Diskussion:Kreiszahl

Archiv der Beiträge bis etwa Juni 2005

Schreibfehler???

Rekorde, Film und Kuriositäten

   * Der derzeitige Rekord der Berechnung von π wird durch

Yasumasa Kanada auf einem HITACHI Supercomputer mit 1.241 Milliarden

Stellen gehalten.

Müsste es nicht 1.241 Billionen Stellen heißen????? MfG Rainer Stern

Laut http://www.heise.de/newsticker/meldung/35673 sind es 1.241.100.000.000 Stellen - 1.241 könnte auch Eintausendzweihunderteinundvierzig Stellen bedeuten - dann würd es wieder passen. Dnalor 21:59, 24. Jul 2005 (CEST)

Definition

Die dritte Definition (Umfang des Kreises m. Radius 1/2) ist nur eine Umformulierung der ersten; ich würde sie streichen. Dagegen ist es in der (komplexen) Funktionentheorie üblich, pi über die Eulersche Identität zu definieren, oder etwas akkurater formuliert: "pi ist die eindeutig bestimmte positive reelle Zahl, so daß die komplexe Exponentialfunktion exp(z) genau für alle ganzzahligen Vielfachen von $2\pi i$ den Wert 1 annimmt". Damit hätten wir dann wieder 4 Definitionen von pi. -- JFKCom 7. Jul 2005 23:36 (CEST)

Das ist allerdings auch nichts wesentlich anderes als das Doppelte der kleinsten Nullstelle des Kosinus. Die Doppelung habe ich herausgenommen.--Gunther 8. Jul 2005 11:52 (CEST)

Ok, die Änderung finde ich gut. Du hast ja recht mit der Euler-Identität. Demnach hältst Du es auch für sinnlos, die Def. "kleinste positive Nullstelle des Sinus" anzufügen, oder? Nebenbei, mit dem Aufbau dieser Disku-page komme ich nicht klar. Ist da nicht vieles dabei, was eigtl. schon längst umgesetzt ist? -- JFKCom 8. Jul 2005 20:57 (CEST)

Ja, wegen $\sin 2x=2\sin x\cos x$ ist die kleinste positive Nullstelle des Sinus gleich dem Doppelten der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus. Und ja, hier steht viel Überflüssiges, deshalb habe ich die Anfrage auch nach unten verschoben, weil da die neuen Einträge stehen :-) --Gunther 8. Jul 2005 21:37 (CEST)

Man sollte in der Einleitung " euklidische Geometrie" präzisieren, da je nach Metrik (d.h. Norm) das Verhältnis von Umfang zum Durchmesser zwischen 3 und 4 schwanken kann (wobei diese extremalen Werte bei einer (regelmäßig) hexagonalen resp. quadratischen Einheitskugel angenommen werden). MFH 01:09, 5. Nov 2005 (CET)

Wer interessiert sich für den Umfang dieser Einheitskreise? Da sollte man schon eher darauf hinweisen, dass z.B. auf der Erdoberfläche das Verhältnis nicht konstant ist, sondern von der Größe des Kreises abhängt.--Gunther 08:47, 5. Nov 2005 (CET)

Doppelspurigkeit

Der Artikel ist mittlerweile so gross und unübersichtlich geworden, dass interessante Dinge schon an mehreren Stellen auftauchen, wahrscheinlich, weil jemand findet, das und das gehört doch unbedingt rein — wo würde ich das hintun? steht es da schon? nein? also rein! (Ich bin schon fast geneigt, einen Preis auszusetzen für denjenigen, der das erste Triplett findet.) Ein Doublett habe ich gefunden: Unter "Weitere schöne Berechnungsformeln" auf Zeile 112 eine schöne Formel von Euler. Dieselbe Formel nur ein bisschen gelahrter (d.h. geschlossen mit Summenzeichen) dargestellt steht ca. einhundert Source-Zeilen weiter unten unter "Formeln der Analysis" auf Zeile 213 noch einmal. Diese zweite Darstellung gefällt mir persönlich übrigens besser, die andere ist vielleicht leichter verständlich für Leser die mit mathematischer Notation, insbesondere Summenzeichen nicht so vertraut sind. — Was machen wir mit diesem Fall? — Was machen wir, um solche Doppelspurigkeiten nach Möglichkeit zu vermeiden? — Nol Aders 02:00, 23. Jul 2005 (CEST)

Es ist nicht prinzipiell schlecht, wenn Sachen zweimal erwähnt werden, Hauptsache der Leser findet die Sachen da wo er sie sucht. --DaTroll 11:51, 24. Jul 2005 (CEST)

Prinzipiell bin ich mit Dir einverstanden, nur ist diese Doppelspurigkeit hier sinnvoll? Ich finde eher nicht und wäre geneigt, sie zu eliminieren, (aber nicht ohne Diskussion) ... — Nol Aders 16:14, 24. Jul 2005 (CEST)

Nicht nur diese Formel, sondern der ganze Teil ab dem Wallis-Produkt trägt nur noch wenig zum Thema "Näherungsformeln" bei. Weder Wallis noch Leibniz noch die fragliche Euler-Formel sind zur Berechnung von π geeignet.--Gunther 16:21, 24. Jul 2005 (CEST)

Naja, das Wallis-Produkt würde ich trotzdem irgendwo auf der Kreiszahl-Seite passend finden. Nur dieses "weitere schöne Berechnungsformeln" würde ich fortsetzen mit "... finden sich als Beispiele bei Reihe (Mathematik)" und diese Formeln dort unter den Beispielen eintragen.--JFKCom 19:45, 24. Jul 2005 (CEST)

Ich wollte nicht vorschlagen, die Formeln zu löschen, nur sie in einen passenderen Abschnitt zu verschieben. Dann löst sich die Verdoppelung vermutlich von alleine auf.--Gunther 19:49, 24. Jul 2005 (CEST)

Mmmh, ich denke, wir diskutieren hier 2 Fragen simultan aus: (1) Das Schicksal einiger einzelner Formeln (hierüber ist offenbar einigermaßen Konsens hergestellt), (2) der von Nol Aders berechtigt angesprochene Umstand, dass der Artikel so langsam aus den Nähten platzt. Ich denke, irgendwas müssen wir mal als Auslagerungskandidaten in eigene Artikel identifizieren...--JFKCom 21:37, 24. Jul 2005 (CEST)

Also eine Änderung des Formelabschnitts würde bei mir Zustimmung finden. Leider kaum noch Zeit, entsprechend nur so ein Kommentar ;-) --DaTroll 19:24, 25. Jul 2005 (CEST)

