Elektrischer Widerstand

Der elektrische Widerstand (Formelzeichen: R) ist ein Begriff aus der Elektrotechnik. Er charakterisiert die Eigenschaft von Materialien, den durch elektrische Felder bzw. Spannungen hervorgerufenen elektrischen Strom zu hemmen. Das Formelzeichen R kommt von dem englischen Wort "resistance". Der Widerstand hat die SI-Einheit Ohm, sein Einheitenzeichen ist das große Omega $\Omega$ .

Die Materialkonstante $\rho$ ist der spezifischer elektrischer Widerstand. Dieser Stoffwert ist von der chemischen Zusammensetzung und der Temperatur abhängig.

Geschichte

Die Leitfähigkeit von Metallen wurde erstmals von Georg Simon Ohm systematisch untersucht. Das von Ohm formulierte Gesetz wurde nach ihm benannt. Dieses sehr simpel erscheinende Gesetz wurde zu einer Zeit gefunden, als es noch keine „richtigen“ Spannungsquellen gab. Es war von anderen physikalischen Effekten überlagert. Erst vor diesem Hintergrund kann man die große wissenschaftliche Leistung würdigen.

Ohmscher Widerstand (Gleichstromwiderstand)

In Gleichstromkreisen gilt für viele wichtige Leiter (z. B. Metalldrähte, Elektrolytlösungen) bei konstantem Widerstand das ohmsche Gesetz, das heißt, die Stromstärke $I$ ist proportional zur angelegten Spannung $U$ . Der Proportionalitätsfaktor heißt Leitwert $G$ des Leiters,er ist der Kehrwert des elektrischen Widerstands $R$ .

Es gilt:

G={\frac {1}{R}}

und

R={\frac {U}{I}}

U

... elektrische Spannung

I

... elektrische Stromstärke

Diese Konstante $R$ wird als ohmscher Widerstand oder Gleichstromwiderstand bezeichnet.

Widerstandsberechnung eines Leiters

Der Widerstand eines Körpers lässt sich auch über seine geometrischen Abmessungen und der entsprechenden materialspezifischen Konstante, dem spezifischen Widerstand $\rho$ berechnen.

Datei:Widerstand Formel.PNG

Für einen in Längsrichtung durchflossenen geraden Leiter gilt:

R=\rho \cdot {l \over A}

Die Querschnittsfläche $A$ berechnet sich für runde Drähte mit dem Durchmesser $d$ nach der Formel:

A=\pi \cdot {\frac {d^{2}}{4}}

.

Bei der Berechnung sollte aber beachtet werden, dass der spezifische Widerstand von der Temperatur abhängig ist.

Temperaturabhängigkeit

**Beispiele für spezifischen Widerstand und Temperaturkoeffizient**
Material	ρ in (Ω*mm²)/m	α in 1/K
Silber	1,6 · 10^-2	3,8 · 10^-3
Kupfer	1,7 · 10^-2	3,9 · 10^-3
Silizium	640	-7,5 · 10^-2

Wie oben beschrieben, berechnet sich der Gleichstromwiderstand eines geraden Leiters durch:

R_{20}=\rho \cdot {\frac {l}{A}}

Dies gilt aber nur für die Temperatur, für die der angegebene spezifische Widerstand gilt. Wenn nicht anders angegeben, gilt dies für eine Ausgangstemperatur von 20 °C. Darauf weist auch die 20 im Index von R hin.

Grundsätzlich ist aber der Widerstand temperaturabhängig. Dies gilt für alle Materialien.

Dieses Verhalten ist materialabhängig und wird mit dem Linear-Temperaturkoeffizienten α und der Bestimmung des Temperaturunterschieds ( $\Delta T$ ) berechenbar. Im Allgemeinen beschreibt man diese Änderung durch eine Linearisierung:

R_{W}=R_{20}(1+\alpha \cdot \Delta T)=R(T_{0})(1+\alpha \cdot (T-T_{0}))

bei

T_{0}=20\,^{\circ }\mathrm {C}

Für die meisten Materialien und Anwendungen reicht dies aus, da die Temperaturkoeffizienten höherer Ordnungen meist vernachlässigbar klein sind.

Je nachdem, ob der ohmsche Widerstandswert mit steigender Temperatur größer oder kleiner wird, unterscheidet man zwischen Kaltleitern (ohmscher Widerstandswert steigt, prinzipiell bei allen Metallen) und Heißleitern (ohmscher Widerstandswert sinkt).

In der Technik wird die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes ausgenutzt, z. B. beim Thermostaten oder bei Thermistoranemometern.

Eine Außnahme stellt der Konstantandraht dar.

