Verteilungsfunktion

In der Wahrscheinlichkeitstheorie kann die (kumulative) Verteilungsfunktion $F(x)$ verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer reellen Zufallsvariable $X$ zu beschreiben. In der Regel spricht man einfach von einer Verteilungsfunktion. Die explizite Kennzeichnung als kumulativ kann helfen, Verwechslungen mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion oder Dichtefunktion zu vermeiden.

Definition

Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen ist diejenige Funktion, die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich $x$ annimmt:

F(x)=P(X\leq x)

(

x\in \mathbb {R}

)

Eigenschaften von Verteilungsfunktionen

Jede Verteilungsfunktion $F:\mathbb {R} \mapsto [0,1]$ hat folgende Eigenschaften:

$F$ ist monoton nichtsteigend.
$F$ ist rechtsseitig stetig.
$\lim _{x\to -\infty }F(x)=0$ und $\lim _{x\to \infty }F(x)=1$ .

Rechnen mit Verteilungsfunktionen

Ist von einer Zufallsvariablen die Verteilungsfunktion bekannt, so kann man die Wahrscheinlichkeit berechnen, mit der die Zufallsvariable Werte zwischen zwei reellen Zahlen annimmt:

P(a<X\leq b)=P(X\leq b)-P(X\leq a)=F(b)-F(a)

Beispiel

Beim Würfeln errechnet sich die Wahrscheinlichkeit eine Zahl zwischen 3 und 5 einschließlich zu würfeln zu

P(2<X\leq 5)=F(5)-F(2)={5 \over 6}-{2 \over 6}={3 \over 6}={1 \over 2}

.

Überlebenswahrscheinlichkeit

Beschreibt die Verteilungsfunktion $F(t)\,$ die Wahrscheinlichkeit für die Lebensdauer eines Systems zum Zeitpunkt $t$ , dann erhält man die Wahrscheinlichkeit für das Überleben zu

P(X>t)=1-F(t)\,

.

Bezieht man sich nicht auf den Zeitpunkt $0$ , sondern auf einen späteren Zeitpunkt $t_{0}>0$ , dann erhält man die bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit

P(X>t_{0}+t|X>t_{0})={\frac {1-F(t_{0}+t)}{1-F(t_{0})}}

.

Mit der Beziehung für die Überlebenswahrscheinlichkeit ergibt sich sofort eine Beziehung für die Restlebensdauer

F(t+t_{0}|t_{0})=P(X<t+t_{0}|X>t_{0})={\frac {P(X<t+t_{0})-P(X<t_{0})}{P(X>t_{0})}}={\frac {F(t+t_{0})-F(t_{0})}{1-F(t_{0})}}

.

Weiteres

Verteilungsfunktionen können zur Definition der Konvergenz in Verteilung verwendet werden und spielen bei der Inversionsmethode eine Rolle.

Durch die Folge der relativen Summenhäufigkeiten wird die empirische Verteilungsfunktion bestimmt.