Zahlensystem
Ein Zahlensystem wird zur Darstellung von Zahlen verwendet. Eine Zahl wird dabei nach den Regeln des Zahlensystem als Folge von Ziffern dargestellt. Man unterscheidet im wesentlichen zwischen Additions- und Stellenwertsystemen (Positionssysteme)
Additionssysteme
In Additionssystemen wird eine Zahl als Summe der Werte ihrer Ziffern dargestellt. Ein Beispiel sind die römisch-etruskischen Zahlen mit den Ziffern
I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000
Die Ziffern werden mit abnehmender Wertigkeit geschrieben und addiert. 2002 wird zum Beispiel als MMII dargestellt. Da solche Zahlen sehr lang werden können, wurde das System später dahingehend modifiziert, dass Ziffern nur dreimal hintereinander auftreten dürfen. Eine kleinere Ziffer die vor einer größeren steht, wird von dieser abgezogen. So wurde IIII zu IV.
Das römische Zahlensystem wurde bis ins 15. Jahrhundert allgemein in Europa verwendet.
Stellenwertsysteme
In Stellenwert- oder Positionssystemen impliziert die Stelle den Wert der jeweiligen Ziffer. Die 'niederwertigste' Position steht dabei im allgemeinen Rechts.
Ein Stellenwertsystem hat eine Basis b, sowie Ziffern, die von 0 bis b-1 laufen. Die Ziffernpostion hat einen Wert, der einer Potenz der Basis entspricht. Für die n-te Position hat man einen Wert von bn-1.
Das bekannteste und verbreiteteste Zahlensystem ist das Dezimalsystem (oder 10er-System) mit Basis 10, und den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9. In ihm entspricht jeder Ziffernposition eine Zehnerpotenz. Beispielsweise bedeutet die Ziffernfolge 6857, dass
- die 7 mit 100 = 1,
- die 5 mit 101 = 10,
- die 8 mit 102 = 100 und
- die 6 mit 103 = 1000
gewichtet wird, so dass man 6000 + 800 + 50 + 7 erhält.
Das Dezimalsystem stammt ursprünglich aus Indien. Muhammed ibn Musa al-Khwarizmi verwendete es in seinem Arithmetikbuch, das er im 8. Jahrhundert schrieb. Bereits im 10. Jahrhundert wurde das System in Europa eingeführt, damals noch ohne Null. Durchsetzen konnten es sich jedoch erst im 12. Jahrhundert mit der Übersetzung des genannten Arithmetikbuchs ins Latein.
Im 17. Jahrhundert entdeckte der Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz das binäre Zahlensystem (Dualzahlen), ein Stellenwertsystem mit Basis 2 und den Ziffern 0 und 1. Dieses wird vor allem in der Computertechnik verwendet, da hiermit Berechnungen einfach und effizient durchzuführen sind. Die Werte der Stellen sind dann
- 20 = 1
- 21 = 2
- 22 = 4
- 23 = 8
- 24 = 16
- ...
Da große binäre Zahlen unübersichtlich lang sind, werden zur Darstellung oft Hexadezimalzahlen verwendet, die mit der Basis 16 (und den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e und f) arbeiten. Hexadezimale Zahlen und binäre Zahlen lassen sich leicht ineinander umwandeln, da 4 Stellen einer binären Zahl gerade einer Stelle einer hexadezimalen Zahl entsprechen.
Die Babylonier benutzten ein Zahlensystem mit einer Basis von 60.
Mit der Beschränkung des niedrigsten Exponenten auf 0 kann man nur Ganze Zahlen darstellen. Lässt man auch negative Exponenten zu, kann man auch rationale Zahlen in einem Stellenwertsystem schreiben, wobei der Übergang vom nichtnegativen zum negativen Exponenten durch ein Trennzeichen markiert wird, beispielsweise ein Komma:
1234,56 = 1·103 + 2·102 + 3·101 + 4·100 + 5·10-1 + 6·10-2
Die Ziffern einer rationalen Zahl p/q erhält man durch das Verfahren der schriftlichen Division. Im 10er-System spricht man auch von Dezimalbruch-Entwicklung. Hat q zur Basis b teilerfremde Primfaktoren, bricht die Schriftliche Division nicht ab, sondern liefert eine sich wiederholende Folge von Ziffern. Diese wird Periode genannt und durch Überstreichen gekennzeichnet, z.B. media:a/a2/Dezimalbruch-periode.png.
Die Basis b muss nicht notwendigerweise eine natürliche Zahl. Es wurde nachgewiesen, dass sämtliche komplexen Zahlen mit Betrag größer 1 als Basis eines Stellenwertsystems verwendet werden können. Ebenso sind Zahlensystem mit gemischen Basen möglich. Beispiele hierfür findet man in Knuth, The Art of Computer Programming.