Wechselstromwiderstand oder Scheinwiderstand

Bei Wechselstrom ist der Widerstand im Allgemeinen frequenzabhängig und wird als Scheinwiderstand bezeichnet. Der Scheinwiderstand setzt sich zusammen aus dem frequenzunabhängigen Wirkwiderstand R und dem frequenzabhängigen Blindwiderstand X, der durch Kapazitäten bzw. Induktivitäten gebildet wird.

Z={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}

Datei:Kapazitiver Widerstand.png

Herleitung des Kapazitiven Widerstandes

Tritt ein Kondensator (Kapazität) oder eine Induktivität in Gleichstromkreisen auf, gilt im stationären Fall das ohmsche Gesetz jedoch auch dafür - ein Kondensator präsentiert dann seinen Isolationswiderstand und eine Spule ihren ohmschen Drahtwiderstand.

Induktiver Widerstand und kapazitiver Widerstand

Induktiver Widerstand und kapazitiver Widerstand sind Blindwiderstände. Sie bewirken eine Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom. Entsprechende (ideale) Bauelemente wandeln keine Energie in Wärme um. In der Praxis haben die Bauelemente aber immer einen ohmschen Anteil.

Der induktive Widerstand einer idealen Spule ist bei Gleichspannung null und wird mit wachsender Frequenz f bei Wechselspannung größer:

X_{L}=2\cdot \pi \cdot f\cdot L

Der kapazitive Widerstand eines idealen Kondensators ist bei Gleichspannung unendlich und sinkt mit wachsender Frequenz f bei Wechselspannung:

X_{C}=-{1 \over {2\cdot \pi \cdot f\cdot C}}

Wenn die Maße eines Bauteils in den Bereich der Wellenlänge kommen, besitzt es sowohl einen nicht zu vernachlässigenden induktiven, als auch einen kapazitiven Anteil und wird gegebenenfalls zum Schwingkreis, als Beispiel sei hier die Antenne genannt.

Schwingkreis

Durch die Parallel- beziehungsweise Reihenschaltung von Kapazität und Induktivität entsteht ein Schwingkreis. Ein Schwingkreis hat einen frequenzabhängigen elektrischen Widerstand, der nur in der Nachbarschaft der Resonanzfrequenz extremal (minimal beziehungsweise maximal) wird. Dieser Effekt wird unter anderem angewendet, um aus einem Gemisch von Signalen unterschiedlicher Frequenz eine bestimmte Frequenz herauszufiltern.

Beim realen Schwingkreis treten Kondensatorverluste und Spulenverluste durch deren ohmschen Widerstand auf. Den ohmschen Widerstand des Kondensators kann man aber meist vernachlässigen.

Für den Resonanzwiderstand im Parallelschwingkreis ergibt sich:

R_{p}={\frac {L}{R_{L}C}}\,.

Dieser wird bei der Resonanzfrequenz erreicht, die folgendermaßen berechnet werden kann:

f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}\,.

(Thomsonsche Schwingungsgleichung)

Der elektrische Widerstand im Teilchenmodell

Die physikalische Beschreibung benutzt die Vorstellung, dass sich die Valenzelektronen im Metall wie ein Gas (Elektronengas) verhalten. Im einfachsten Modell bildet das Metall ein positiv homogen geladenes Volumen, in denen sich die Elektronen frei bewegen können.

In dieses Volumen sind die Atomrümpfe eingebettet, die aus dem Atomkern und den stärker gebundenen Elektronen auf den tieferen Schalen bestehen.

Legt man eine Spannung an die Drahtenden an, so werden die freien Elektronen im elektrischen Feld beschleunigt. Die Energie der Elektronen nimmt zu und damit die Temperatur des Elektronengases.

Auf ihrem Weg durch das Metall geben die Elektronen einen Teil durch elastische Stöße an die Atomrümpfe ab. Durch diese Wechselwirkung ist das System Metallgitter-Elektronengas bemüht, den Temperaturgradienten, der durch die angelegte Spannung entstand, wieder abzubauen.

Beim Erwärmen des Metalls verstärkt sich die thermische Schwingung der Atomrümpfe um ihre Gleichgewichtslage. Dadurch erhöht sich aber auch die Wechselwirkung mit dem Elektronengas und der Widerstand steigt. Allerdings erklärt dies nicht den Effekt des Heißleiters, der sich entgegengesetzt verhält.

Bei Temperaturen, bei denen die Atome des Materials ionisiert werden (Plasma), ist jeder Stoff elektrisch leitend, da die vorher gebundenen Elektronen nun für den Ladungstransport zur Verfügung stehen. Umgekehrt sind Metalle und Oxide bekannt, für die der elektrische Widerstand unterhalb der so genannten Sprungtemperatur verschwindet: Supraleiter.

Reihen- und Parallelschaltung

Reihenschaltung

Werden n Widerstände in Reihe geschaltet, so addieren sich die Widerstände:

{R_{\rm {ges}}=R_{1}+R_{2}+\dots +R_{n}}

Veranschaulichen kann man sich dies an zwei Widerständen, die sich nur in der Länge unterscheiden.

