot x+\cot y={\frac {\sin \left(x+y\right)}{\sin x\sin y}}$

$\cot x-\cot y={\frac {-\sin \left(x-y\right)}{\sin x\sin y}}$

Reduktionsformeln

Es gibt Reduktionsformeln, mit denen man das Argument einer Winkelfunktion in das Intervall [0, 90°] bzw. [0, π/4] bringen kann.

Siehe auch: Zusammenhang mit den Hyperbelfunktionen, Quadrant

Reihenentwicklung

Datei:Taylorsine.png

Der sinus (blau) verglichen mit seiner Taylorreihe bis $x^{7}$(pink)

Bitte beachten: Hier, wie auch sonst in calculus, ist es wichtig, dass alle Winkel im Bogenmaß angegeben werden.

Man kann Zeigen, dass der cosinus die Ableitung des sinus darstellt und die Ableitung des cosinus der negative sinus ist. Hat man diese Ableitungen, kann man die Taylorreihe entwickeln und zeigen, dass die folgenden Identitäten für alle x aus den Reellen Zahlen gelten:

$\sin \left(x\right)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}$

$\cos \left(x\right)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}$