Berechnung mittels Flächenformel

Nach meiner Auffassung kann man AK lediglich mittels Pi berechnen, und man erhält dann auch nur das Pi welches man vorher zur Berechnung von AK verwendet hat. Deshalb ist diese Berechnungvon PI eher weniger von praktischem Nutzen. Falls ich falsch liegen sollte bitte ich um Aufklärung. Eine berechnung des Kreisflächeninhaltes ohne Pi ist nach meinem Wissensstand unmöglich. Um Pi zu ermitteln braucht es deshalb nach meiner Auffassung andere Wege die weiter oben beschrieben werden. MFGMatthias Pester 21:07, 1. Aug 2005 (CEST)

Das Verfahren kommt im Absatz darunter. Die von dir angesprochene Formel ist wie Du schon sagst eine reine Umformung. --DaTroll 22:19, 1. Aug 2005 (CEST)

Wieso wird hier ständig meine Formel gelöscht die ich entdeckt habe bezüglich der Berechnung des Kreisumfanges? Hier nochmal der link dazu : http://members.aol.com/Z200MOTELS/pi.JPG

Wie ich schon unter Diskussion:Pi schrieb: Zum in der zweiten Formel verwendeten Näherungswert findet sich in Kreiszahl der Satz: "Das älteste bekannte Rechenbuch der Welt, das Rechenbuch des Ahmes (auch Papyrus Rhind, 17. Jahrhundert v. Chr.), nennt den Wert (16/9)² = 3,1604...." Soviel zum Thema "von Dir neu entdeckt".

Den der ersten Formel entsprechenden Näherungswert ${\frac {20}{9}}{\sqrt {2}}$ kannte ich noch nicht, allerdings ist die Näherung 22/7 vergleichbar gut (0,04% gegen 0,035% relativer Fehler). Erwähnenswert sind diese Näherungswerte aber hauptsächlich aus historischen Gründen, und dafür bist Du ein paar hundert Jahre zu spät dran.--Gunther 14:27, 7. Aug 2005 (CEST)

Rundung der letzten Ziffer

Wenn man für die letzte Ziffer abrundet, ist die letzte angegebene Ziffer tatsächlich die 100. (oder wievielte auch immer) Nachkommastelle von π. Rundet man nach den üblichen Regeln auf oder ab, kann man das nicht wissen. Deshalb das "abgerundet" im Artikel.--Gunther 23:25, 11. Aug 2005 (CEST)

Formel falsch?

In bezug auf die Formel

${\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4}}-{\frac {1}{4\cdot 5\cdot 6}}+{\frac {1}{6\cdot 7\cdot 8}}-+...={\frac {\pi -3}{4}}$

schrieb 84.189.252.211 um 18:31, 5. Sep 2005:

Diese Formel ist falsch, weil mit mehr als ca. 100.000 Brüchen wird das Ergebnis größer als Pi (festgestellt durch selbstprogrammiertes Programm). Nahezu alle Verfahren in diesem Dokument wurden mit dem Programm überprüft und es wurde festgestellt, dass sie richtig sind.

Meine Frage ist dazu: Mit welcher Genauigkeit hast Du gerechnet? Kannst Du Rundungsfehler ausschließen? Mein "Taschenrechner", der den exakten Bruch für die obige Summe bis ${\frac {1}{200000\cdot 200001\cdot 200002}}$ ausgerechnet hat (den ich aus Platzgründen hier aber besser nicht poste), erhält mit 20 Nachkommastellen das Ergebnis

0.035398163397448247118,

für ${\frac {\pi -3}{4}}$

0.035398163397448309616.

Die Summanden in diesem Bereich haben eine Größenordnung von

0.00000000000000012,

und die Differenz liegt darunter. Ich sehe keinen Grund, das Ergebnis anzuzweifeln. (Mit den üblichen IEEE-Gleitkommazahlen ist diese Genauigkeit nicht erreichbar.)--Gunther 18:50, 5. Sep 2005 (CEST)

Kleiner Tipp aus der Numerik: um eine Partialsumme möglichst genau zu berechnen, sollte man immer mit den kleinsten Termen anfangen, um Rundungsfehler zu minimisieren. Probier' mal was sich ergibt, wenn Du "FROM i=1 TO 10^5" durch "FOR i=10^5 DOWNTO 1" (d.h. "for( i=1; i<10^5; i++)" durch "for( i=10^5; --i;)") ersetzt. MFH 22:02, 4. Nov 2005 (CET)

Bei mir natürlich dasselbe, und die IP ließ ja ohnehin nichts mehr von sich hören.--Gunther 22:31, 4. Nov 2005 (CET)

Noch ein Bruch von Archimedes

Da steht "Archimedes kam über den Bruch ${\frac {211875}{67441}}$ zu der Annäherung 3,141635." — Es wäre interessant, mindestens ein Stichwort dazu zu erfahren, wie Archimedes auf diese Näherung gekommen ist; weiss das jemand? — Nol Aders 02:55, 2. Okt 2005 (CEST)

Mh, das ist ne gute Frage. Ich habe eben nochmal gesucht, aber diese Näherung kann ich nirgendswo finden. Erwähnt wird immer die Exhaustionsmethode, die Archimedes allerdings nur zu 3 + 10 / 71 < π < 3+11/71 führte. --DaTroll 12:34, 2. Okt 2005 (CEST)

Gerundet gleich

Das Zeichen ${\dot {=}}$ ist mir ehrlich gesagt noch nirgendwo begegnet. Kennt das sonst jemand als Allgemein gebräuchlich? --DaTroll 12:34, 2. Okt 2005 (CEST)

Ich kenn's auch nicht.--JFKCom 23:33, 9. Okt 2005 (CEST)

Dieses Zeichen ${\dot {=}}$ spricht sich als „in erster Näherung“ und ist in der Mathematik durchaus üblich. Es drückt aus, daß die Näherung/Abschätzung durch eine Gerade angenähert wurde.--Anonym 21:36, 18. Dez 2005 (CET)

Wenn ich den Kreis durch eine Gerade annähere, erhalte ich $\pi =4$. SCNR--Gunther 21:39, 18. Dez 2005 (CET)

Noch eine Formel

Ich kann in Wikipedia Deutschland nirgenswo die Formel $e^{i\pi }+1=0$ finden. Ich meine zwar, die mal irgendwo gesehen zu haben, aber jetzt scheint sie entfernt worden zu sein. Die ist so schön, weil sie alle wichtigen Zeichen der Mathematik enthält. Sollte sie nicht in einen der Artikel über e, pi, i, 0 oder 1 eingefügt werden?--Limburg 22:17, 9. Okt 2005 (CEST)

Die Formel $e^{\mathrm {i} \pi }=-1$ ist die berühmte Eulersche Identität, bzw. ein Spezialfall der allgemeineren Eulerschen Identität $e^{\mathrm {i} x}=\cos x+\mathrm {i} \sin x$. Die Variante $e^{\mathrm {i} \pi }+1=0$ ist eine ziemlich hohle Aufblähung der Formel, die nur dazu dient, die Null auch noch in die Formel reinzustopfen, um diese etwas überdrehte philosophische Behauptung ("alle wichtigen Zeichen der Mathematik") aufstellen zu können. Es gibt auch noch andere wichtige Zeichen der Mathematik; siehe Diskussion:Eulersche Identität, wo das Thema schon gewälzt wurde.--JFKCom

In der Tat, wenn man -1 hat, hat man per Definition auch 0. Und die wichtige Zahl e kommt eigentlich in keiner der beiden Formeln vor, sondern nur die Exponentialfunktion exp(x) = sum( x^k/k! , k in N). (Der Wert des Ausdrucks e^{imaginärzahl} ist eher eine Definitionssache als eine Potenz der Zahl 2.718281828... Wenn man mit komplexen Zahlen arbeitet, hat man garnicht das Recht, nicht-ganze (oder gar irrationale) Potenzen zu schreiben.) Das eigentlich bemerkenswerte ist (m.E.), daß exp(i pi)=-1 ist. MFH 22:33, 4. Nov 2005 (CET)

Warum immer dezimale Nachkommastellen von Pi ?

Ich finde es seltsam, daß 90% der Diskussionen um Pi sich mit den Nachkommastellen, und 99.99% dieser Diskussionen sich um die Dezimalen dieser Zahl befassen. Die dezimalen Nachkommastellen von Pi haben, nein: können m.E. kaum eine mathematische Beseutung haben, weil Sie nur darauf beruhen, daß die Erdbewohner i.A. 10 Finger haben.

Was einen Sinn haben könnte, wären die dualen Nachkommastellen (2 als Basis ist wesentlich fundamentaler als 10), oder aber die Kettenbruch-Entwicklung von Pi.

Was die Zahl e=exp(1) angeht, kann man den allgemeinen Term der Kettenbruchentwicklung leicht angeben, für Pi wäre eine Forschung auf diesem Gebiet wesentlich interessanter als Megabyte große Files der dezimalen Nachkommastellen. Was dieses Thema angeht, findet sich leider kein (direkter) Link auf dieser Webseite. Hat eigentlich schon jemand versucht, ein Muster in den dualen Nachkommastellen zu suchen ? Auch hierzu habe ich keinen Link gesehen. (Wobei natürlich die meisten Berechnungen per Computer im Dualsystem stattfinden.) MFH 22:53, 4. Nov 2005 (CET)

Ich habe keine Ahnung wie bewiesen wurde, das es kein Muster in den Dezimalstellen von pi gibt. Ich bin mir aber sicher, das wenn es dort eines gaebe auch ein Muster in den dualen Nachkommastelen existieren wuerde. Oder anders ausgedrueckt: Es gibt kein Muster in den Dezimalstellen und daher auch kein Muster in den dualen Nachkommastellen. --Duesi 11:31, 18. Nov 2005 (CET)

Es ist definitiv so, dass eine dezimalzahl mit muster auch als binärzahl (und in jedem zahlensystem mit natürlichzahliger basis) ebenfalls ein muster hat (weil zur umrechnung nur eine reihe von multiplikationen/divisionen und additionen stattfindet). Daher ist diese frage nicht relevant. --Nikolaus 14:57, 18. Nov 2005 (CET)

Seltsamer Zusammenhang zwischen Pi und Flüsslängen?

Ich habe gerade gehört, dass sich das Verhältnis zwischen der Länge und der Entfernung zwischen Mündung und Quelle der größeren Flüsse der Erde (z.B. Nil) Pi annähert. Ich habe schon in wikipedia nach den entsprechenden Werten gesucht. Bei den Flüssen sind jedoch nur Längen - nicht aber die Entfernungen zwischen Quelle und Mündung angegeben. Abgesehen davon, dass man diesen Fakt mal überprüfen muß (z.B. Tabelle von Beispielen), wär das doch auch eine spannende Skurilität. Soweit es Flüsse auf anderen Planeten gibt, wäre auch interessant, ob dort der gleiche Zusammenhang besteht. Für eine mögliche Erklärung wäre ich dankbar. Ist das Zufall?

Im Archiv dieser Diskussion, findet sich ein Absatz dazu. --DaTroll 10:30, 18. Nov 2005 (CET)

Merkregeln

Wie funktionieren denn die Merkregeln? Ich hab da jetzt irgendwie keinen Sinn drin erkannt. Ich bitte um Hilfe. --ChristianHeldt 02:07, 29. Nov 2005 (CET)

Die Anzahl der Buchstaben entspricht den Stellen, wies auch im ersten Satz des Abschnitts steht ;-) --DaTroll 08:57, 29. Nov 2005 (CET)

Ach ja. Wer lesen kann, ist klar im Vorteil :-) --ChristianHeldt 22:40, 29. Nov 2005 (CET)

Die Griechen suchten nicht nach π - Pi war ihnen voll bekannt!

In der historischen Betrachtung wird leider nicht auf die Herkunft der Bezeichnung "pi" für die Kreiszahl eingegangen, die sich für uns in einem simplen griechischen Buchstaben bekannt ist. Daraus ergibt sich leicht die irrtümliche Annahme, dass schon die Griechen die Kreiszahl als "π" bezeichnet haben. Dies war nicht so. Für die Griechen hatte die Zahl pi nämlich den Wert 40, das sich aus der Buchstabenkonstellation ihres Alphabets ergibt. Die Bezeichnung "π" kam erst durch einen Engländer um 1600 (?) in Gebrauch. Er verwendete für die alten griechischen Begriffe diameter (für Kreisdurchmesser) und perimeter (für Kreisumfang) um die Kreiszahl zu berechnen. Aus dem griechischen Wort "perimeter" wurde verkürzt "π". Ab dem Zeitpunkt - so kann man sagen - verlor "π" seinen ursprünglichen Zalhenwert "40". mfg

Siehe Kreiszahl#Umbeschreibung_und_Einbeschreibung_bis_zu_96_Ecken, letzter Absatz.--80.136.158.217 12:22, 1. Dez 2005 (CET)

Diese Formel wird verändert

$\pi =2^{n}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+...+{\sqrt {2}}}}}}}}}}$

$n\rightarrow \infty$

$n$ stellt dabei die Anzahl der Wurzeln dar. Beim Berechnen bitte an ausreichend viele Nachkommastellen denken.

--Die maske von pi 16:38, 13. Dez 2005 (CET)

Soweit ich weiß, hat Archimedes i.w. diese Formel verwendet, allerdings anscheinend ausgehend von einem Drei- oder Sechseck und nicht von einem Quadrat.--Gunther 16:57, 13. Dez 2005 (CET)

Da bin ich anderer Meinung. Dies ist die einfachste Formel von allen. Warum wird diese dann nicht erwähnt? --Die maske von pi 17:07, 13. Dez 2005 (CET)

Schreib sie in den Artikel. Alternativ könnte man auch die äquivalente Form

${\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots$

erwähnen, die ohne "n" auskommt.--Gunther 17:26, 13. Dez 2005 (CET)

Von Viète kann man leider nicht direkt auf meine Formel schließen. Es sind zwei komplett unterschiedliche Formeln --Die maske von pi 17:35, 13. Dez 2005 (CET)

Es gilt

${\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+\ldots }}}}}}=2{\sqrt {{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+\ldots }}}}}},$

und wenn man endliche Stücke der rechten Seiten der beiden Formeln zusammenmultipliziert, kann man die Wurzeln mit der dritten binomischen Formel schrittweise elimieren.--Gunther 17:43, 13. Dez 2005 (CET)

Ich entschuldige mich für meinen schnellen Schluss. Ich hatte mich zuvor mit Viète beschäftigt und konnte keine Verbindung herstellen. Da der Beweis der "beiden" Formeln unterschiedlich ist, hab ich diese verfrühte Folgerung gemacht. Könntest Du deinen Weg etwas genauer ausführen? --Die maske von pi 18:02, 13. Dez 2005 (CET)

Das Prinzip ist die Umformung

${\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+\ldots }}}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+\ldots }}}}}}$

${}={\sqrt {{\Big (}{\frac {1}{2}}{\Big )}^{2}-{\Big (}{\frac {1}{2}}{\Big )}^{2}\cdot {\Big (}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+\ldots }}{\Big )}}}$

${}={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+\ldots }}}};$

damit bekommt man dann schrittweise

${\sqrt {\frac {1}{2}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}$

${}={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {\frac {1}{2}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}$

${}={\frac {1}{2^{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {1}{2}}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}$

${}={\frac {1}{2^{3}}}.$

Aus trigonometrischer Sicht sind die "Minus-Wurzeln" $\sin {\frac {\pi }{2^{n}}}$, die "Plus-Wurzeln" $\cos {\frac {\pi }{2^{n}}}$, und die Umformung ist $\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {1}{2}}\sin 2\alpha$, zusammengesetzt

$\cos {\frac {\pi }{4}}\cos {\frac {\pi }{8}}\cdots \cos {\frac {\pi }{2^{n}}}\sin {\frac {\pi }{2^{n}}}$

${}={\frac {1}{2}}\cdot \cos {\frac {\pi }{4}}\cos {\frac {\pi }{8}}\cdots \cos {\frac {\pi }{2^{n-1}}}\sin {\frac {\pi }{2^{n-1}}}$

${}=\ldots \,$

${}={\frac {1}{2^{n-1}}}.$

Genügt das?--Gunther 18:23, 13. Dez 2005 (CET)

Vielen Dank. Daran hab ich gar nicht gedacht. Naja, immerhin ist es die einfachste Formel für Pi und die Herleitung ist eine andere als Viètes und deiner Umformung. --Die maske von pi 19:15, 13. Dez 2005 (CET)

Ich würde Vieta genau so beweisen, ich glaube, ich kenne auch gar keinen anderen Beweis.--Gunther 23:51, 13. Dez 2005 (CET)

Ab sofort werde ich aufhören vorschnell zu antworten. Ich habe die Herleitung nachgeschlagen. Es ist die einzige Herleitung. Der Weg war in meiner Quelle nur anders beschriebn, n bissel anders umgestellt. Hatte nicht so viel Zeit um ne präzise Antwort zu geben. Ich werde später auf das Thema nochmal eingehen --Die maske von pi 16:52, 15. Dez 2005 (CET)

Mit einzige Herleitung meinte ich natürlich, die einzige bereits bekannte Herleitung.

Nun gibt es zwei.

Tja, echt schade, dass man meine Formel auch aus Viéte bilden kann.

Meine Herleitung habe ich als Abiturient aufgestellt (mit Realschulstoff), so dass es jeder Hauptschüler verstehen würde. Es ist ein Vierzeiler - direkt am Kreis hergeleitet und ohne Limes-Betrachtung, 3.Binom, Trigonometrie oder solch netten Sachen.

Es ist so einfach, dass ich sogar behaupten möchte, dass meine Formel eine zentrale Rolle einnehmen könnte.

Sie ist nicht nur irre einfach, ferner

- demonstriert die Formel, dass das "eigentliche Pi" der Wurzelausdruck ist. Unser normales Pi ist lediglich ein Vielfaches davon (!).

- ist es ein Kinderspiel diese Formel zu programmieren. Der Rechenaufwand ist verhältnismäßig gering. Bei Viéte müsste man immer 'n ewig langen Ausdruck hinten dran hängen (oder im Zwischenschritt ständig multiplizieren o.ä.). Bei meiner Formel braucht man nur ein Wurzel(2) in die Formel stecken und n++.

Zwei Sachen sind jedoch merkwürdig:

1) Warum hat Viéte das nicht erkannt?

2) Beide Formeln nähern sich Pi unterschiedlich an. Könnte jedoch an meinem Rechner liegen. Kann das bitte jemand überprüfen? (besonders deutlich bei n>6)

Ich kann natürlich beweisen, dass mein Weg zur Formel ein anderer ist.

Sonst käme ich ja auch nicht zur nächsten Formel. Diese erhält man in schon fast trivialer Weise aus der ersten. Diese ist jedoch viel (!) genauer als meine erste:

$a_{n}={\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+...}}}}}}$

$b_{n}={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+...}}}}}}$

$\pi ={\frac {1}{3}}2^{n}(8{\frac {a_{n+1}}{b_{n+1}}}+a_{n})$

Für's Programmieren sieht diese Formel auf dem ersten Blick nicht so toll aus. Man sollte jedoch bedenken, dass man ja nur auf schon errechnete Werte zurückgreift. Auch hier ist das Annäherungsverhalten an Pi höchst interessant. --Die maske von pi 19:33, 16. Dez 2005 (CET)

Man kann nahezu beliebig viel herumspielen, sobald Trigonometrie irgendwo in Sicht ist. Z.B. ist

${\frac {a_{n+1}}{b_{n+1}}}={\frac {2-b_{n}}{a_{n}}}={\frac {a_{n}}{2+b_{n}}}$

--Gunther 20:25, 16. Dez 2005 (CET)

Ja, das stimmt schon. Das ist klar. Ich hätte meine zweite Formel auch anders schreiben können. Ich sehe aber noch nicht, wie das erklären sollte, warum meine zweite Formel funktioniert und sogar genauer ist als meine erste (dh. ohne sich meiner Herleitung zu bedienen).--Die maske von pi 21:05, 16. Dez 2005 (CET)

Die alte Folge war

$\pi \cdot {\frac {\sin x}{x}}$

für $x=\pi /2^{n}\to 0$, die neue ist stattdessen

$\pi \cdot {\frac {4\tan {\frac {x}{2}}+\sin x}{3x}}.$

Im Gegensatz zur ersten Formel verschwindet die zweite Ableitung bei $x=0$, deshalb ist die Konvergenz besser.--Gunther 21:19, 16. Dez 2005 (CET)

Och nö, das macht ja überhaupt keinen Spaß mehr ;-)

Danke, dass ist sehr interessant.

Nagut - Ich werde in den nächsten Tagen irgendwann mal meine Herleitung veröffentlichen - es ist wirklich sehr einfach.

Könnte trotzdem jemand auf die erwähnten zwei "Merkwürdigkeiten" eingehen? --Die maske von pi 10:50, 17. Dez 2005 (CET)

Ja, es ist leider schwierig, nach deutlich über 2000 Jahren noch irgendetwas Neues zu finden. Zu Deinen Fragen:

1) Keine Ahnung. Vielleicht hat er es gekannt, und es ist nur nicht allgemein bekannt. Wie gesagt, man kann das auch als Berechnung des Umfangs eines dem Kreis einbeschriebenen $2^{n}$-Ecks auffassen, und das hat schon Archimedes gemacht.

2) Das können eigentlich nur Rechen- oder Rundungsfehler sein. Der Rechenschritt 2 − Wurzel ist ziemlich heikel, weil die Wurzel ungefähr gleich 2 ist.--Gunther 12:30, 17. Dez 2005 (CET)

Die Herleitung

So, hab' mir viel Mühe gegeben- auch wenn die Bilder nicht ganz so pralle sind;

Hier nun die versprochene EINFACHE Herleitung:

@Gunther: Ich weiß, dass Du dies als Zweizeiler verstehen würdest. Aber ich behaupte ja, dass jeder der weiß was der Phytagoras ist, diese Herleitung verstehen wird. Wie du erwähntest hat Archimedes das Prinzip mit dem $2^{n}$-Eck schon erfunden. Aber auf der anderen Seite meintest Du "auch gar keinen anderen Beweis [zu kennen]" - was mich schließen lässt, dass der Beweis nicht allzu verbreitet ist (oder gar nicht). Darum erwähne ich diesen jetzt hier:

Das Prinzip ist wie folgt:

Wir nehmen uns also einen handelsüblichen Einheitskreis. Dh Radius = 1.

Betrachten wir jetzt nur den zweiten Quadranten (links oben).

Es gilt $U=\pi d$ bzw. $U=2\pi r$. Dh. π ist die Bogenlänge eines Halbkreises beim Einheitskreis.

Zieht man nun eine "Verbindungslinie" vom Radius bei 90° zum Radius bei 180°, so hat man die erste Näherung zum Umfang. Die Seitenlänge nenne ich $c_{1}$. Somit gilt $\pi \cong 2^{1}c_{1}$

Nun halbieren wir die Verbindunglinie und setzten den Radius dort wieder an. Wir erhalten wieder ein Kreissegment. Die Länge dieser Verbindungslinie ($c_{2}$) halbiert man ebenfalls und erhält $c_{3}$. Und $\pi \cong 2^{3}c_{3}$. usw.

Datei:314150a.jpeg

Datei:314150b.jpeg

Datei:314150c.jpeg

Soweit zum groben Prinzip.

Nun zur Berechnung:

Zur Veranschaulichung hab ich die bekannten Strecken Grün, die gesuchten Rot eingefärbt.

Nach dem Phytagoras ist die Seitenlänge von $c_{1}={\sqrt {2}}$.

Datei:314151.jpeg

Dh. mit der Halbierung ( ${\frac {\sqrt {2}}{2}}$) erhalte ich $y_{2}$. ($y_{2}={\frac {\sqrt {2}}{2}}$) Dies ist leicht zu beweisen, mache ich jetzt aber an dieser Stelle nicht.

Datei:314152.jpeg

Um $c_{2}$ zu errechnen möchte ich die Höhe der Segments (des Kreisabschnittes) wissen. Diese nenne ich $a_{2}$. $a_{2}=R-y_{1}=1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$. Die Halbierung von $c_{1}$ nenne ich $b_{2}$. Nun gilt laut dem Phytagoras: $a_{2}^{2}+b_{2}^{2}=c_{2}^{2}$

Datei:314153.jpeg   Datei:314154.jpeg

Somit erhalte ich $c_{2}={\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$

und $\pi =2^{2}c_{2}$

$c_{2}$ halbiere ich. Dieser Wert ist nun mein $b_{3}$.

Datei:314155.jpeg

Nach Phytagoras ist $y_{3}^{2}=1^{2}-b_{3}^{2}$

Datei:314156.jpeg

und abermals ist $a_{3}=1-y_{3}$ ($=1-{\sqrt {1-{\frac {1}{4}}c_{2}^{2}}}$). Somit ist $c_{3}={\sqrt {2-{\sqrt {4-c_{2}^{2}}}}}$.

Datei:314157.jpeg

Man kann hier erkennen, dass dies auf die Form hinausläuft:

$c_{n+1}={\sqrt {2-{\sqrt {4-c_{n}^{2}}}}}$

Daraus resuliert meine erste Formel:

$\pi =2^{n}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+...}}}}}}$

Hat dies jemand nicht verstanden? Keiner? Gut. Wzbw.

So, wie kommt man nun auf meine zweite Formel?

Ganz einfach: Das ganze kann man ja nun für ein n-Eck machen, dass sich von außen dem Kreis annähert. Also mein Tipp: Strahlensatz! - Dann erhaltet ihr ne Formel für die Seitenlänge des n-Ecks, welcher außerhalb des Kreises ansetzt. Kombiniert ihr diese mit der der ersten erhaltet ihr meine zweite Formel.

@Gunther: Deine Erklärung beweist meine zweite Formel zwar, leitet sie jedoch nicht her - im Gegensatz zu meiner orginal Herleitung.

Hierbei ist nochmal schön zu sehen, dass:

Pi nur n Vielfaches vom Wurzelausdruck ist. (Wenn man Pi kennen möchte, sollte man doch zuvor das "eingentliche" Pi kennen.)

Pi in direkter Abhängigkeit zum Phytagoras steht, welchen man ja anwenden kann, da der Kreis die Eigenschaft erfüllen soll, dass alle Punkte den gleichen Abstand zum Mittelpunkt haben.

Ich denke ob Viéte nun diesen Zusammenhang nicht sah oder nicht für wichtig hielt es fest zu halten: Beides ist gleich schlimm.

Meine erste Formel ist viel einfacher als Viétes Orginal. Meine zweite viel genauer und beide viel eleganter. Meine Herleitung ist extrem einfach, Viéte und Archimedes legen einem diese geradezu nahe. Also, warum findet man diese Formeln und Herleitung nirgends??

Ihr müsst doch wirklich zugeben, dass ist mir Abstand die einfachste Formel.

Man vergleiche nur die gleichwertigen Aussagen:

$\pi =2^{3}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}$ entsprich ${\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}$

Bei der einfachen Herleitung habe ich gerade mal auf das Radizieren, Multiplizieren, Addieren und Subtrahieren zurückgegriffen, als auch ein ganz klein wenig auf's Dividieren und Potenzieren.

Nur mal zum Vergleich: hier die Herleitung von Viète

Exisitiert die hier gezeigte Herleitung schon? Wenn ja, frag ich mich warum sie nicht überall gelehrt wird?

Ist dies das erste mal, dass diese Formeln und Zusammenhänge so aufgeschrieben wurden?

Also wenn das zumindest keine Fußnote in Wikipedia wert ist...

--Die maske von pi 18:58, 22. Dez 2005 (CET)

Bevor Du das für die Inventiones einreichst ;-) , solltest Du genau recherchieren, wie Vieta und Archimedes argumentiert haben; meine Vermutung ist, dass einer der beiden genau den von Dir oben genannten Gedankengang verfolgt hat. Ich kenne mich allerdings in der Geschichte der Mathematik nicht gut genug aus, um beurteilen zu können, ob Vieta schon Trigonometrie benutzt haben könnte; im von Dir zitierten englischen Artikel sehe ich zumindest keine Aussage, dass die angegebene Herleitung der Formel dem von Vieta begangenen Weg entspricht.

Es gibt noch ein inhaltliches Problem: Konvergenz von Längen ist ein heikles Thema. Klassisches Beispiel: Betrachte eine Strecke der Länge 2 und einen Halbkreis darüber, Länge π. Unterteile die Strecke in zwei Hälften, betrachte über der linken Hälfte einen Halbkreis nach oben, über der rechten einen Halbkreis nach unten. Länge der beiden Strecken: 2, Länge der durch die beiden Halbkreise gegebenen Kurve: π. Unterteile die Strecke in vier gleich große Teile, errichte über ihnen abwechselnd Halbkreise nach oben und nach unten. Länge der Strecke: 2, Länge der Kurve: π. Usw. Die Kurve konvergiert gegen die Strecke, also 2 = π.

Auf jeden Fall ist der von Dir geschilderte Gedankengang mMn eher erwähnenswert als die Programme zur Erzeugung zufälliger Punkte in einem Quadrat... Wer ist denn hier der Exzellenz-Beauftragte? ;-) --Gunther 00:50, 23. Dez 2005 (CET)

Wäre denkbar, dass einer der beiden meinen Weg schon erfand. Vielleicht ist es nur nicht fest gehalten. Ich werde mal nachforschen. Habe aber im Moment nur sehr wenig Zeit. Werde dies also später machen. Sollte sich jemand dies hier durchlesen, der über das nötige Wissen verfügt oder die nötige Literatur, so zöger bitte nicht mir zu helfen.

Ich kenn mich noch nicht wirklich mit Konvergenzkriterien aus. Ich betrachte mal die Halbkreise deines Gegenbeispieles als Segmente. Dann bleibt das Verhältnis von Segment-Höhe und Seitenlänge immer gleich. Wenn man sagt, dass alle infitisimal kleinen Strecken gleich groß sind, konvergiert die Strecke wirklich gegen π. Jedoch auch gegen jede andere beliebige Zahl.

Das wäre ja in meinem Fall nicht so. Die Höhe des Segments wird ja wirklich kleiner. Man nähert sich π also wirklich an.

--Die maske von pi 16:20, 31. Dez 2005 (CET)

Van Ceulen wählte einen interessanten Ansatz. --Die maske von pi 17:17, 1. Jan 2006 (CET)

Das ist doch i.w. wieder genau dasselbe wie Dein Ansatz oben. Die Konvergenzproblematik kann man übrigens vermeiden, indem man statt des Umfangs den Flächeninhalt verwendet, das gibt genau dieselben Formeln.--Gunther 11:52, 2. Jan 2006 (CET)

Ja, ich weiß - meinte ja auch, dass der Ansatz interessant ist ;-)

In der Tat ist das Prinzip von Archimedes und somit von Van Ceulen offensichtlich das gleiche wie meines. Aber das Ergebnis ist unterschiedlich. Ich glaube nicht, dass Archimedes mit dem Radizieren so handtierte, wie ich oder Van Ceulen es tat. Ich glaube eher, dass er einen Ansatz wählte, der diesem(unter Archimedes) nahe kommt. Es gibt einen Hauptunterschied. Während Archimedes von einem Startwert 1 ausging, Ludolph diesem mit 0,5 substituierte, gehe ich hingegen von einem Startwert ${\sqrt {2}}$ aus. Der Grund liegt darin, dass Archimedes ein Sechseck und ich ein Viereck verwendete. Führt man den Ansatz von Archimedes weiter, so kommt man zu der Formel:

$\pi ={\frac {3}{2}}2^{n}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+...+{\sqrt {3}}}}}}}}}}$

Soweit ich es mit numerischen Mitteln beurteilen kann, konvergiert diese Formel leicht anders als meine erste. Bei Ludolphs Formel ändert sich das Verhalten in der gleichen merkwürdigen Weise wie Viètes Formel: Mein Rechner macht bei beiden keine Rundungsfehler mehr, die ja eigentlich entstehen müssten, wenn man die Wurzel aus einem Ausdruck (mit beschränkten Nachkommastellen) zieht. Wird bestimmt an meinem Rechner liegen.

Ferner kann man sagen, dass meine Formel einen Bogen spannt von Archimedes (bzw. Ludolph) zu Euler (bzw. Vieta).

Auch hier wieder meine Frage: Hat diese eben erwähnte Formel mal irgendwer so aufgeschrieben?

--Die maske von pi 16:10, 3. Jan 2006 (CET)

Darf ich hinzufügen, dass nur in meiner Herleitung, mit meinem Startwert sich das ganze in einem(!) Quadranten darstellen lässt; ohne Verlust von Anschaulichkeit oder Vollständigkeit? --Die maske von pi 16:27, 4. Jan 2006 (CET)

Ich nehme all meine Behauptungen zurück.

In einem Vorlesungsscript der Fachhochschule Mannheim, wurde die von mir beschriebene Formel bereits erwähnt unter dem Stichwort "Sehenvieleck".

Abschließend kann ich sagen, dass die von mir gezeigte Herleitung nicht von Vieta verwendet wurde, da dieser bzw. Euler Trigonometrie nutzten. Archimedes und Ludolph müssen den Kreis zusätzlich mit einem Vieleck von außen umschreiben, um auf ihre Formeln zu kommen.

In einer Randbemerkung habe ich erfahren, dass Van Roomen die hier zu letzt genannte Formel so formulierte. Seine Herleitung wurde jedoch verschwiegen.

Nur meine zweite Formel wird nirgends erwähnt oder hergeleitet.

Ich entschuldige mich und schließe diesen Beitrag mit der Frage, warum eine so einfache Herleitung und so einfache Formeln der breiten Öffentlichkeit vorenthalten werden?

--Die maske von pi 17:38, 7. Jan 2006 (CET)

Berechnung von "PI"

Hallo alle, ich bin nicht wirklich nicht der hellste, aber die Berechnung von Pi geht doch ganz einfach über die Extremwertrechnung. Habe hier noch keine Artikel gelesen, aber für meine Kinder ist die Erklärung in Wikipedia viel zu kompliziert. Die Berechnung erfolgt doch einfach nur über die Annäherung der Sehne an den Kreisbogen. Wenn der Winkel gegen 0 geht, dann wird die Sehne gleich dem Kreisbogen. Ist doch ganz einfach. PI=sin(a/2)x360/a (a geht gegen 0) Warum so kompliziert?--217.185.107.72 23:30, 30. Jan 2006 (CET) Gruss, Jörg

Hälst du deine Erklärung für eher "kindergerecht" als die im Text? ;-D --Sproink ^{Meine Diskussion}Datei:CVU2.PNG_{Gemeinsam gegen Vandalismus!} 23:33, 30. Jan 2006 (CET)

Wenn man den Sinus näherungsweise berechnen will, muss man das im Bogenmaß tun, und dafür braucht man π. (Wenn man spezielle Winkel wählt, geht das auch anders (z.B. kann man $\sin {\frac {180^{\circ }}{2^{n}}}$ mithilfe von $\sin {\frac {180^{\circ }}{2^{n+1}}}={\sqrt {\frac {1-{\sqrt {1-\sin ^{2}(180^{\circ }/2^{n})}}}{2}}}$ rekursiv berechnen, das gibt dann die Vieta-Formel.)--Gunther 23:35, 30. Jan 2006 (CET)

$\pi$

Hallo, ich weiß nicht ob das schon bekannt war, aber wir sieht es denn hiermit aus? ${\frac {\pi }{2}}=\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x$

Aleksandar Markovic

Wie berechnest Du denn das Integral? --DaTroll 14:15, 2. Feb 2006 (CET)

Mit meinem Matheprogramm? Das kann mir die Stammfunktion raussuchen. Markovic

Und wo guckt der Programmierer des Matheprogramms nach? Bzw. Wie wertet er die Stammfunktion, in der der Arkustangens auftaucht, aus? Letztere Frage kann ich beantworten: er guckt in diesem Artikel nach. --DaTroll 14:24, 2. Feb 2006 (CET)

Kann sein, ich hatte mir bloß mit meinem 11. Jahrgang wissen überlegt, dass die funktion f(x)=sqrt(1-x^2) genau den oberen Teil eines Einheitskreises darstellt. Das Integral in diesem Intervall, also [-1|1] müsste demnach die Hälfte von Pi sein.

Ja, das ist ja auch voellig richtig. Die Erkenntnis, dass Pi/2 die Flaeche eines Halbkreises mit Radius Eins ist, bringt einen jedoch im Vergleich zur Definition von Pi selbst nicht besonders weiter :-) --DaTroll 14:31, 2. Feb 2006 (CET)

Natürlich, aber ich denke dass diese "Formel" weitaus handlicher ist als die Kettenbrüche und die unendlichen Wurzeln, und dass ich die einfach in den PC eingeben kann und Pi halbe bekomme.Markovic

Es ist aber keine Darstellung. Mit dieser Formel kann erstmal niemand Pi ausrechnen. Er muss erst die Stammfunktion ausrechnen und wie man mit der Arkustangensreihe Pi ausrechnet, steht im Artikel. Am einfachsten ist es doch nach Deiner Logik, einfach Pi aus dem Taschenrechner zu holen. --DaTroll 14:39, 2. Feb 2006 (CET)

Ich dachte, es gäbe da so Verfahren, um Integrale auch ohne Stammfunktion auszurechnen, aber ich bin kein Numeriker *fg* --Gunther 14:41, 2. Feb 2006 (CET)

Soweit sind wir in Mathe noch nicht ;-). Meine Lehrerin war ja schon erstaunt darüber dass ich sie überhaupt Frage ob ich das so machen könne. Wir sind jetzt erst bei der Ableitungsfunktion von Sinus und Cosins.... langweilig. :-) Markovic

Da sprichst Du sogar einen Punkt an der im Artikel etwas wenig behandelt wird, naemlich die Konvergenzgeschwindigkeit der Algorithmen. --DaTroll 14:49, 2. Feb 2006 (CET)

Irgendetwas sollte doch auch zum arithmetisch-geometrischen Mittel dastehen...--Gunther 14:52, 2. Feb 2006 (CET)

Das steht ja quasi bei der Ramanujan-Formel ;-) --DaTroll 17:16, 2. Feb 2006 (CET)

Ah ja, irgendwie muss das dasselbe sein, wenn man das mit en:elliptic integral vergleicht. Welcher explizite Wert des AGM wird denn da verwendet?--Gunther 17:21, 2. Feb 2006 (CET)

Ich weiss es nicht. Aber es steht in Jonathan M. Borwein & Peter B. Borwein: Pi and the AGM. Wiley Interscience, 1998, ISBN 047131515X drin. --DaTroll 17:24, 2. Feb 2006 (CET)

M_PI

Der ANSI C Standard enthält die Konstante M_PI offenbar nicht und erfordert bei manchen Compilern sogar ein #define um sie in math.h zu veröffentlichen (prominentes Beispiel: MSVC). Könnte das jemand im Artikel ändern? Volatile 23:53, 13. Mär 2006 (CET)

Ich habs auch nicht im Standard gefunden und den konkreten Hinweis auf C mal entfernt. --DaTroll 21:37, 14. Mär 2006 (CET)

Hilfe bitte mit der Englische Artikel "Pi" (Kreiszahl)

Die Seite http://en.wikipedia.org/wiki/Pi ist sehr unordentlich (auch, entschuldigen Sie mein schlechtes Deutsches!). Dank für Ihre freundliche Unterstützung. 203.100.223.232 15:16, 4. Apr 2006 (CEST)

Sucht bitte mal im Artikel nach "Zffern" und ersetzt es mit "Ziffern".

Erledigt, danke für den Hinweis.--Gunther 22:00, 12. Apr 2006 (CEST)

4 Milliarden Stellen per FTP?

Webseite Yasumasa Kanadas (englisch) 4 Milliarden Stellen sind auf einem FTP-Server verfügbar und ein Programm mit dem bis zu 32 Millionen Stellen berechnet werden können (multi-platform)

also ich finde auf dem FTP-Server nur maximal 200 Millionen Nachkommastellen zum Download Oo --ツンヅくん 13:19, 27. Mai 2006 (CEST)

Definition 2

Zur Unterbindung einer Edit-Wars hier einige Anmerkungen:
Im Artikel stehen drei Definitionen, welche angeblich unabhängig sind, was nicht zutrifft:

• Die Def. über die Fläche ergibt sich durch Integration des jeweiligen Umfangs über den Radius:

$A=\int _{x=0}^{r}2*\pi *x\,dx=\pi *r^{2}$

und damit A = pi für r = 1.

• Die Definition über den Kosinus ist eigentlich auch keine neue. Das Argument des Kosinus ist die Länge des Bogens im Einheitskreis und damit ein Teil des Umfangs. Für den rechten Winkel (Viertelkreis) = U/4 und damit pi / 2.

Fazit: Alles geht auf die Definition per Umfang zurück. Das sollte auch im Artikel dargestellt werden. Bsmuc64 13:41, 2. Jun 2006 (CEST)

Natürlich liefern die verschiedenen Definitionen dieselbe Zahl, wäre ja sonst auch irgendwie blöd ;-) Und der Bezug zwischen einem Kreis und $\sum (-1)^{k}x^{2k}/(2k)!$ ist doch so wenig offensichtlich, dass man mit Recht von wesentlich unterschiedlichen Definitionen sprechen kann.--Gunther 13:39, 2. Jun 2006 (CEST)

Ok, die Reihe kann man als separat durchgehen lassen, aber die Def. per Fläche ist nur eine Integration von der Umfangsdefinition. Das ist wirklich nichts Separates. Bsmuc64 13:50, 2. Jun 2006 (CEST)

Hast Du Dir mal überlegt, wie lang das Argument wird, wenn man es präzise begründet?--Gunther 14:01, 2. Jun 2006 (CEST)

Der Artikel behauptet nicht, dass die Definitionen unabhaengig seien, sondern nur, dass es verschiedene gleichwertige gebrauchliche gibt. Dass die Definition ueber den Umfang die aelteste ist, ist auch nicht richtig, denn auch Archimedes war natuerlich schon klar, dass das mit der Flaeche dasselbe in Gruen ist. Der quadratische Zusammenhang zwischen Flaeche und Umfang war schliesslich schon Euklid bekannt. --P. Birken 14:37, 2. Jun 2006 (CEST)

Bitte um Hinzufügung

Ein Vorschlag zu einer Hinzufügung unter "Sonstiges (für Liebhaber der Zahl π")

Ein naturbelassen mäandernder Fluss wäre, würde man ihn "strecken", "pi-mal" so lang.

Leider keine zuverlässige Quelle, kann aber am Beispiel der Maas und Nebenflüssen des Amazonas und weiteren "nachgemessen" werden (Kartenprojektion beachten!).

Danke & Grüße Gast G (Vorstehender nicht signierter Beitrag stammt von 80.132.133.48 (Diskussion • Beiträge). 10:27, 21. Jun 2006)

Das Gerücht habe ich auch schon gehört, aber ohne seriöse Quelle ist das wertlos, zumal wenn es nur bei bestimmten Flüssen funktioniert. (Unter den richtigen Bedingungen wird ein derartiger Fluss ja auch so lange weiter seine Schleifen vergrößern, bis er auf der anderen Seite des Umlaufberges durchbricht. Wie passt die zugehörige Längenänderung zur Theorie?) --Gunther 10:40, 21. Jun 2006 (CEST)

Neue Reihendarstellung für PI?

Hallo, ich hab eine Reihendarstellung für PI gefunden. Ist das eine neue oder kennt das eh schon jeder?

$\sum _{k=1}^{\infty }~1/((3k)(3k-1)(3k-2))=\pi /8$

(nicht signierter Beitrag von Hugoplatzer (Diskussion | Beiträge) 14:43, 29. Jun 2006)

Eine sehr ähnliche steht im Artikel, und mein Computeralgebrasystem meint, dass der Wert nicht $\pi /8$, sondern

${\frac {\pi {\sqrt {3}}}{12}}-{\frac {\log 3}{4}}$

sei (in Übereinstimmung mit Näherungswerten).--Gunther 14:55, 29. Jun 2006 (CEST)

Hab mich geirrt Die richtige Reihe lautet:

$\sum _{k=1}^{\infty }~1/((4k-3)(4k-1))$

(nicht signierter Beitrag von 62.47.182.180 (Diskussion) 15:38, 29. Jun 2006)

Wegen

${\frac {1}{(4k-1)(4k-3)}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{4k-3}}-{\frac {1}{4k-1}}\right)$

ist das i.w. die Leibniz-Reihe.--Gunther 15:40, 29. Jun 2006 (CEST)

element der reellen zahlen?

ist PI jetzt eine relle zahl oder nicht? man sollte wirklich mit da rein schreiben, ob PI einer relle zahl ist oder nicht, finde ich. ... für dumme leute wie mich. wir wollen auch was lernen. --80.137.192.89 19:15, 11. Jul 2006 (CEST)