Datei:Widerstand R1 plus R2.PNG

Die Reihenschaltung ergibt einen Widerstandskörper der Länge l₁ + l₂. Dann gilt:

R=\rho \cdot {{l_{1}+l_{2}} \over A}=\rho \cdot {l_{1} \over A}+\rho \cdot {l_{2} \over A}=R_{1}+R_{2}

Parallelschaltung

Bei der Parallelschaltung von n Widerständen addieren sich die Leitwerte bzw. die reziproken Widerstände:

{1 \over R_{\rm {ges}}}={1 \over R_{1}}+{1 \over R_{2}}+\dots +{1 \over R_{n}}

alternative Schreibweise:

R_{\rm {ges}}=R_{1}\Vert R_{2}\Vert \dots \Vert R_{n}

Schreibweise als Leitwerte:

G_{\rm {ges}}=G_{1}+G_{2}+\dots +G_{n}

Der Leitwert ist der Kehrwert des Widerstandes, seine SI-Einheit ist das reziproke Ohm, das auch den besonderen Namen Siemens führt.

Man veranschaulicht sich diesen Zusammenhang an der Parallelschaltung zweier Widerstände, die sich nur in ihrer Querschnittsfläche A unterscheiden.

Datei:Widerstand R1 R2 parallel.PNG

Man erhält einen Widerstand vom Gesamtquerschnitt A₁ + A₂, also gilt:

R=\rho \cdot {l \over {A_{1}+A_{2}}}

und daher

{1 \over R}={{A_{1}+A_{2}} \over {\rho \cdot l}}={{A_{1}} \over {\rho \cdot l}}+{{A_{2}} \over {\rho \cdot l}}={1 \over R_{1}}+{1 \over R_{2}}

Sind in einer Parallelschaltung nur Widerstände eines gleichen Wertes vorhanden, ( ${R_{\rm {n}}}=R_{1}=R_{2}=R_{3}\dots$ ) so kann der Gesamtwiderstand errechnet werden, indem man den Einzelwiderstand durch die Anzahl der Widerstände in der Schaltung dividiert.

{R_{\rm {ges}}}={R_{n} \over n}

R_{n}

... Einzelwiderstand

n

... Anzahl der Widerstände

Weitere physikalische Zusammenhänge

Folgt ein Widerstand dem ohmschen Gesetz, bestehen folgende Zusammenhänge zwischen Spannung U, Stromstärke I und der elektrischen Leistung P beziehungsweise der elektrischen Arbeit W.

U=R\cdot I

P={U\cdot I}={\frac {U^{2}}{R}}=I^{2}\cdot R

W={P\cdot t}={{\frac {U^{2}}{R}}\cdot t}=I^{2}\cdot R\cdot t

Differenzieller Widerstand

Bei nichtlinearen Strom-Spannungs-Kennlinien - wie zum Beispiel von Dioden - ist der Quotient für jedes Strom-Spannungspaar nicht gleich. Der Quotient aus Spannungsänderung und Stromänderung bei einer bestimmten Spannung wird auch als differenzieller Widerstand r bezeichnet. Er entspricht der Steigung der Tangente am betrachteten Punkt der Kennlinie.

r={\frac {\mathrm {d} \,u}{\mathrm {d} i}}

Negativer differenzieller Widerstand

Der differenzielle Widerstand ist in einem Teil der Kennlinie negativ, so dass die Stromstärke bei steigender Spannung sinkt bzw. die Stromstärke bei sinkender Spannung steigt. Ein negativer differenzieller Widerstand kann zum Anregen (Entdämpfen) von Schwingkreisen oder zur Erzeugung von Kippschwingungen verwendet werden. Der negative differenzielle Widerstand tritt zum Beispiel bei Gasentladungen, Avalanche- oder Tunneldioden auf.

Positiver differenzieller Widerstand

Bei positiven differenziellen Widerständen nimmt der Strom mit zunehmender Spannung zu. Alle real existierenden Schaltungselemente besitzen in einem Teil ihrer Kennlinie, jedoch stets für sehr große Werte einen positiven differenziellen Widerstand. Die meisten Elemente in der Schaltungstechnik besitzen einen ausschließlich positiven differenziellen Widerstand.

Beispiele: realer Widerstand, Diode, Zener-Diode, alle halbleitenden Keramiken.

Supraleitung

Unterhalb einer spezifischen Sprungtemperatur besitzt ein supraleitungsfähiges Material den ohmschen Widerstand von null Ohm. Deshalb wird ein solches Material als Supraleiter bezeichnet, da der Strom in diesem Material bei dieser tiefen Temperatur ohne jegliche Verluste fließt.

Siehe auch

Weblinks

Commons: Widerstand – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien